巧用“三线合一”解决几何问题

巧用“三线合一”解决几何问题
等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）。

在几何计算和论证过程中，若能巧妙地利用这个性质解题，将起到事半功倍的效果。

例 1. 等腰三角形顶角为α，一腰上的高与底边所夹的角是β，则β与α的关系式为
β=___________。

图1
分析：如图1，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，作底边BC 上的高AE ，E 为垂足，则可知∠EAC=∠EAB =
1
2α，又∠EAC C C =-=-9090°∠，∠°∠β，所以∠，EAC ==ββα1
2。

例2. 已知：如图2，△ABC 中，AB=AC ，CE ⊥AE 于E ，CE BC =1
2
，E 在△ABC 外，求证：∠ACE=∠B 。

图2
分析：欲证∠ACE=∠B ，由于AC=AB ，因此只需构造一个与Rt △ACE 全等的三角形，即做底边BC 上的高即可。

证明：作AD ⊥BC 于D ， ∵AB=AC ，
∴BD BC =
12 又∵CE BC =1
2
，
∴BD=CE 。

在Rt △ABD 和Rt △ACE 中， AB ＝AC ，BD=CE ，
∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ）。

∴∠ACE=∠B
例3. 已知：如图3，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DM⊥BC于M，求证：M是BE的中点。

图3
分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，因此只需证DB=DE，即证∠DBE=∠E，根据等边△ABC，BD是中线，可知∠DBC=30°，因此只需证∠E=30°。

证明：联结BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E=30°
∵BD是AC边上中线，
∴BD平分∠ABC，即∠DBC=30°
∴∠DBE=∠E。

∴DB=DE
又∵DM⊥BE，
∴DM是BE边上的中线，即M是BE的中点。

［练习］
1. 如图4，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处有一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？
图4
2. 已知：如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别
在AC、BC上，且ED⊥FD，求证：S四边形CEDF＝1
2
S
ABC
△。

图5
年级初中学科数学版本期数
内容标题巧用“三线合一”解决几何问题
分类索引号G.622.46 分类索引描述辅导与自学
主题词巧用“三线合一”解决几何问题栏目名称学法指导供稿老师审稿老师
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