10-3格林公式及其应用30088

1
0dx
1 ydy 1 .
0
0
2
四、小结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
Q P

D
(
x

y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
——格林公式;
3. 格林公式的应用.
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D 上P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
x
例 5 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy. 其中 L
L 为由点O(0, 0)到点 B(1, 1)的曲线弧 y sin x .
2
解 P ( x2 2xy) 2x
y y Q ( x2 y4 ) 2x
P Q ， y x
G
若区域不止由一条闭曲
线所围成.添加直线段 AB,CE.
则D的边界曲线由 AB,L2,BA, AFC,CE, L3, EC 及 CGA 构成.
D
L2
B
由(2)知

D
(
Q x

P y
)dxdy
L3
E C
F
L1
A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
三、利用曲线积分,求星形线 x a cos3 t , y a sin 3 t 所 围成的图形的面积 .
四、证明曲线积分
(3,4) (6 xy 2 y 3 )dx (6 x 2 y 3 xy 2 )dy 在整个 xoy面 (1,2)
内与路径无关,并计算积分值 .
五、利用格林公式,计算下列曲线积分:
1、 ( x 2 y)dx ( x sin 2 y)dy其中 L是在圆周 L y 2x x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；
2、求曲线积分I1
( x y)2 dx ( x y)2 dy 和
AMB
I2
( x y)2 dx ( x y)2 dy 的差.其中 AMB
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边.
证明(1)
若区域D 既是X 型 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x) DB
x 2( y)
Cy 1(x) b
x
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
二、曲线积分与路径无关的条件
如果在区域G内有
y
Pdx Qdy L1
Pdx Qdy L2
L1 B
G
A
L2
o
x
则称曲线积分L Pdx Qdy在G 内与路径无关,
否则与路径有关.
定理2 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导数,
第三节 格林公式及其应用
• 一、格林公式 • 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 • 三、二元函数的全微分求积 • 四、小结 练习题
一、格林公式
1、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D
D
单连通区域
复连通区域
_______________在D 内处处成立；
3、 设D 为由分段光滑的曲线L 所围成的闭区域,其面
积为 5,又P( x , y) 及Q( x, y) 在D 上有一阶连续偏
导数,且Q x

1 ,P y

1 ,则L Pdx

Qdy

___.
二、计算 (2xy x 2 )dx ( x y 2 )dy 其中L是由抛物线 L y x 2 和 y 2 x 所围成的区域的正向边界曲线,并 验证格林公式的正确性 .
有
D
Q (
x

P y
)dxdy

________________；
2、 设 D 为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域 , 函 数
P(x, y) , Q(x, y) 在 D 内 有 一 内 与 路 径 无 关 的 充 要 条 件 是

ydx y2
y
L
D1
l
or
x

2r 2
0
cos2
r2
r2
sin2
d
2 .
(其中l 的方向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
（3）计算平面面积
格林公式:

D
(
Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
取P y, Q x, 得 2 dxdy L xdy ydx
2、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围
成,函数P( x, y)及Q( x, y)在D 上具有一阶连
续偏导数, 则有
Q P
(
D
x

y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
(1)
其中L是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
L3 D3
若区域D 由按段光
滑的闭曲线围成.如图,
将D 分成三个既是X 型又是 L1 D1
Y 型的区域D1 ,D2 ,D3 .
Q P
Q P
( )dxdy
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D2 L2
D
L

D1
(
Q x

P y
)dxdy


D2
(
Q x

P y
)dxdy


D3
(
Q x

P y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
D2 L2
(L1,L2 , L3对D来说为正方向 )
D1
L1
D
L
证明(3)
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方
向为逆时针方向.
解 记L所围成的闭区域为D ,
令P

y x2 y2
,
Q

x2
x
y2 ,
则当 x2
y2
0时,
有Q x

(
y2 x2
x2 y2 )2
P .
y
y
(1) 当(0, 0) D时,
由格林公式知
L
xdy x2

D
闭区域D 的面积
A

1 2
L
xdy

ydx .
取P 0, Q x, 得 A L xdy 取P y, Q 0, 得 A L ydx
例 4 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与x 轴所
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0 .
M
曲线 AMO由函数
则 Q P e y2 , x y
A
1
x
应用格林公式,有
e y2dxdy
xe y2 dy
D
OA AB BO
xe y2dy 1 xex2dx
OA
0
1 (1 e1 ). 2
例3
计算L
xdy x2

ydx y2
,其中L
为一条无重点,
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
c
LQ( x, y)dy
o
同理可证


