专题8几何图形变化—8.2平移之证明计算-2021届鲁教版(五四制)九年级数学专题复习训练

一、平移
(1)平移的定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移，平移前后互相重合的点叫做对应点。

(2)平移的性质：
①对应点的连线平行(或共线)且相等
②对应线段平行(或共线)且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形(四个端点共线除外)
③对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。

(3)用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长；如果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长。

（从坐标来讲：向正方向平移为加，逆方向平移为减）
(4)平移的两个要素：平移方向、平移距离
(5)平移作图的步骤和方法：将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形，方法有如下三种：平行线法、对应点连线法、全等图形法。

考点5：平移后的证明型问题
类型一【直角三角形的平移】
【经典例题1】两个三角板ABC，DEF按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝4 cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)．
(1)当点C落在边EF上时，x＝________cm；
(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N，直接写出在三角板平移过程中，
点M 与点N 之间距离的最小值．
【解析】（1）如图： 作CG ⊥AB 于G 点．
在Rt △ABC 中，由AC =4，∠ABC =30，得 BC =
tan 30
AC
=43． 在Rt △BCG 中，BG =BC •cos 30°=6． 四边形CGEH 是矩形， CH =GE =BG +BE =6+4=10cm ， 故答案为：10 .
（2）①当04x ≤<时，如解图
∵∠GDB ＝60°，∠GBD ＝30°， ∴DB ＝x ，DG ＝x ，BG ＝x ，
重叠部分的面积y ＝DG ·BG ＝×x ×x ＝x 2 ②48x ≤<时，如解图
BD ＝x ，DG ＝x ，BG ＝x ，BE ＝x －4， EH ＝ (x －4)
重叠部分的面积y ＝S △BDG －S △BEH ＝DG ·
BG －BE ·EH ， 即y ＝×x ×x － (x －4)× (x －4)， 化简得：2343
832433
y x x =-
+-
③当810x ≤≤时，如解图
AC ＝4，BC ＝4，BD ＝x ，BE ＝x －4， EG ＝ (x －4)
重叠部分的面积y ＝S △ABC －S △BEG ＝AC ·BC －BE ·EG ， 即y ＝×4×4－ (x －4)× (x －4)， 化简得：2343163
y x x =+综上所述，)2
223(04)343838)2433343163810x x y x x x x x x ⎧≤<⎪
⎪
⎪⎪
=-+-≤<⎨⎪
⎪+≤≤⎪
⎪⎩ （3）
3
【名师点睛】此题主要考查了几何变换综合，①利用锐角三角函数和矩形的性质，②利用三角形的面积，面积的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏，③利用垂线段最短，三角形的中位线定理，锐角三角函数解答即可.
练习1-1如图①，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l 上，AC⊥BC且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF=FP．
（1）在图①中，通过观察、测量，猜想直接写出AB与AP满足的数量关系和位置关系，不要说明理由；
（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想写出BQ与AP满足的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】（1）AB=AP且AB⊥AP，（2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ
【解析】（1）AB=AP且AB⊥AP。

理由如下：
∵AC⊥BC且AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=1
2
（180°﹣∠ACB）=45°．
又∵△ABC与△EFP全等，同理可证∠PEF=45°，
∴∠BAP=45°+45°=90°，∴AB=AP且AB⊥AP．
（2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ，理由如下：
延长BQ交AP于G，由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，
∴∠PQC =45°=∠QPC ，∴CQ =CP ．
∵∠ACB =∠ACP =90°，AC =BC ，∴在△BCQ 和△ACP 中，
BC AC
BCQ ACP CQ CP =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCQ ≌△ACP （SAS ）， ∴AP =BQ ，∠CBQ =∠PAC ．
∵∠ACB =90°，∴∠CBQ +∠BQC =90°． ∵∠CQB =∠AQG ，∴∠AQG +∠PAC =90°， ∴∠AGQ =180°﹣90°=90°，∴AP ⊥BQ ．
练习1-2问题情境
勤奋小组在一次数学活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，如图①、②，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∠DEF ＝90°，DE ＝3，EF ＝4.
如图③，勤奋小组将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AB 重合在一起，使点B 与点E 重合，发现BC ⊥DF .
