湖北省随州市部分示范高中2020届高一3月月考数学试题Word版含答案

湖北省随州市部分示范高中2020届3月月考
高一数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2{230}A x x x =--<，集合1{21}x B x +=>，则B C A =（ ）
A ．(3,)-+∞
B ．(,1]-∞-U [3,)+∞
C ．[3,)+∞
D ．(,1)-∞-U (3,)+∞ 2.对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．139,,a a a 成等比数列 B ．236,,a a a 成等比数列 C ．248,,a a a 成等比数列 D ．369,,a a a 成等比数列
3. ABC ∆中，AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，且0a b •>r r
，则ABC ∆一定是（ ）
A ．钝角三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．锐角三角形
4.如图，塔AB 底部为点B ，若,C D 两点相距为100m 并且与点B 在同一水平线上，现从,C D 两点测得
塔顶A 的仰角分别为045和0
30，则塔AB 的高约为（ ）（精确到0.1m ，3 1.73≈，2 1.41≈）
A ．36.5
B ．115.6
C ．120.5
D ．136.5
5.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
A ．13(,)44k k ππ-
+，k Z ∈ B ．13
(2,2)44
k k ππ-+，k Z ∈
C．
13 (,
)
44
k k
-+，k Z
∈ D．
13
(2,2)
44
k k
-+，k Z
∈
6.把1，3，6，10，15，…这些数叫作“三角形数”，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第15个三角形数是（）
A．120 B．105 C．153 D．91
7.函数
2
()ln(1)
f x x
x
=+-的零点所在的大致区间是（）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,)e D．(3,4)
8.要得到函数sin(2)
6
y x
π
=+的图象，只需将函数cos2
y x
=的图象（）
A．向左平移
6
π
个单位 B．向右平移
6
π
个单位
C．向左平移
3
π
个单位 D．向右平移
3
π
个单位
9.已知,,
A B C是平面上不共线的三点，若动点P满足()
AB AC
OP OA
AB AC
λ
=++
u u u r u u u r
u u u r u u u r
u u u r u u u r，(0,)
λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC
∆的（）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
10.已知数列{}
n
a满足3
12
ln
ln ln
258
a
a a
•••…
ln32
312
n
a n
n
+
•=
-
（*
n N
∈），则
10
a=（）
A．32
e B．26e C．35e D．29e
11.定义为n个正数
123
,,
p p p…
n
p的“均倒数”，若已知数列{}
n
a的前n项的“均倒数”为
1
21
n+
，又1
4
n
n
a
b
+
=，则
122334
111
b b b b b b
+++…
20152016
1
b b
+=（）
A．
2013
2014
B．
2014
2015
C．
2015
2016
D．
1
2015
12.用正奇数按下表排列
第1列第2列第3列第4列第5列
第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9 第三行 17 19 21 23 …
…
27
25
则2017在第_____行第______列.（ ）
A ．第253行第1列
B ．第253行第2列
C ．第252行第3列
D ．第254行第2列 二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）
13.宜昌一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数sin()T A t B ωϕ=++（其中
2
πϕπ<<）
，6时至14时期间的温度变化曲线如图所示，它是上述函数的半个周期的图象，图中曲线对应的函数解析式是 ．
14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1
sin sin sin 4
B C A -=
，23b c =，则cos A = ．
15.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{}n a 是等和数列，且12a =公和为5，那么18a 的值为 ．
16.已知函数sin()1,0()2
log (0,1),0
a x x f x x a a x π⎧
-<⎪
=⎨⎪>≠>⎩的图象上关于y 轴对称的点恰有9对，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知向量323,cos )a x x =+r ，(1,2cos )b x =r ，设函数()f x a b =•r r
（1）求函数()f x 的最小正周期和其图象的对称中心；
（2）当
7 [,]
1212
x
ππ
∈时，求函数()
f x的值域..
18. 在ABC
∆中，角,,
A B C所对的边分别为,,
a b c，满足23
c=，cos(2)cos0
c B b a C
+-=. （1）求角C的大小；
（2）求ABC
∆面积最大值.
19. 已知函数()
y f x
=（x R
∈）满足()21
f x x
=+，在数列{}
n
a，
1
1
a=，
1
()1
n n
a f a
+
=-（*
n N
∈），
数列{}
n
b为等差数列，首项
1
1
b=，公差为2.
（1）求数列{}
n
a，{}
n
b的通项公式；
（2）令n
n
n
b
c
a
=（*
n N
∈），求{}
n
c的前n项和
n
T.
20. 已知函数22
22
()(log)log3
f x x x
=-+，当[1,4]
x∈时，()
f x的最大值为m，最小值为n.
（1）若角α的终边经过点(,)
P m n，求sin cos
αα
+的值；
（2）设()cos()
g x m nx n
m
π
=+-，()()
h x g x k
=-在[0,]
2
π
上有两个不同的零点
12
,x x，求k的取值范围.