D
P y
dxdy

L
P(
x,
y)dx
E D
C
x 2( y)
x
两式相加得

D
(Q x

P y
)dxdy

L
Pdx

Qdy
证明(2)
y
y x
则 B( x1 , y1 ) Pdx Qdy A( x0 , y0 ) o
A( x0 , y0 )

x1 x0
P
(
x,
y0
)dx

y1Q(
y0
x1
,
y)dy
或
y1 y0
Q(
x0
,
y
)dy

x1 x0
P(
x,
y1
)dx
B( x1 , y1 )
C( x1, y0 )
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d}
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
c
1 ( y) x
d
d
c Q( 2( y), y)dy c Q( 1( y), y)dy
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
xdy

0,
BO xdy 0,
xdy dxdy 1 r2.
AB D
4
(2). 简化二重积分
y
例 2 计算
e y2 dxdy ,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
o
解 令P 0, Q xe y2 ,
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,

A

1 2
L
xdy

ydx

1
2 ONA
xdy

ydx

1
2 AMO
xdy

ydx
1

xdy ydx
2 AMO
M
N
A(a,0)
10 a

2
a
x( 2
1)dx ( ax
ax x)dx
a a
40
xdx 1 a2 . 6
则 曲 线 积 分 Pdx Qdy 在 G 内 与 路 径 无 关 L
（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是P Q 在G 内恒成立. y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连
续偏导数. 两条件缺一不可
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
价 (2) C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
命 (3) 在D内存在U( x, y)使du Pdx Qdy
题
(4)
在D内, P Q y x
思考题
y
若区域 如图为
复连通域，试描述格
D
C
G
林公式中曲线积分中L
E
P ( xy2 ) 2xy, y y
Q [ y( x)] y( x), x x
积分与路径无关 P Q ， y x
由 y( x) 2xy ( x) x2 c
由(0) 0，知c 0 ( x) x2 .
故 (1,1) xy2dx y( x)dy (0,0)
x x
原积分与路径无关
故原式
1 x2dx
1
(1
y4 )dy
23 .
0
0
15
例 6 设曲线积分 xy2dx y( x)dy与路径无
L
关, 其中具有连续的导数, 且(0) 0,
计算 (1,1) xy2dx y( x)dy. (0,0)
解 P( x, y) xy2, Q( x, y) y( x),
ydx y2

0
D
o
(2) 当(0,0) D时,
L x
作位于D 内圆周 l : x2 y2 r 2 , y L
记D1由L和l 所围成,
应用格林公式,得
l D1
or
x
L
xdy x2

ydx y2

l
xdy x2

ydx y2

0
L
xdy x2

ydx y2

l
xdy x2
三、二元函数的全微分求积
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P( x, y)dx Q( x, y)dy 在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
P Q y x 在G 内恒成立.
若 P Q
的方向。
oA
F
Bx

D

Q x

P y
dxdy


L
Pdx

Qdy
思考题解答
L 由两部分组成 外边界：BCDAB 内边界：EGFE
y
D
C
G
E
F
oA
Bx
练习题
一、填空题:
1、 设 闭 区 域 D 由 分 段 光 滑 的 曲 线L 围 成 , 函 数 P( x, y) , Q( x, y)及在D 上具有一阶连续偏导数,则
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向 )
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系.
便于记忆形式:

x ydxdy L Pdx Qdy.
DP Q
3、简单应用
(1). 简化曲线积分
例 1 计算 xdy,其中曲 AB
线 AB是半径为r 的圆在
第一象限部分.
y
A
D
oL
Bx
解 引入辅助曲线L , L OA AB BO
应用格林公式, P 0, Q x 有
dxdy L xdy
D
OA xdy AB xdy BO xdy,
由于 OA