10.5 离散型随机变量的均值与方差

Y0
2
6
10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3, D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.
故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.
-14-
考点1
考点2
考点3
(2)由概率的加法公式,得P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,
-12-
考点1
考点2
考点3
对点训练1根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:
mm)对工期的影响如下表:
降水量 X
X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900
工期延误天数 Y 0
2
6
10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的 概率分别为0.3,0.7,0.9.求:
解析 因为随机变量 X~B(n,p),且 E(X)=1.6,D(X)=1.28,
所以 ������(������) = ������������ = 1.6,
解得 ������ = 0.2,
������(������) = ������������(1-������) = 1.28, ������ = 8.
工期延误不超过 6 天的概率是67.
-15-
考点1
考点2
考点3
考点 2 与二项分布有关的均值、方差
例2某新建公司规定,招聘的职工须参加不少于80 h的某种技能 培训才能上班.公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加 这种技能培训的数据,按时间段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95), [95,100](单位:h)进行统计,其频率分布直方图如图所示.
10.5 离散型随机变量的均值与方
差
知识梳理 双基自测
1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n. (1)均值:称E(X)= x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X 的均值或数学期望.
������
(2)方差:称 D(X)= ∑ (xi-E(X))2pi 为随机变量 X 的方差,其算术平方
因此从招聘职工中任意选取一人,其参加这种技能培训时间不少
于90
h的概率估计为
60+20 200
=
25.
-18-
考点1
考点2
考点3
(2)依题意,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,
P(X=0)=C30
3 5
3 = 12275,
P(X=1)=C31
2 5
3 5
2 = 15245,
P(X=2)=C32
量ξ,求随机变量ξ的分布列和均值E(ξ).
思考怎样求离散型随机变量X的均值与方差?
-9-
考点1
考点2
考点3
解 (1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考
核为优秀”为事件C,“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为
优秀”为事件E,
则事件 A,B,C 相互独立,������ ������ ������与事件 E 是对立事件.
考点2
考点3
(方法二)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1,都 选择方案乙所获得的累计得分为Y2,则Y1,Y2的分布列为:
Y1 0 2 4 144
P 999
Y2 0
3
6
9 12 4 P
25 25 25
所以 E(Y1)=0×19+2×49+4×49 = 83, E(Y2)=0×295+3×1225+6×245 = 152, 因为 E(Y1)>E(Y2), 所以两人都选择方案甲抽奖,累计得分的均值较大.
-16-
考点1
考点2
考点3
(1)求抽取的200名职工中参加这种技能培训时间不少于90 h的人 数,并估计从招聘职工中任意选取一人,其参加这种技能培训时间 不少于90 h的概率;
(2)从招聘职工(人数很多)中任意选取3人,记X为这3名职工中参 加这种技能培训时间不少于90 h的人数.试求X的分布列、均值E(X) 和方差D(X).
思考如何简便地求二项分布的均值与方差?
-17-
考点1
考点2
考点3
解 (1)依题意,参加这种技能培训时间在区间[90,95)内的职工人
数为200×0.06×5=60,
在区间[95,100]内的职工人数为200×0.02×5=20,
故抽取的200名职工中参加这种技能培训时间不少于90 h的职工
人数为80.
又P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6,
由条件概率,得
P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)
=������(3���0���(0������≤≥���3���<009)00)
=
0.6 0.7
=
67.
故在降水量 X 至少是 300 的条件下,
由已知可得,X1~B
2,
2 3
,X2~B
2,
2 5
,
所以 E(X1)=2×23 = 43,E(X2)=2×25 = 45,
因此 E(2X1)=2E(X1)=83,E(3X2)=3E(X2)=152.
因为E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得 分的均值较大.
-23-
考点1
-20-
考点1
考点2
考点3
对点训练2某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种 抽 为奖25 ,中方奖案可,方以案获甲得的3中分奖;未率中为奖23则,中不奖得可分以.每获人得有2分且;只方有案一乙次的抽中奖奖机率 会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计 得分为X,求X≤3的概率;
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考点1
考点2
考点3
考点 3 均值与方差在决策中的应用
例3甲、乙两家快递公司其“快递小哥”的日工资方案如下:甲公 司规定底薪70元,每单抽成1元;乙公司规定底薪100元,每日前45单 无抽成,超过45单的部分每单抽成6元.
