一轮复习讲解椭圆

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忆一忆知识要点
(2)第二定义：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线(F 不在 l 上)的距离的比是常数 e (0<e<1) 时，则这个点的轨迹 是椭圆．定点是椭圆的 焦点 ，定直线叫椭圆的 准线 ，常 数是椭圆的 离心率 ．
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忆一忆知识要点
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 xa22＋by22＝1 (a>b>0) ay22＋xb22＝1 (a>b>0) 图形
S ∴ PF1F2 ＝12mnsin 60°＝ 33b2，
即△PF1F2 的面积只与短轴长有关．
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探究提高
(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角 形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦 定理、PF1＋PF2＝2a，得到 a、c 的关系．
定义式的平方 (2)对△F1PF2 的处理方法余弦定理
(2)利用SF1PF2＝12PF1·PF2sin 60°可证．
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(1)解 设椭圆方程为xa22＋by22＝1 (a>b>0)，
PF1＝m，PF2＝n，则 m＋n＝2a. 在△PF1F2 中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn ＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋2 n2＝4a2－3a2＝a2 (当且仅当 m＝n 时取等号)． ∴ac22≥14，即 e≥12. 又 0<e<1，∴e 的取值范围是12，1. (2)证明 由(1)知 mn＝43b2，
如果 b<12，则当 y＝－b 时， d2 取得最大值，即有( 7)2＝b＋322， 解得 b＝ 7－32>12与 b<12矛盾．
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如果 b≥12，则当 y＝－12时，
d2 取得最大值，即有( 7)2＝4b2＋3.
②
由①、②可得 b＝1，a＝2. 所求椭圆方程为x42＋y2＝1.
由 y＝－12可得椭圆上到点 P 的距离等于 7的点的坐标为
－

3，－12和
3，－12.
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直线与椭圆的位置关系
例 3 已知椭圆ax22＋by22＝1 (a>b>0)的离心率为 e＝ 23，连接椭 圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. (1)求椭圆的方程； (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A，B.已知点 A 的 坐标为(－a,0)，点 Q(0，y0)在线段 AB 的垂直平分线上， 且Q→A·Q→B＝4.求 y0 的值．
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探究提高
求椭圆的标准方程常用方法为定义法、待定系数法．在利用 待定系数法时，常结合椭圆性质、已知条件，列出关于 a、b、 c 的方程，解之．
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变式训练 1
已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距 离分别为43 5和23 5，过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦
点，求此椭圆的方程． 解 方法一 设椭圆的标准方程是xa22＋by22＝1 (a>b>0)或ay22＋ xb22＝1 (a>b>0)，两焦点分别为 F1，F2，
(1)利用 e 及菱形面积求 a，b 的值；(2)设出 l 的方程，并与xa22 ＋by22＝1 联立求出点 B 的坐标，进而求出线段 AB 中垂线的 方程，并利用Q→A·Q→B＝4 求 y0 的值．
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解 (1)由 e＝ac＝ 23，得 3a2＝4c2，再由 c2＝a2－b2， 得 a＝2b，由题意可知12×2a×2b＝4，即 ab＝2. 解方程组aa＝b＝2b2， ，得 a＝2，b＝1， 所以椭圆的方程为x42＋y2＝1.
所以椭圆 G 的焦点坐标为(－ 3，0)，( 3，0)．
离心率为
e＝ac＝
3 2.
(2)由题意知，|m|≥1.
当 m＝1 时，切线 l 的方程为 x＝1，点 A，B 的坐标分别为(1， 23)，(1，－ 23)．此时 AB＝ 3.
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当 m＝－1 时，同理可得 AB＝ 3. 当|m|＞1 时，设切线 l 的方程为 y＝k(x－m)．
F1F2＝2c e＝ac∈(0,1)
c2＝a2－b2 x＝±ac2
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y＝±ac2
[难点正本 疑点清源] 椭圆方程中的 a、b、c、e 与坐标系无关，而焦点坐标、顶点 坐标等与坐标系有关．因此确定椭圆方程需要三个条件，两
个定形条件：a、b；一个定位条件：焦点坐标． (1)椭圆中有一个十分重要的三角形 OF1B2 (如右图)，它的三边长分别为 a、b、c.易见 c2＝a2－b2，且若记∠OF1B2＝θ，则 cos θ ＝ac＝e. (2)椭圆的定义中应注意常数大于 F1F2.因为当平面内的动点 与定点 F1、F2 的距离之和等于 F1F2 时，其动点轨迹就是线 段 F1F2；当平面内的动点与定点 F1、F2 的距离之和小于 F1F2 时，其轨迹不存在．
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所以 AB＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2 ＝ (1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝ (1＋k2)(16＋4k44mk22)2－4(41k＋2m42k－2 4)＝4m23＋|m3|.
由于当 m＝±1 时，AB＝ 3， 所以 AB＝4m23＋|m3|，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因为 AB＝4m23＋|m3|＝|m4|＋3|m3 |≤2， 且当 m＝± 3时，AB＝2， 所以 AB 的最大值为 2.
一轮复习讲义
椭圆
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要点梳理
忆一忆知识要点
1．椭圆的概念 (1)第一定义：在平面内到两个定点 F1、F2 的距离的和等 于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做 椭圆 ．这两定点叫 做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．
集合 P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中 a>0，c>0， 且 a，c 为常数： ①若 a>c ，则集合 P 为椭圆； ②若 a＝c ，则集合 P 为线段； ③若 a<c ，则集合 P 为空集．
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范围
对称性
顶点
性轴 质 焦距
离心率 a，b，c 的关系
准线
－a≤x≤a
－b≤x≤b
－b≤y≤b
－a≤y≤a
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(0，－b)，B2(0，b)
B1(－b,0)，B2(b,0)
长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b
圆的方程，并求椭圆上到点 P 的距离等于 7的点的坐标．
解 设所求椭圆方程为xa22＋by22＝1 (a>b>0)，
由 e＝ac＝ a2a－b2＝ 23，得 a＝2b.
