第三节 Taylor中值定理

第三节 Taylor中值定理Taylor（1685-1731，英国）

18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年12月29日于伦敦逝世。泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的著名定理－－泰勒定理：式内v为独立变量的增量，及为流数。他假定z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从

格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x=0时便称作麦克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。

泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。

1715年，他出版了另一名著《线性透视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719）。他以极严密之形式展开其线性透视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用“没影点”概念，这对摄影测量制图学之发展有一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。

一、引入

常用近似公式x e x

+≈1，x x ≈sin |(|x 充分小），

将复杂函数用简单的一次多项式函数来近似表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还比较粗糙。尤其当||x 较大时。

上述近似表达式至少可以在如下两个方面进行改进：

1、提高近似程度，其可能的办法是提高多项式的次数；

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则会让使用者“心中不安”。

将上述思想进一步数学化：

对复杂函数)(x f ，想找多项式函数)(x p n 近似表示它。当然我们希望)(x p n 尽可能多的反映出)(x f 的性态，如：

（1）在某点处的函数值与导数值； （2）)(x p n 形式如何确定；

（3）)(x p n 与)(x f 的误差)()()(x p x f x R n n -= 二、做法

1、多项式函数)(x p n 的构造形式

设函数)(x f 在含点0x 的某邻域内具有直到1

+n

阶的导数，所求的多项式为

n

n n x x a x x a x x a a x p )

()()()(02

02010-++-+-+= ……..（1） 其中n a a ,,0 都是待定常数。为了使)(x p n 与)(x f 在含点0x 的某邻域内尽可能地接近，要求

)(0x p n )(0x f =，)('0x p n )('0x f =，)(''0x p n )(''0x f =，…., )(0)

(x p n n

)(0)

(x f

n =.

由于

n

n n x x a x x a x x a a x p )

()()()(02

02010-++-+-+= ∴)(00x p a n =，

1

0021)

()(2)('--++-+=n n n x x na x x a a x p ，

∴)('01x p a n =，

……!

2)(''02x p a n =

∴!

)(0)

(n x p a n n n =

，

于是按要求)(00x f a =，)('01x f a =，!

2)(''02x f a =，

…!

)

(0)

(n x f

a n n =

,所以有

+-+

-+=2

00000)(!

2)(''))((')()(x x x f x x x f x f x p n n

n x x n x f

)(!

)

(00)

(-+

（2）

（2）式称为)(x f 在点0x 的Taylor 多项式。 2、Taylor 中值定理（Taylor 公式）

设函数)(x f 在含点0x 的某邻域内具有直到1

+n 阶的导数，则对

),b a （内任一异于点0x 的点x ，都有

+-+

-+=2

00000)(!

2)(''))((')()(x x x f x x x f x f x f )()(!

)

(00)

(x R x x n x f

n n

n +-+

， 其中1

0)

1()

()!1()

()(++-+=

n n n x x n f

x R ξ，ξ介于0x 和x 之间。

1

0)

1()

()!

1()

()(++-+=

n n n x x n f

x R ξ称为Lagrange 型余

项。若令θ

ξ=--0

x x x ，则)(00x x x -+=θξ，10<<θ。

证明：记)()()(x p x f x R n n -=和1

0)(+-n x x 反复应用

柯西中值定理。

关于Taylor 中值定理的几点说明：

（1）有时不需要明确）x R n (的表达式，只用）x R n (