一类具记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破

一类具记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破
胡文燕;杜晓英
【摘要】考虑一类非线性Petrovsky方程的具Dirichlet边界条件的初边值问题.在假设松弛函数g和初值u0, u1满足适当的条件, 且初始能量为非正值时, 利用能量法证得其解在有限时间内爆破.%A nonlinear Petrovsky equation with initial conditions and Dirichlet boundary conditions is considered.Assuming that the relaxation function g satisfies the appropriate conditions and the initial energy is not positive, the energy method is used to prove that the solution blows up in finite time.
【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2019(055)001
【总页数】5页(P16-19,25)
【关键词】非线性Petrovsky方程;松弛函数;记忆项;初始能量;爆破
【作者】胡文燕;杜晓英
【作者单位】晋中学院数学学院,山西晋中 030619;晋中学院数学学院,山西晋中030619
【正文语种】中文
【中图分类】O175.23
Petrovsky型方程[1]可以解释很多重要的物理模型，许多学者对其解的整体存在
性、渐进性、爆破性进行了大量研究[2-5].
对于不带记忆项的非线性Petrovsky方程，文献[3-4]分别证明了其解在正的初始能量和负的初始能量下解的爆破性质.文献[6-7]通过对方程源项和非线性阻尼项相互作用的研究，对非线性Petrovsky方程爆破解的下界进行了估计.
对于带有记忆项的Petrovsky方程，文献[8]证明了在负的初始能量下，松弛函数满足一定条件时解会发生爆破.
文中首先推广文献[4,8]的结果，然后给出具记忆项的Petrovsky方程的初边值问题当初始能量为非正值时解的爆破性质.
1 预备知识
考虑非线性Petrovsky方程的初边值问题
(1)
其中p>2,Ω⊂Rn(n≥2)是具有光滑边界的有界区域，n是∂Ω的单位外法线方向. 假设函数g:R+R+ 满足
1-g(τ)dτ=l>0,g(0)>0,
且
这里
(4)
类似于文献[4]，可利用Faedo-Galerkin方法证明初边值问题(1)解的存在性和唯一性，这里不再给出证明.
定理1[4](局部存在定理) 假设g,p满足条件(2)～(4)，那么对于任意给定的总存在T*>0，使得初边值问题(1)存在唯一的局部解u(t)，满足：
引理1 如果p满足条件(4),那么对于任意的存在正常数C1=C1(Ω,p)，使得
‖u(t)‖p≤C1‖Δu(t)‖2.
证明利用Sobolev嵌入定理和不等式，很容易证得结论成立. 】
定义问题(1)的能量函数[9-11]
其中
(g∘Δu)(t)=g(t-τ)‖Δu(t)-Δu(τ)dτ.
在(1)中方程两边同乘以ut，并利用格林公式可得下面引理.
引理2 假设g,p满足条件(2)～(4)，且u(t)为初边值问题(1)的解，那么
2 主要结果及证明
考虑E(0)≤0的情形.若令H(t)=-E(t),显然有H′(t)=-E′(t)≥0,因此
H(t)≥H(0)=-E(0)≥0.
引理3 如果g,p满足条件(2)～(4)，且u(t)为问题(1)的解，那么对任意的t∈[0,T*)，存在常数C2=C2(p,l,C1)，使得
‖u(t)≤C2‖u(t)，
其中2≤s≤p.
证明当‖u(t)‖p≥1时，由s≤p，显然不等式‖u(t)≤‖u(t)成立.
当‖u(t)‖p≤1时，由引理1，有
‖u(t)≤‖u(t)≤(C1‖Δu‖2)2.
因为
所以
即存在常数C2=C2(p,l,C1)，使得不等式成立. 】
定理2 假设g,p满足条件(2)～(4)，当E(0)≤0时，如果对于任意初值(u0,u1):u0≠0,u1≠0,有
u0·
那么存在T*>0，使得初边值问题(1)的解在有限时刻T*爆破.
证明令
u·utdx,
对t求导，有
由问题(1)，有
从而
进而
由Young不等式，对于任意的η>0，有
由(6)式，可得
将上式代入(5)式，整理可得
因为
所以，
由Young不等式，对于任意的ε1>0，有
ut.
取则
从而
其中B为常数.因为
从而由Hölder不等式和Young不等式，有
其中
定义函数
Ψ(t)=H1-α(t)+δG(t),t∈[0,T*),δ>0.
则
Ψ′(t)=(1-α)H-α(t)H′(t)+δG′(t).
将(7)式和(8)式代入，有
因为E(0)≤0,H′(t)=-E′(t)≥0,H(t)≥H(0)=-E(0)≥0，所以存在δ>0,γ>0，使得
且
从而Ψ(t)≥Ψ(0)>0,∀t∈[0,T*).
令则其中取充分小的δ>0，则有
由Cauchy-Schwarz不等式，有
因为p>2，由Hölder不等式和Young不等式有
这里，
再由引理3，存在C6>0，使得
因为(9)式成立,所以一定存在ξ>0，使得
Ψ′(t)≥ξΨθ(t),
(11)
其中ξ=ξ(δ,γ,C6).
对(11)式两端在[0,t]上积分，有
又因为Ψ(0)>0，故一定存在
使得】
3 结束语
许多学者对不带记忆项的非线性Petrovsky方程进行研究，得到在正的初始能量
和负的初始能量下解的爆破结论.文中推广了文献[4,8]的结果，研究了带记忆项的情形，并得出当松弛函数和初值满足一定条件时，其解在非正的初始能量下在有限时间内会发生爆破.
参考文献:
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