独立探究
(1)请你证明勤奋小组发现的结论； 合作交流
(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究，如图④，在图③的基础上，将△DEF 沿BA 方向平移，设DF 、EF 分别与边BC 交于点G 、H ，发现当△DEF 位于某一位置时点H 恰好在DF 的垂直平分线上．请你求出此时BE 的长；
探索发现
如图④，在图③的基础上，将△DEF 沿BA 方向平移，当点D 到达A 处时，
停止平移．
(3)在平移过程中，当△FGH≌△BEH时，求GH的值；
(4)在平移过程中，当GH为何值时，点D位于△ABC某一边的垂直平分线上，任选一边，直接写出此时GH的值．
【解析】(1)证明：如解图①，设BC与DF相交于点G.
∵∠ACB＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ACB＝∠DEF.
∵AC＝6，DE＝3，
∴AC
DE＝
6
3＝2.
∵BC＝8，EF＝4，
∴BC
EF＝
8
4＝2，
∴AC
DE＝
BC
FE，∴△ABC∽△DFE，
∴∠BAC＝∠FDB，∴AC∥DF，
∴∠DGB＝∠ACB＝90°，
∴BC⊥DF；(3分)
第2题解图①
(2)解：如解图②，连接DH，设HE＝x，则FH＝4－x，∵BC垂直平分DF，
∴DH＝FH＝4－x，
在Rt△DEH中，
由勾股定理得x2＋32＝(4－x)2，解得x＝7 8，
∴
EH＝
7
8，
∵∠HEB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BEH∽△BCA，
∴BE
BC＝
EH
CA，
∴BE
8＝
7
8
6，
∴BE＝7
6；(6分)
第2题解图②
(3)解：设GH＝y，在△DEF中，由勾股定理得DF＝DE2＋EF2＝5，由(1)可知BC⊥DF，
∴△DEF∽△HGF，
∴DE
HG＝
DF
HF，即
3
y＝
5
HF，
∴HF＝5y 3，
∴EH＝4－5y 3，
当△FGH≌△BEH时，GH＝EH，
即y＝4－5y
3，解得y＝
3
2，
∴GH＝3
2；(9分)
(4)解：选AB边，此时GH＝3
2.(12分)
【解法提示】在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得AB＝10. 当点D位于AB的垂直平分线上时，即点D是AB的中点，
∴BD＝1
2AB＝5，
∵DE＝3，
∴BE＝2，
易证△ABC∽△HBE，
∴AC
HE＝
BC
BE，即
6
HE＝
8
2，
∴HE＝3 2，
∴FH＝EF－HE＝4－3
2＝
5
2，
由(3)可知△DEF∽△HGF，
∴DE
HG＝
DF
HF，即
3
GH＝
5
5
2
，
∴GH＝3 2.
练习1-3（2020宁夏）（10分）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝，设三角板ABC移动时间为x秒．
（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；
（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多
少？
【分析】（1）解直角三角形ABC求得EF＝BC＝3，设CF＝x，可求，，根据三角形面积公式即可求出结论；
＝S△ABC﹣S△AMQ﹣S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可．（2）根据“S
重叠
【解析】（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠E＝30°，
∴∠EQC＝∠AQM＝60°，
∴△AMQ为等边三角形，
过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．
在Rt△ABC中，，
∴EF＝BC＝3，
根据题意可知CF＝x，
∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x，
∴，
∴，
而，
∴，
（2）由（1）知BF＝CE＝3﹣x，
∴
＝＝，
所以当x＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是．
【经典例题2】如图3，在△ABC中，AB=AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．
（1）求证：△OEC为等腰三角形；
（2）连接AE.DC.AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．
【解析】（1）证明1：根据全等性证明
因为AB=AC，所以∠B=∠ACB，因为△ABC平移得到△DEF，所以
△ABC≌△DEF，
所以∠B=∠DEF，所以∠ACB=∠DEC，所以OE=OC，所以△OEC为等腰三角形；证明2：根据平行证明
因为AB=AC，所以∠B=∠ACB，因为△ABC平移得到△DEF，所以AB∥DE，所以∠B=∠DEC，所以∠ACB=∠DEC，所以OE=OC，所以△OEC为等腰三角形；