21. 宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角θ（弧度）.
（1）求θ关于x的函数关系式；
（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值.
22.已知函数
1
()lg()
1
mx
f x
x
-
=
-
为奇函数.
（1）求m的值，并求函数()
f x的定义域；
（2）判断并证明函数()
f x的单调性；
（3）若对于任意[0,]
2
π
θ∈，是否存在实数λ，使得不等式2
1
(cos sin)lg30
3
fθλθ
+-->恒成立，若存在，求出实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由.
湖北省随州市部分示范高中2020届3月月考
高一数学试题参考答案
一、选择题
1-5:CDADD 6-10:ABBCA 11、12：CB 二、填空题 13. 310sin()2084T t π
π=++ 14. 1
4
-
15. 3 16. 三、解答题 17.解：
（1）()2sin(2)46
f x x π
=+
+
()f x 的周期T π=
图象对称中心为：(
,4)212
k ππ
-，k Z ∈ （2）()2sin(2)46
f x x π
=+
+
7[,]1212x ππ∈，∴42[,]633
x πππ
+∈，∴()[3,6]f x ∈
18.解：
（1）∵cos 2cos cos 0c B a C b C -+= 由正弦定理和：
∴sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C +-= ∴sin 2sin cos 0A A C -= ∵sin 0A ≠，∴1
cos 2
C = ∴3
C π
=
.
（2）由正弦定理得
sin sin sin sin 3
a b c A B C π
===得 4sin a A =，4sin b B =，又23A B π+=
，23
B A π
=
-，
∴ABC ∆面积12sin sin sin()23
S ab C A B A A π
=
==-
化简得：)6
S A π
=-
当3
A π
=
时，S 有最大值，max S =.
19.解：
（1）由题意知：()21f x x =+，12n n a a +=，又11a =，
{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 ，故12n n a -=，
由11b =，2d =可得： ∴21n b n =-. （2）1
212
n n n c --=
， 123n n T c c c c =++++L
23135721
12222
n n n T --=+++++L ①
两边同乘公比12得，2341135721
222222n n
n T -=++++L ② ①-②得234112222221
(1)12222222
n n n
n T ---=++++++-L 化简得：123
62
n n n T -+=-
20.解：
（1）2222()(log )log 3f x x x =-+令2log x t =，∴2
()23g t t t =-+，[0,2]t ∈
最大值3m =，最小值2n =，∴(3,2)P ，∴sin
α=
cos α=
∴sin cos αα+=
. （2）()3cos(2)23g x x π=+
-，()()3cos(2)23
h x g x x k π
==+-- 3cos(2)23x k π+=+，∴32(3,]2k +∈--∴5
(5,]2
k ∈--.
21.解：
（1）由题可知30(10)2(10)x x θ=++-，所以10210x
x
θ+=
+，(0,10)x ∈
（2）花坛的面积为
2221
(10)(5)(10)5502
x x x x x θ-=+-=-++（010x <<）
， 装饰总费用为9(10)8(10)17010x x x θ++-=+，
所以花坛的面积与装饰总费用之比为22550550
1701010(17)
x x x x y x x -++--==-++.
令17t x =+，(17,27)t ∈
，则3913243913()1010101010
y t t =
-+≤-=， 当且仅当18t =时取等号，此时1x =，12
11
θ=.
故当1x =时，花坛的面积与装饰总费用之比最大. 22.解：
（1）∵函数1()lg(
)1mx
f x x
-=-为奇函数， ∴()()f x f x -=-在定义域内恒成立 即11lg(
)lg()11mx mx
x x
+-=-+-，∴22211m x x -=- 在定义域内恒成立，∴1m =-或1m =（舍去），即1m =-，101x
x
+>- 故函数的定义域是(1,1)- （2）1()lg()1x
f x x
+=-（11x -<<）
，任取12,(1,1)x x ∈-且12x x <则： 设1()1x
u x x
+=
-（11x -<<），1212121212112()()()11(1)(1)x x x x u x u x x x x x ++--=-=---- ∵1211x x -<<<，12()()0u x u x -<，∴12lg ()lg ()u x u x > ∴12()()f x f x <，即()f x 在定义域内单调递增 （3）假设存在实数λ，使得不等式2
1
(cos
sin )ln 303
f θλθ+-->恒成立
211
(cos sin )ln 3()32f f θλθ+->=恒成立.
由（1），（2）知：2
11cos sin 123θλθ<+-<对于任意[0,]2
πθ∈
2
211sin sin 13111sin sin 32θλθθλθ⎧-+-<⎪⎪⇔⎨⎪-+->⎪⎩
，
当0θ=时成立； 当(0,
]2
π
θ∈时，令sin t θ=，
2213315
66t t t t λλλλ⎧⎧-+<<⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨
⎪⎪-+>->⎪⎪⎩⎩
，即563λ<<.。