①
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设椭圆上任一点 M 的坐标为(x，y)，点 M 到点 P 的距离为 d， 则 x2＝a2－ab2y22，且 d2＝x2＋y－322＝a2－ab22y2＋y－322 ＝－3y2－3y＋4b2＋94＝－3y＋122＋4b2＋3， 其中－b≤y≤b.
y＝k(x－m)， 由x42＋y2＝1， 得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0. 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1＋x2＝18＋k24mk2，x1x2＝4k12＋m42－k24. 又由 l 与圆 x2＋y2＝1 相切，得 |kk2m＋| 1＝1， 即 m2k2＝k2＋1.
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变式训练 3 (2011·北京)已知椭圆 G：x42＋y2＝1.过点(m,0)作圆 x2＋y2＝1 的切线 l 交椭圆 G 于 A，B 两点． (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率； (2)将 AB 表示为 m 的函数，并求 AB 的最大值．
解 (1)由已知得 a＝2，b＝1，所以 c＝ 的垂直平分线方程为 y－1＋2k4k2＝－1kx＋1＋8k42k2.
令 x＝0，解得 y0＝－1＋6k4k2. 由Q→A＝(－2，－y0)，Q→B＝(x1，y1－y0)， Q→A·Q→B＝－2x1－y0(y1－y0) ＝－21(＋2－4k82k2)＋1＋6k4k21＋4k4k2＋1＋6k4k2＝4(16(k14＋＋41k52k)22－1)＝4，
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由于直线 AB 的斜率为－ba，故 OP 的斜率为－ba，直 线 OP 的方程为 y＝－bax.与椭圆方程xa22＋by22＝1 联立，解得 x ＝± 22a.因为 PF1⊥x 轴，所以 x＝－ 22a，
从而－ 22a＝－c，即 a＝ 2c.又 F1A＝a＋c＝ 10＋ 5， 故 2c＋c＝ 10＋ 5，解得 c＝ 5，从而 a＝ 10. 所以所求的椭圆方程为1x02 ＋y52＝1. 答案 1x02＋y52＝1
设线段 AB 的中点为 M， 则 M 点的坐标为1－＋84kk22，1＋2k4k2. 以下分两种情况： ①当 k＝0 时，点 B 的坐标为(2,0)，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是Q→A＝(－2，－y0)，Q→B＝(2，－y0)． 由Q→A·Q→B＝4，得 y0＝±2 2.
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求椭圆的标准方程
例 1 已知 F1，F2 是椭圆xa22＋by22＝1 (a>b>0)的左，右焦点， A，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点， OP∥AB，PF1⊥x 轴，F1A＝ 10＋ 5，则此椭圆的方程 是____________．
根据椭圆的几何性质，求出 P 的坐标，从而找到 a 与 c 的关 系，由 F1A＝a＋c＝ 10＋ 5，再求 a.
方法二 设椭圆的两焦点分别为 F1，F2， 且 PF1＝435，PF2＝235，
∴由椭圆定义知 2a＝PF1＋PF2＝2 5，
∴a＝ 5.∵PF1>PF2，
由题意知△PF1F2 为直角三角形， ∴在△PF1F2 中，sin∠PF1F2＝PPFF21＝12， ∴∠PF1F2＝π6. ∴2c＝PF1·cos π6＝2 35.∴b2＝a2－c2＝130. ∴椭圆方程为x52＋31y02＝1 或31x02＋y52＝1.
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椭圆的几何性质
例 2 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点， ∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； (2)求证：△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关．
(1)在△PF1F2 中，使用余弦定理和 PF1＋PF2＝2a，可求 PF1·PF2 与 a，c 的关系，然后利用基本不等式找出不等关系， 从而求出 e 的范围；
整理得 7k2＝2.
故
k＝±
714，所以
y0＝±2
14 5.
综上，y0＝±2
2或
y0＝±2
14 5.
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探究提高
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立， 消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系， 并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，如本题(2)的求 解中，常因忽略直线 l 与 x 轴重合的特殊形式而失分．
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思想与方法
对称与变换的思想在椭圆中的应用 (14 分)在直线 l：x－y＋9＝0 上任取一点 P，过点 P 以椭圆1x22 ＋y32＝1 的焦点为焦点作椭圆．则点 P 在何处时，所求椭圆 的长轴最短？并求出长轴最短时的椭圆方程．
则由题意知 2a＝PF1＋PF2＝2 5，∴a＝ 5. 在方程xa22＋by22＝1 中令 x＝±c 得|y|＝ba2， 在方程ay22＋xb22＝1 中令 y＝±c 得|x|＝ba2， 依题意并结合图形知ba2＝23 5.∴b2＝130.
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即椭圆的标准方程为x52＋31y02＝1 或y52＋31x02＝1.
面积公式 (PF1＋PF2)2＝(2a)2 ⇔4c2＝PF21＋PF22－2PF1·PF2cos θ . S△＝12PF1·PF2sin θ
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变式训练 2 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 e＝ 23， 已知点 P0，32到这个椭圆上的点最远距离是 7，求这个椭
(2)由(1)知 A(－2,0)，且直线 l 的斜率必存在． 设 B 点的坐标为(x1，y1)，直线 l 的斜率为 k， 则 l 的方程为 y＝k(x＋2)． 于是 A，B 两点的坐标满足方程组x42＋y2＝1，
y＝k(x＋2).
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由方程消去 y 并整理，得 (1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0. 由－2x1＝116＋k24－k24，得 x1＝21－＋84kk22，从而 y1＝1＋4k4k2.