第十四章 达朗贝尔原理

z z Iz
F +N =0
b b
已知：P、、f，求不使A滑动的a
* 对象？
P
A
a
P
A
a
S
r FI A r r FG a r FR2
θ 1′
′ 2
N
F
r A FI
r FG
r a
n
′ θ 2
* 如何列方程？
n r FR1
1′
r FR1 r FI
r FG
r FR2
( c)
r FI
r FG
已知：P、R，自顶部无初速下滑，求：脱离球面的位置
22α1l + 10α 2 l 24 g = 0
(b)
解得
α1 =
9 g, 7l
α2 =
3 g 7l
整体对象的另两个平衡方程为
∑F ∑F
x y
= 0: = 0:
FOx = 0 FOy + FIR1 + FIR 2 FG1 FG 2 = 0 FOy = FIR1 FIR 2 + FG1 + FG 2 = = = mlα1 α ml α1 + 2 + FG1 + FG 2 2 2 g + mg + mg
6α1l + 4α 2l 6 g = 0
(a)
4）以整体为对象，受力图如图14-11（c）所示，由平衡条件，有
∑ M (F ) = 0
O
或 或
3l l 3l FG1 FG 2 = 0 2 2 2 2 1 2 1 2 3ml α2 l 3l ml α1 + ml α 2 + α1 + mg mg = 0 3 12 2 2 2 2 M IO + M IC2 + FIR 2
r r r * 牛三定律： F ′ = F = ma
因惯性而引起的反抗力
r r F = ma
r r F = ma
I
惯性力
* 大 小： * 方 向：
* 作用点：
r 与反 a 向
施力物体
F = ma
I
二、质点的D.氏原理
r r r r R = F + N = ma r r r F + N ma = 0 r r 令 F = ma ：
即：
(e) (i) i i i Ii
r F
( e)
i
r N
i
r F
Ii
r r r r ∑[F + F + N + F ] = 0 r r (e) r (i) r r ∑ M O[ F i + F i + N i + F Ii ] = 0
r a r
Q内力的主矢、主矩 ≡ 0
i
F
(i )
i
m
i
i
r F
均质圆盘半径r，A处焊接一质量为m、长AB = L的均质细杆
求：圆盘以α启动时，A处反力 1. 2.圆盘以ω匀速转动时，A处反力
* 如何虚加惯性力？
当圆盘以α启动时：
A
Y
A
×
A
M
Io
F = m a = mOC α
τ τ
I C
F
τ
I
M A
O
X C
B
M =J α
Io O
a
τ
C
mL J = 12
O
2
I
r F
r F
I
r a
r N
r r r F + N +F =0
I
r R
质点的D.氏原理
* 意义：形式上的平衡
r r r F + N +F =0
I
* 投影式
F + N +F =0
x x Ix
F +N +F =0
y y Iy
Fτ + Nτ + F = 0 F +N +F =0
τ
I
n n n I
F +N +F =0
质 C 心 * 刚体转动（具有垂直于转轴的质量对称面）
转 与 称 的 点 轴 对 面 交 O
* 刚体平面平动
质心 C
1、刚体平动 r r r) RI = ∑ F Ii = ∑ ( mi a i r r r = ∑ (mi )a = Ma = M a C
C
r a
C
r a
i i
i
=0
r M
IC
r = ∑m (F C
* 背景 1743年出版《动力学》：牛顿运动定律推广为 受约束物体的运动定律—— 达朗伯原理。 1788年，拉格朗日 达朗伯原理 虚位移原理 * 特点： 动力学问题 * 方法： 虚加惯性力 形式上的平衡！ 静力学方程 动静法！ 动力学普遍方程
一、惯性力的概念
r a
r Q
* 牛二定律：
r F
r F′
E
MIE
B
FG 2
F
I1
F
I2
F
Oy
M
O
IO
P
F
Ox
C
A
M
A
IE
P
E B
α
1
a
C
a
α a
A
2
a a
E
τ
EA
（1）确定各个物体的运动关系
FIR1 = maC1 = M IO mlα1 , 2
aC1 =
α1l
2
,
l aC2 = α1l + α 2 2
（2）虚加各物体的惯性力，方向如图14-11（a）所示，大小为
Ii
r ) = ∑r
i
r )= r r )×a × ( m a ∑ (m r
i i
=？
* 结论：
I
