2020版高考数学大二轮复习第二部分专题6函数与导数增分强化练(三十三)理

增分强化练(三十三)
考点一 函数及其表示
1．设集合A ＝{－3,0,1,2}，集合B ＝{y |y ＝2x
}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，－3] B ．{1,2} C ．{0,2}
D ．(0，＋∞)
解析：由指数函数的性质，可得集合B ＝{y |y ＝2x }＝{y |y >0}，又由A ＝{－3,0,1,2}，所以A ∩B ＝{1,2}，故选B. 答案：B
2．(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
log 2x ，0<x ≤1f (x －1)，x >1，则f ⎝
⎛⎭
⎪⎫2 0192＝________.
解析：由函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
log 2x ，0<x ≤1
f (x －1)，x >1，可得当x >1时，满足f (x )＝f (x －1)，所以函数f (x )
是周期为1的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0192＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 009＋12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝log 2
12＝－1. 答案：－1 3．函数f (x )＝ln x ＋1
x －1
的值域为________． 解析：ln x ＋1x －1＝ln x －1＋2x －1＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋2x －1，
∵1＋
2x －1>0且1＋2x －1≠1， ∴ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋
2x －1≠0， ∴f (x )值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪(0，＋∞) 考点二 函数的图象
1．函数y ＝1－|x －x 2
|的图象大致是( )
解析：当x ＝－1时，y ＝1－|－1－1|＝－1，所以舍去A ，D ，当x ＝2时，y ＝1－|2－4|＝－1，所以舍去B ，故选C. 答案：C
2．函数y ＝x 2ln x 2
|x |
的图象大致是( )
解析：∵y ＝x 2ln x 2
|x |
，
∴函数为偶函数，排除B ， 又x >0时，y ＝2x ln x ，
y ′＝2(1＋ln x )＝0时，x ＝1e
，
即函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，＋∞单调递增，排除A 、C ，故选D. 答案：D
3．若定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的实根个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．6
解析：由f (x ＋2)＝f (x )可得函数的周期为2，又函数为偶函数且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故可作出函数f (x )的图象，
∴方程f (x )＝log 3|x |的解个数等价于f (x )与y ＝log 3|x |图象的交点， 由图象可得它们有4个交点，故方程f (x )＝log 3|x |的解个数为4，故选C. 答案：C
4.如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，M 是CD 的中点，则当P
沿A ­B ­C ­M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数y ＝f (x )
的图象的形状大致是下图中的(
)
解析：由点P 在边长为1的正方形边上运动，M 是CD 的中点，则当P 沿A ­B ­C ­M 运动时，点
P 经过的路程x 与△APM 的面积的函数，
可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1
2
x ，0<x <134－x
4，1≤x <2
54－12x ，2≤x <52
，画出分段函数的图象，
如图所示，
故选A. 答案：A
考点三 函数的性质
1．(2019·大连模拟)下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝|x |
C ．y ＝－x 3
D ．y ＝ln(x 2
＋1＋x )
解析：sin x 不是单调递增函数，可知A 错误； |－x |＝|x |，则函数y ＝|x |为偶函数，可知B 错误；
y ＝－x 3在(－∞，＋∞)上单调递减，可知C 错误；
ln ()(－x )2＋1－x ＝ln
1
x 2
＋1＋x
＝－ln(x 2＋1＋x )，则y ＝ln(x 2
＋1＋x )为奇函数；当
x ≥0时，x 2＋1＋x 单调递增，由复合函数单调性可知y ＝ln(x 2＋1＋x )在[0，＋∞)上单调
递增，根据奇函数对称性，可知在(－∞，＋∞)上单调递增，则D 正确．故选D. 答案：D
2．(2019·汕头模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (1)＝a ，
则f (2)＋f (3)＋f (4)＝( ) A ．0 B ．－a C ．a
D ．3a
解析：因为函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，
所以f (x )关于直线x ＝1对称，所以f (2)＝f (0)，f (3)＝f (－1)， 又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，
又由f (1＋x )＝f (1－x )可得f (x ＋1)＝f (1－x )＝－f (x －1)， 所以f (x ＋2)＝－f (x )，故f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 因此，函数f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (4)＝f (0)，又f (1)＝a ，
因此f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (0)＋f (－1)＋f (0)＝－f (1)＝－a . 故选B. 答案：B
3．已知定义在非零实数集上的奇函数y ＝f (x )，函数y ＝f (x －2)与g (x )＝sin πx
2
图象共有4个交点，则该4个交点横坐标之和为( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．8
解析：因为函数y ＝f (x )是奇函数，y ＝f (x )关于点(0,0)中心对称； 所以函数y ＝f (x －2)关于点(2,0)中心对称； 又由πx
2
＝k π，k ∈Z 得到x ＝2k ，k ∈Z ，
即函数g (x )＝sin πx
2的对称中心为(2k,0)，k ∈Z ，
因此，点(2,0)也是函数g (x )＝sin πx
2的一个对称中心；
由函数y ＝f (x －2)与g (x )＝sin πx
2图象共有4个交点，
交点横坐标依次设为x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4， 所以由函数对称性可知，x 1＋x 4
2
＝2，
x 2＋x 3
2
＝2，
因此x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8. 故选D. 答案：D
4．(2019·株洲模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x ，x ≥a
－x 3
＋3x ，x <a
，其中a ≤－2，则满足f (x )＋f (x －1)<3
的x取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－3，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：设y＝－x3＋3x，则y′＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，
所以当x<－1或x>1时，函数y＝－x3＋3x单调递减；当－1<x<1时，函数单调递增．所以当x<a(a≤－2)时，函数y＝－x3＋3x单调递减．
又当x≥a(a≤－2)时，函数y＝－x单调递减，
所以函数f(x)在R上单调递减．
设h(x)＝f(x)＋f(x－1)，则h(x)在R上也为单调递减函数，
又h(－1)＝f(－1)＋f(－2)＝3，
即h(x)<h(－1)，
所以x>－1.
所以所求x取值范围是(－1，＋∞)．
故选A.
答案：A。