常微分方程及空间解析几何单元测试题
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（X ）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。
② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。
③ x? y 4是齐次方程。
y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。
6. ysiny 是一阶线性微分方程。
（X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。
(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。
(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。
dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。
3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。
42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。
45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。
3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。
（0 ）4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。
（X ）C （C 为任意常数）。
（0 ）④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。
6 .微分方程y y阶微分方程。
1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是（B ） oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是（cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的（A ）,其中C 1,C 2为任意常数。
A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。
9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为（B ）C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
（完整版）常微分方程基本概念习题及解答
（完整版）常微分方程基本概念习题及解答§1.2 常微分方程基本概念习题及解答1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+x 2y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明：令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程练习题
常微分方程练习题习题一一、单项选择题.1.微分方程yy32coyy5的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.克莱罗方程的一般形式是（）.A.y某y(y)B.某某y(y)C.y某y(某)D.某某y(y)3.下列方程中为全微分方程的是（）.A.某dyyd某某dyyd某0B.022某y某y22C.某dyyd某0D.某dyyd某0 2某某4.用待定系数法求方程y2yy某e的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y 某(a某b某c)e5．Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题1．方程y某tany的所有常数解是.某2某某22某某2某某2某某3某2C满足的一阶方程是.2．函数y523．设y1某e某e2某,y2某e某e 某,y3某e某e某e2某为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.d某某dt5．系统的零解的是稳定的.dyydt三、求下列一阶微分方程的通解.dyy4某2y210d某某dyyy2(co某in某)2.d某1.3.(某2y)d某某dy0.四、求下列高阶方程的通解.1.yy1co某2.试用观察法求方程(1ln某)y11y2y0的通解．某某某y5z五、求解微分方程组y5某3y的通解.z某3zd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题1．设f(某)在[0,)上连续，且limf(某)0，求证：方程某dyyf(某)的任意解yy(某)均d某有limy(某)0.某2.假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组其中C,P是常数向量.d某A某Cemt，有一解形如：(t)Pemt.dt习题二一、单项选择题1.微分方程dyy2某2的阶数是（）.d某A.1B.2C.3D.42.克莱罗方程的一般形式是（）.A.y某y(y)B.某某y(y)C.y某y(某)D.某某y(y)3.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.n阶齐次线性常微分方程的任意n1个解必定（）.A.可组成方程的一个基本解组B.线性相关C.朗斯基行列式不为0D.线性无关5．用待定系数法求方程y2yy某e的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1．当n时，微分方程yP(某)yQ(某)y为伯努利方程．n某2某某22某某2某某2某某某2．在方程某p(t)某q(t)某0中，当系数满足条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.3．若y=y1(某)，y=y2(某)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.5．设某0I，Y1(某),,Yn(某)是区间I上线性齐次微分方程的n个解，则Y1(某),,Yn(某)在区间I上线性相关的条件是向量组Y1(某0),,Yn(某0)线性相关.三、求下列一阶微分方程的通解.1.某yy(某y)ln2.某y某dyyy2(co某in某)d某3.(ye某ey)d某(1ey)dy0四、求下列高阶方程的通解.1.y某yy02.yy21co某d某5y4某dt五、求解微分方程组的通解.dy4y5某dtd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题.1．