r r R = M a
C
（通过质心C)
r M =0
IC
2、刚体定轴转动
（具有垂直于转轴的质量对称面）
O
对称面
r r r ) = M r aC R = ∑ F = ∑ ( m a
I Ii i i
r ( r )+ r ( rτ )= r ( rτ ) ∑m F ∑m F M = ∑m F r r r τ = ∑ m ( F )k = ∑ r i × ( mi ai ) k
α
M τ aC C
IO
* 特殊情况分析
C
e
r F
n I
O
a
n C
rτ F
ω α
IO
ea
r F
O
n I
n C
ω
I
M
O
O
ω
ω
3、刚体平面运动
平面运动—— 随质心的平动 + 绕质心的转动
r r 随质心平动： R = M a
I
C
绕质心转动： * 结论：
I
r R
r M =0
IC
I
=0
M = J α
IC C
(n) Ii ( ) Ii ( ) Ii IO O O O
(τ ) Ii O
r = ∑ [mi r × α ]k
r = J αk
O
2 i
M
a
IO
τ
i
F
n i
i
τ
Ii
n Ii
r R
O
I
* 结论：
M =J α
IO O
r r （过O点） R = M a
I C
a m F r α C a
i C
ω
（与 反向） α
Ii
O
( e) i
∴
r r r ∑[F + N + F ] = 0
( e) i i Ii
r N
r F
r r r r ∑MO[F + N + F ] = 0
( e) i i Ii
质系的D.氏原理 * 问题：
r r r ∑ F = ？ ∑ M O (F ) = ？
Ii
Ii
四、刚体惯性力系的简化 运动形式不同，简化中心不同，结果不同 * 刚体平动
+ m (OC )
2
* 如何理解惯性力的 作用点？
α
Y
当圆盘以ω启动时：
A
M A
A
X C
A
B
a
O
n C
F
n I
ω
F = ma = mOC ω
n I n C
2
求：水平位置开始运动时的α 两杆重均为P，长均为L，
* 受力分析 * 运动分析 * 问题：如何求，最简单？
r FAx
r FAy
A
r FI 2
∴
ml 9 1 3 9 g ml g 2 7l 2 7l 7l
2 mg 7
初始均质圆柱静止于A处，受微小干扰后纯滚而下，
求：轮心滚过任一距离S时，轮心的加速度、A处反力
X
Y
A
A
S
ω
α
C
A
M
A
P
θ
a
B
C
v
C
ml 2α1 = J Oα1 = , 3
α FIR 2 = maC2 = ml α1 + 2 2 2 ml α 2 M IC2 = J C2α 2 = 12
3）以AB杆为对象，受力图如图14-11（b）所示，由平衡条件，有
∑ M (F ) = 0
A
即
或
l l M IC2 + FIR 2 FG 2 = 0 2 2 2 1 2 ml α2 l ml α 2 + α1 + mg = 0 12 2 2 2
* 受力分析
F
* 运动分析 * 惯性力
τ
I
F
n I
P
aτ
N
a
n
R
三、质系的D.原理
取 一 点 ， 用 . 原 任 质 m 应 D氏 理
i
r r r r F +F +N +F =0
(e) (i) i i i Ii
r a r
F
(i ) i
i
所以：各质点在形式上均平衡 所以：
O
m
i
向O点简化，有： r r R′ = 0 MO = 0 ，
第十四章
（达朗伯原理） D′Alembert原理
法国数学家、力学家、哲学家。 1717年11月17日生于巴黎，1783年10月 29日卒于巴黎。
达 朗 伯 （1717-1783）
贵妇人的私生子，被弃于圣让 勒朗（Jean le Rond）教堂石阶,因 以为名，姓是后来他自加的。青年 时学过法律和医学，后攻数学。他 的知识主要靠自学获得。 1743年成为科学院院士。1754 年被选入法兰西学院，1772年起担 任学院终身书记。
r r （过C点） M IC R = M a aC M = J α （与α反向）
C
α
C
IC
C
R
I
机车以匀速v前进，各构件重相同，AB=5r，=300
求：系统的惯性力系
A
aA
v
FIC
B
r
aC
r
O
1
* 问题： 如何确定
a?
C
五、 D′Alembert原理解题步骤 1、选取研究对象（一般先取系统） 2、画受力图（主动力、约束反力） 3、分析系统中各物体的运动，确定（或 假定）各物体的运动量，画出相应的 惯性力系 4、按物体系统平衡求解