（2）解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形，
理由是：因为AB=AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，BE=EC，因为△ABC平移得到△DEF，
所以BE∥AD，BE=AD，所以AD∥EC，AD=EC，所以四边形AECD是平行四边形，
因为AE⊥BC，所以四边形AECD是矩形．
练习2-1问题情境：
小明将两个全等的Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，其中∠ACB＝∠DFE ＝90°，∠ABC＝∠DEF＝30°，AC＝1.固定△DEF不动，将△ABC沿直线ED向左平移，当B与D重合时停止移动．
猜想证明：
(1)如图①，在平移过程中，当点D为AB中点时，连接DC，CF，BF，请你猜想四边形CDBF的形状，并证明你的结论；
(2)如图②，在平移过程中，连接DC，CF，FB，四边形CDBF的形状在不断地变化，判断它的面积变化情况，并求出其面积；
探索发现：
(3)在平移过程中，四边形CDBF有什么共同特征？(写出两个即可)__________，________；
(4)请你提出一个与△ABC平移过程有关的新的数学问题(不必证明和解答)．
【解析】(1)菱形；(1分)
证明：由平移得CF∥AD，CF＝AD，(2分)
∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴CF＝BD，(3分)
又∵CF∥AD，
∴CF∥BD，
∴四边形CDBF是平行四边形．(4分)
在Rt△ACB中，CD为边AB的中线，∴CD＝DB，(5分)
∴四边形CDBF是菱形；(6分)
(2)四边形CDBF的面积是定值．(7分) 如解图，过点C作CG⊥AB于点G，
在Rt△AGC中，∵sin60°＝CG
AC，AC＝1，
∴CG＝
3
2.(8分)
∵AB＝
AC
sin30°＝2，
∴S
四边形CDBF ＝
1
2(CF＋DB)·CG＝
1
2(AD＋DB)·CG＝
1
2AB·CG＝S△ABC＝
1
2×2×
3
2
＝
3
2；(9分)
第1题解图
(3)①四边形CDBF的对角线互相垂直；
②四边形CDBF一组对边平行；
③四边形CDBF面积是一个定值；(11分)
(写出两个即可，答案不唯一)
(4)(答案不唯一，只要符合要求即可得1分)如：平移过程中，求∠FDB与∠CBD的和．(12分)
练习2-2【问题情境】
已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA 方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG.
【深入探究】
(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；
(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．
【答案】(1)证明：∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BCA＝∠ABC＝45°，
∵FG⊥BC，
∴∠FGC＝90°，∴∠GFC＝90°－∠GCF＝45°，
∴∠GFC＝∠GCF，
∴GC＝GF；
(2)解：DG＝EG，DG⊥EG；
证明：同(1)可证GC＝GF，
∵∠DCE＝90°，∠BCA＝45°，
∴∠DCG＝45°，
∵∠GFC＝45°，
∴∠DCG＝∠EFG，
∵△CDE平移得到△ABF，
∴CE＝AF，∴CE＋CF＝AF＋CF，即EF＝AC，
∵AC＝CD，∴EF＝CD，∴△DCG≌△EFG(SAS)，
∴DG＝EG，∠DGC＝∠EGF，
∴∠DGC－∠EGC＝∠EGF－∠EGC，
即∠DGE＝∠CGF＝90°，
∴DG⊥EG；
(3)解：∠CGE＝180°－α.
练习2-3在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH.
【问题发现】
(1)如图①，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是________，位置关系是________；
【拓展探究】
(2)如图②，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；
【解决问题】
(3)若点P在线段DC的延长线上，且∠AHQ＝120°，正方形ABCD的边长为2，请直接写出DP的长度．
第2题图
【答案】解：(1)AH＝PH，AH⊥PH；
【解法提示】如解图①，连接HC，
第2题解图①
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
又∵QH ⊥BD ，
∴△DHQ 是等腰直角三角形，
∴HD ＝HQ ，∠HDP ＝∠HQC ＝45°，
由平移的性质可知DP ＝CQ ，
在△HDP 和△HQC 中，⎩⎨⎧HD ＝HQ
∠HDP ＝∠HQC
DP ＝QC
，
∴△HDP ≌△HQC.
∴HP ＝HC ，∠DHP ＝∠QHC.