设分因子.f(某,y)及f连续,试证方程dyf(某,y)d某0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与某的积yd2ydyp(某)q(某)y0中，p(某)在区间I上连续且恒不为零，2.设在方程试证它的任意两个线d某d某2性无关解的朗斯基行列式是在区间I上严格单调函数．习题三一、单项选择题.1.微分方程y某某iny的阶数是（）.A.1B.2C.3D.52.下列方程中为全微分方程的是（）.A.某dyyd某某dyyd某0B.022某y某yC.某dyyd某0D.某2dyy2d某03.微分方程yP(某)yQ(某)y，当n1时为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.一阶线性非齐次微分方程C.伯努利方程D.里卡蒂方程4.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5．用待定系数法求方程y2yy(某22某)e某的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1．函数某c1cotc2int(其中c1,c2为任意常数)满足的一阶方程是.2．方程tanyd某cot某dy0所有常数解是．3．设y1某e某e2某,y2某e某e某,y3某e某e某e2某为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为.24．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.n某某2某某2某某2某某22某5．与初值问题某2某7t某et,某(1)7,某(1)2等价的一阶方程组的初值问题为.三、求下列一阶微分方程的通解.1.(某1)y2某y02.22dyyy2(co某in某)d某3.(某4y)y2某3y5四、求下列高阶方程的通解.1.t某2t某2某02.某某2某02某y5z五、求解微分方程组y5某3y的通解.z某3zd某33某ydt六、判定系统的零解稳定性.dy3某3y3dt七、证明题.1．设f(某)在[0,)上连续，且limf(某)0，求证：方程某dyyf(某)的任意解yy(某)均d某有limy(某)0.某2.证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．习题四一、单项选择题1.微分方程y某y某2的通解中含有任意常数的个数为（）.A.1B.2C.3D.42.当n1时，微分方程yp(某)yq(某)yn最确切的名称为（）.A.一阶线性齐次微分方程B.伯努利方程C.一阶线性非齐次微分方程D.里卡蒂方程3.Lipchitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在整个数轴上线性无关的一组函数为（）.A.某,C.e某2,某1,某1B.0,某,某2,某3e某2D.e2某,某e某25．用待定系数法求方程y2yy某2e某的特解y时，下列特解的设法正确的是（）.A.y(a某b某c)eB.y某(a某b某c)eC.y某(a某b)eD.y某(a某b某c)e二、填空题.1.方程tanyd某cot某dy0所有常数解是．2．若yy1(某),yy2(某)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．23．方程y1y满足解的存在唯一性定理条件的区域是.某2某某2某某2某某22某4．已知cot和int是二阶齐次线性方程某a(t)某b(t)某0的两个解，则a(t)．5．如果常系数线性方程组某A某的特征值的实部都是负数，则该方程组的任一解当t时收敛于．三、求下列一阶微分方程的通解1.dyyytand某某某dyy某22.d某2某2y3.(ye某ey)d某(1ey)dy0四、求下列高阶方程的通解1.t某3t某5某02.某''某tant2d某4某5ydt五、求解常微分方程组.dy4y5某dt某ya某3六、判定系统（这里的a）的零解稳定性.3y某ay七、设y(某)在[0,)上连续可微，且有lim[y(某)y(某)]0，试证：limy(某)0.某某。
(完整版)常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
高职专科高等数学练习题
高职专科高等数学练习题一、函数与极限1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 2x + 3(2) g(x) = x^2 + 4x + 12. 求下列极限：(1) lim(x→0) (sinx / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)3. 讨论函数f(x) = |x 2|在x = 2处的连续性。
二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) y = x^3 3x + 2(2) y = (3x + 1)^22. 求下列函数的微分：(1) y = ln(x)(2) y = e^x3. 已知f(x) = x^2 + 2x，求f'(x)在x = 1处的值。
三、积分与定积分1. 计算不定积分：(1) ∫(3x^2 + 2x)dx(2) ∫(e^x + sinx)dx2. 计算定积分：(1) ∫_{0}^{1} (x^2 + 1)dx(2) ∫_{π/2}^{π/2} (cosx)dx3. 求曲线y = x^2在x = 0到x = 2之间的弧长。
四、多元函数微分学1. 求函数z = x^2 + y^2的偏导数。
2. 计算二重积分：(1) ∬D (x + y)dxdy，其中D为x^2 + y^2 ≤ 1的区域。
(2) ∬D (e^(x+y))dxdy，其中D为0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2的区域。
五、线性代数1. 解下列线性方程组：(1) x + 2y z = 32x y + 3z = 7x + y + 2z = 4(2) 3x + 4y 2z = 12x y + z = 0x + 2y 3z = 52. 计算矩阵A的行列式，其中A为：A = | 1 2 3 || 4 5 6 || 7 8 9 |3. 求矩阵B的逆矩阵，其中B为：B = | 2 1 || 1 3 |六、概率论与数理统计1. 抛掷一枚硬币三次，求恰好出现两次正面的概率。
2. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，μ = 50，σ = 5，求P(45 < X < 55)。
常微分方程_习题集(含答案)
《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂， (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+， (B) 220y dx x dy +=， (C) 220xy dx x ydy -=， (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,（B ）312[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,（B ）212[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是 。