P(ξ=2)=P(A·������ ·������)+P(������·B·������)+P(������ ·������·C)=485,
P
������
=
5 2
=P(A·B·������)+P(A·������·C)+P(������·B·C)=2405,
P(ξ=3)=P(A·B·C)=1465.
解析 由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布, 即X~B(100,0.02), 其中p=0.02,n=100,
则D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.
-8-
考点1
考点2
考点3
考点 1 离散型随机变量的均值与方差
例1某大学对参加了“北京世圆会”的该校志愿者实施“社会教育
实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格
(4)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分 布的均值,σ是正态分布的标准差. ( √ )
-4-
知识梳理 双基自测
12345
2.设随机变量X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则( C )
A.n=5,p=0.32 B.n=4,p=0.4
C.n=8,p=0.2
D.n=7,p=0.45
-5-
知识梳理 双基自测
12345
3.一个正四面体ABCD的四个顶点上分别标有1分,2分,3分和4分,
往地面抛掷一次记不在地面上的顶点的分数为X,则X的均值
5
为2
.
解析 X 的分布列为
X1 2 3 4
1111 P
4444 故 E(X)=1×14+2×14+3×14+4×14 = 52.
-6-
知识梳理 双基自测
p
,D(X)= p(1-p) .
(2)若X~B(n,p),则E(X)= np ,D(X)= np(1-p) .
4.常用结论
(1)如果X1,X2相互独立,那么E(X1·X2)=E(X1)·E(X2). (2)均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).
(3)超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则 E(X)= ������������������.
和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优
秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分
别为
4 5
,
2 3
,
2 3
,他们考核所得的等次相互独立.
(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为
优秀的概率;
(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变
(1)工期延误天数Y的均值与方差; (2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.
-13-
考点1
考点2
考点3
解 (1)由已知条件和概率的加法公式有: P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2, P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以Y的分布列为
则 P(E)=1-P(������ ·������ ·������)=1-P(������)·P(������)·P(������)
=1-15
×
1 3
×
1 3
=
4445.
-10-
考点1
考点2
考点3
(2)ξ 的可能取值为32,2,52,3.
∵P
������
=
3 2
=P(������ ·������ ·������)=415,
∴ξ 的分布列为
3
ξ
2
53
2
2
1 8 20 16
P
45 45 45 45
∴E(ξ)=32
×
415+2×485
+
5 2
×
2405+3×1465
=
7370.
-11-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义,写出X的全部可能取值. (2)求X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)由均值的定义求E(X). (5)由方差的定义求D(X). 2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量 aX+b的均值是aE(X)+b,方差为a2D(X).
������=1
根 D(X)为随机变量 X 的 标准差 .
2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)= aE(X)+b ; (2)E(ξ+η)=E(ξ)+E(η); (3)D(aX+b)= a2D(X) .
-2-
知识梳理 双基自测
3.两点分布与二项分布的均值与方差
(1)若X服从两点分布,则E(X)=
-3-
知识梳理 双基自测
12345
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关. ( × )
(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它
们是一回事. ( × )
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的 平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小. ( √ )
12345
4.已知X的分布列为
X -1 0 1
1 P
2
7
设Y=2X+3,则E(Y)的值为 3
11 36
.
解析 ∵E(X)=-12 + 16=-13, ∴E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=73.
-7-
知识梳理 双基自测
12345
5.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有 放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则D(X)= 1.96 .
22 5
3 5
= 13265,
P(X=3)=C33
2 5
3 = 1285,
故随机变量 X 的分布列为
X0
1
2
3
27 54 36
8
P
125 125 125 125
可知 X~B
3,
2 5
,
故
E(X)=3×25
=
65,D(X)=3×25
×
3 5
=
1285.
-19-
考点1
考点2
考点3
解题心得求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二 项分布,如果X~B(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大 大减少计算量.
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问: 他们选择何种方案抽奖,累计得分的均值较大?
-21-
考点1
考点2
考点3
解 (1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25, 且两人中奖与否互不影响.
记“这两人的累计得分 X≤3”的事件为 A,
则事件 A 的对立事件为“X=5”,
因为
P(X=5)=23
×
2 5
=
145,所以
P(A)=1-P(X=5)=1115,
即这两人的累计得分 X≤3 的概率为1115.
-22-
考点1
考点2
考点3
(2)(方法一)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选
择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的
均值为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2).