根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ，∠AHD ＝∠CHD ，
∴∠AHP ＝∠AHD ＋∠DHP ＝∠CHD ＋∠QHC ＝90°，即AH ⊥PH.
∴HA ＝HP ，AH ⊥PH.
(2)(1)中的结论仍然成立，
理由如下：如解图②，连接HC ，
第2题解图②
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BDC ＝45°，
又∵QH ⊥BD ，
∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴∠HDP ＝∠HQC ＝135°，HD ＝HQ ，由平移的性质可知DP ＝CQ ，
在△HDP 和△HQC 中，⎩⎨⎧HD ＝HQ
∠HDP ＝∠HQC
PD ＝CQ
，
∴△HDP ≌△HQC(SAS)，
∴HP ＝HC ，∠DHP ＝∠QHC ，
根据正方形是轴对称图形得到HA＝HC，∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHP＝∠AHD－∠DHP＝∠CHD－∠CHQ＝90°，
∴HA＝HP，AH⊥PH；
(3)DP＝2 3.
【解法提示】由(1)知，AH＝PH，AH⊥PH，
∴∠HPA＝45°，
∵∠AHQ＝120°，
∴∠PHQ＝120°－90°＝30°.
∴∠PHD＝∠QHD－∠PHQ＝60°，∠AHB＝∠CHB＝∠AHP－∠PHD＝30°，
∴∠CHP＝∠CHB＝∠AHB＝30°，
∴∠CPH＝180°－∠CHP
2＝75°，
∴∠APD＝∠CPH－∠APH＝30°，在Rt△ADP中，AD＝2，
∴DP＝
2
tan∠APD＝2 3.
练习2-4在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q 作QH⊥BD于H，连接AH，PH．
（1）若点P在线段CD上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）
【解析】（1）①如图1；
②解法一：如图1，连接CH，
∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，
∴∠HDQ=45°，
∴△DHQ是等腰直角三角形．
∵DP=CQ，
在△HDP与△HQC中．
∵DH=QH，∠HDP=∠HQC，DP=QC
∴△HDP≌△HQC（SAS），
∴PH=CH，∠HPC=∠HCP．
∵BD是正方形ABCD的对称轴，
∴AH=CH，∠DAH=∠HCP，
∴∠AHP=180°-∠ADP=90°，
∴AH=PH，AH⊥PH．
解法二：如图1，连接CH，
∵QH⊥BD，
∴∠QHB=∠BCQ=90°，
∴B、H、C、Q四点共圆，
∴∠DHC=∠BQC，
由正方形的性质可知∠DHC=∠AHD，
由平移性质可知∠BQC=∠APD，
∴∠AHD=∠APD，
∴A、H、P、D四点共圆，
∴∠PAH=∠PDH=45°，∠AHP=∠ADP=90°，
∴△HAP 是等腰直角三角形，
∴AH=PH ，AH ⊥PH ．
（2）解法一：如图2，
∵四边形ABCD 是正方形，QH ⊥BD ，
∴∠HDQ=45°，
∴△DHQ 是等腰直角三角形．
∵△BCQ 由△ADP 平移而成，
∴PD=CQ ．
作HR ⊥PC 于点R ，
∵∠AHQ=152°，
∴∠AHB=62°，
∴∠DAH=17°．
设DP=x ，则DR=HR=RQ=
2
1x -． ∵tan17°=CR
HR ，即tan17°=2
121x x
+-， ∴x=︒+︒-17tan 117tan 1． 解法二：
由（1）②可知∠AHP=90°，
∴∠AHP=∠ADP=90°，
∴A 、H 、D 、P 四点共圆，
又∠AHQ=152°，∠BHQ=90°，
∴∠AHB=152°-90°=62°，
由圆的性质可知∠APD=∠AHB=62°，
在Rt △APD 中，∠PAD=90°-62°=28°，
∴PD=AD•tan28°=tan28°．
练习2-5如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD，构成平行四边形ABDC．
；（1）请写出点C的坐标为，点D的坐标为，S
四边形ABDC
（2）点Q在y轴上，且S△QAB＝S四边形ABDC，求出点Q的坐标；
（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）（0，2），（4，2），8；（2）Q(0，4)或Q(0，﹣4)；（3）∠CPO
＝∠DCP+∠BOP，证明见解析
【解析】（1）∵线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，