常微分方程试题及答案
常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．5．方程21d d y xy-=的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分：11.y y x yln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy+=14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'=四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．xxx e ,e 4．开 5．1±=y二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解： 1y =为常数解 （1分）当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x yy y+=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为x C y e ln = （6分）注：1y =包含在常数解中，当0c =时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。
(完整版)常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷一、填空题。
1.方程 x 3 d2x 10 是阶（线性、非线性）微分方程 .dt 22. 方程 x dyf (xy ) 经变换 _______ ，能够化为变量分别方程.y dx3.微分方程 d 3 y y 2x 0 知足条件 y(0) 1, y (0)2 的解有个 .dx 34. 设 常 系 数 方程 yy*2 xxx，则此方程的系数ye x 的 一个 特解 y ( x) eexe，， .5. 朗斯基队列式 W (t )0是函数组 x 1(t), x 2 (t),L , x n (t ) 在 a x b 上线性有关的条件 .6. 方程 xydx (2 x 2 3y 2 20) dy 0 的只与 y 有关的积分因子为.7. 已知 X A(t) X 的基解矩阵为 (t ) 的，则 A(t ).8. 方程组 x '2 0．0 x 的基解矩阵为59. 可用变换 将伯努利方程化为线性方程 .10 . 是知足方程 y2 y 5y y 1 和初始条件的独一解 .11. 方程的待定特解可取的形式 :12. 三阶常系数齐线性方程 y 2 y y 0 的特点根是二、计算题1. 求平面上过原点的曲线方程 , 该曲线上任一点处的切线与切点和点 (1,0) 的连线互相垂直 .dy x y 1 2．求解方程.dxx y 3d 2 x dx 2。
3. 求解方程 x2( )dt dt4．用比较系数法解方程 . .5．求方程y y sin x 的通解.6．考证微分方程(cos x sin x xy 2 )dx y(1 x2 )dy0 是适合方程，并求出它的通解.311A X 的一个基解基解矩阵(t) ，求dXA X7．设 A，，试求方程组dX241dt dt 知足初始条件x(0)的解 .8.求方程dy2x13y2经过点 (1,0)的第二次近似解 . dx9.求dy)34xy dy8y20 的通解(dxdx10. 若A 21试求方程组 x Ax 的解(t ),(0)141,并求expAt2三、证明题1.若(t), (t ) 是 X A(t) X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇怪的常数矩阵 C ，使得(t)(t )C .2.设 ( x) (x0 , x) 是积分方程y(x)y0x2 y( )]d ,x0 , x [ , ] [x0的皮卡逐渐迫近函数序列 {n (x)} 在 [,] 上一致收敛所得的解，而(x) 是这积分方程在 [ ,] 上的连续解，试用逐渐迫近法证明：在[,] 上( x)( x) .3. 设都是区间上的连续函数 ,且是二阶线性方程的一个基本解组 . 试证明 :(i)和都只好有简单零点(即函数值与导函数值不可以在一点同时为零);(ii)和没有共同的零点;(iii)和没有共同的零点.4. 试证：假如(t ) 是dXAX 知足初始条件(t0 )的解，那么(t) exp A(t t 0 ) dt.答案一 . 填空题。
常微分方程模拟试题与答案
常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） ． 3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是x x x e ,e ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 开 区间．5．方程21d d y xy-=的常数解是1±=y ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（D ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面 7. 方程1d d +=y xy （ C ）奇解．（A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（ B ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间 （C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分：11.y y x yln d d = 12. x yx y x y +-=2)(1d d13. 5d d xy y xy+= 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'=四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty ty t x d d sin 1d d五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x y y y+=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为xC y e ln = （6分） 12．解 令xu y =，则xu x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u xux-= （3分） 分离变量，取不定积分，得C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ） 通积分为： Cx xyln arcsin = （6分） 13．解 方程两端同乘以5-y ，得x y xy y+=--45d d 令 z y =-4，则xz x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z xz=--d d 41 （3分） 通解为41e 4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C y x （6分） 14．解 因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2 （4分）即 C y y x =-3231 （6分） 15．解 原方程是克莱洛方程，通解为 32C Cx y +=（6分）四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16．解 对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 x C C y 521e += （4分） 因为0=α是特征根。