且A（﹣1，0），B（3，0），
∴C（0，2），D（4，2）；
∵AB＝4，OC＝2，
∴S
四边形ABDC
＝AB×OC＝4×2=8；
故答案为：（0，2）；（4，2）；8；
（2）∵点Q在y轴上，设Q（0，m），
∴OQ＝|m|，
∴S△QAB＝1
2
×AB×OQ＝
1
2
×4×|m|＝2|m|，
∵S
四边形ABDC
＝8，
∴2|m|＝8，
∴m＝4或m＝﹣4，
∴Q（0，4）或Q（0，﹣4）．
（3）如图，
∵线段CD是线段AB平移得到，
∴CD∥AB，
作PE∥AB交y 轴于点E，
∴CD∥PE，
∴∠CPE＝∠DCP，
∵PE∥AB，
∴∠OPE＝∠BOP，
∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，
∴∠CPO＝∠DCP+∠BOP．
练习2-6如图，直线：y＝﹣
3
3
x+4与x轴、y轴分别別交于点M、点N，等边
△ABC的高为3，边BC在x轴上，将△ABC沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点O重合时，解答下列问题：
（1）点A1的坐标为．
（2）求△A1B1C1的边A1C1所在直线的解析式；
（3）若以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．【答案】（1）（3，3）；（2）y＝﹣3x+6；（3）点P的坐标为：（33，3）或（53，﹣3）或（﹣3，3）
【解析】（1）直线：y＝﹣3
x+4与x轴、y轴分别別交于点M、点N，
则点M（43，0），
当点B1与原点O重合时，过点A1作A1D⊥x轴于点D，
则A1D＝3，则B1D＝A1Dtan30°＝3×
3
3
3
当x3y＝﹣
3
3
x+4＝3＝A1D，故点A1在直线上，
点A 1（3，3），故答案为：（3，3）； （2）将点C 1
（23，0）、A 1的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b
23033
k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 并解得：36k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
直线A 1C 1的表达式为：y ＝﹣3x +6；
（3）设点P （m ，n ）
①当A 1C 1是平行四边形的边时，
则433m +=，0﹣3＝n 或433m -=，0+3＝n
解得：m ＝33或53，n ＝3或﹣3，
故点P 的坐标为：（33，3）或（33，﹣3）；
②当A 1C 1是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：32343,3m n +=+=
解得：m ＝3-，n ＝3，故点P （3-，3）；
综上点P 的坐标为：（33，3）或（53，﹣3）或（﹣3，3）．
练习2-7（问题情境）在综合实践课上，同学们以“图形的平移”为主题开展数学活动，如图①，先将一张长为4，宽为3的矩形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的四边形ABCD ，3AD =，4BD =，则拼得的四边形ABCD 的周长是_____.
（操作发现）将图①中的ABE △沿着射线DB 方向平移，连结AD 、BC 、AF 、
CE ，如图②.当ABE △的平移距离是12
BE 的长度时，求四边形AECF 的周长.
（操作探究）将图②中的ABE △继续沿着射线DB 方向平移，其它条件不变，当四边形ABCD 是菱形时，将四边形ABCD 沿对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长.
【解析】由题意，可得AB =CD ，AC =BD ，∠ADB =∠DBC =90°
又∵3AD =，4BD =，
∴根据勾股定理，可得5AB ==
∴四边形ABCD 的周长是()2()25316AB AD +=⨯+=
故答案为16.
由平移，得AE =CF =3，DE =BF ．
∵AE ∥CF ，
∴四边形AECF 是平行四边形．
∵BE =DF =4，
∴EF =DE =2．
在Rt △AEF 中，∠AEF =90°，
由勾股定理，得AF ．
∴四边形AECF 的周长为2AE +2AF
由平移，得当点E 与点F 重合时，四边形ABCD 为菱形，AE =CE =3，BE =DE =4，沿对角线剪开的三角形组成的矩形有两种情况：
①以6为长，4为宽的矩形，其周长为()64220+⨯=；
②以3为宽，8为长的矩形，其周长为()38222+⨯=.
故答案为20或22．。