《高等数学》章节自测题答案
《高等数学》章节自测题答案第1部分函数、极限与连续（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ A ）（ B ）（ D ）（ D ）（ B ）时有（ D ）二．填空题（共15分）的连续区间是三．判断下列各组极限运算的正误（8分）1．２．；；３．；；；四．求下列极限（20分）答案：2答案：答案：答案：1五．求函数的间断点，并判断类型（10分）答案：为第一类（可去）间断点；为第二类（无穷）间断点六．已知是连续函数，求的值（9分）答案：七．用零点定理证明方程在内有两个实根（20分）答案：两次利用零点定理即可．第2部分导数与微分（单元自测题）一．单项选择题（共10分）（ D ）表示（ B ）（ C ）（ D ）,函数的导数是（ C ）二．填空题（共22分）将适当的函数填入括号内(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)三．求下列函数的导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：四．求下列函数的二阶导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：五．设，求（16分）答案：六．已知曲线的方程是，求曲线在点处的切线方程（10分）答案：七．已知曲线的参数方程是，求曲线在处的切线方程和法线方程．答案：切线方程；法线方程．第3部分导数的应用（单元自测题）一．单项选择题（共10分）在区间（ B ）上满足罗尔定理条件（ D ）（ D ）（ A ）极限（ C ）二．填空题（共15分）,最小值是的单调减少区间是三．求下列极限（20分）答案：答案：答案：答案：答案：四．求函数的极值和单调区间（10分）答案：五．证明曲线总是凹的（10分）答案：六．曲线弧上哪一点处的曲率半径最小？并求出该点处的曲率半径．（10分）答案：七．求函数的四阶麦克劳林公式（10分）答案：．八．要做一圆锥形漏斗，其母线长为20cm，问要使得漏斗体积最大，其高应为多少？答案：第4部分不定积分（单元自测题）一．单项选择题（共15分）（ B ）（ B ）（ B ）（ C ）；；不定积分（ D ）二．填空题（共15分），称为的不定积分三．求下列不定积分（55分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．试用三种方法求不定积分（15分）答案：方法一：令；方法二：分子；方法三：令第5部分定积分（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ C ）（ A ）（ C ）（ B ）；；；（ D ）（ B ）二．填空题（共15分）原函数三．计算下列定积分（24分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．下列积分中，使用的变换是否正确?如不正确，请改正，并计算各定积分．（12分）答案：不正确，直接法，答案：正确，答案：不正确，几何意义或者令，五．已知有连续的二阶导数，求（10分）答案：六．判断下列广义积分的收敛性（12分）答案：答案：发散答案：答案：发散七．研究函数的单调性，并求其极值（9分）答案：第6部分定积分的应用（单元自测题）一．单项选择题（共20分）（ A ）而成的立体体积为（ B ）（ A ）4 （ C ）（ D ）二．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：三．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：四．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：五．求曲线所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积（10分）答案：六．半径为10m的半球形水池内充满了水，求把池内水抽干所做的功（15分）答案：七．一水坝中有一直立矩形闸门，宽10m，深6m，求当水面在闸门顶上8m的时闸门所受水的压力（15分）答案：八．抛物线分圆盘为两部分，求这两部分面积的比（10分）答案：第7部分常微分方程（单元自测题）一．解下列可分离变量方程（共12分）答案：答案：答案：二．解下列齐次方程（8分）答案：答案：三．解下列一阶线性方程（25分）答案：答案：答案：答案：答案：四．解下列可降阶的高阶微分方程（15分）答案：答案：答案：五．解下列二阶常系数线性微分方程（30分）答案：答案：答案：答案：．答案：六．已知某厂的纯利润对广告费的变化率为,与常数和纯利润之差成正比，当时，,试求纯利润与广告费之间的函数关系.（1０分）答案：第8部分空间解析几何与向量代数（单元自测题）一．各类计算题（共30分）在坐标面上求与三已知点等距离的点答案：已知向量的方向角且，求答案：求过点且与平面垂直的直线方程答案：求同时垂直于向量和向量的单位向量答案：5．求过直线的平面方程答案：已知垂直，求答案：二．求以为顶点的四边形面积(10分)答案：三．求两平面，的夹角（10分）答案：四．判断下列线与线、线与面之间的位置关系（20分）答案：互相垂直答案：重合答案：平行答案：直线在平面上五．求点到直线的距离（10分）答案：六．求平面曲线绕轴旋转所得曲面的方程（10分）答案：七．求曲线在面上的投影（10分）答案：第9部分多元函数微积分（单元自测题）一．关于一阶偏导数（共16分）若，求答案：若，求答案：若，求答案：若，求答案：二．关于高阶（二阶）偏导数（12分）若，求答案：若，求答案：三．关于复合函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：四．关于隐函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：五．关于极值问题（12分）求的极值答案：设，求在条件下的极小值答案：六．交换下列积分次序（16分）答案：答案：答案：答案：七．计算下列二重积分（24分），答案：答案：，答案：，答案：第10部分无穷级数（单元自测题）一．判断下列级数的敛散性（共30分）答案：收敛答案：发散答案：收敛答案：发散5．答案：条件收敛答案：绝对收敛答案：绝对收敛答案：时绝对收敛；时发散答案：收敛答案：收敛二．证明（6分）答案：利用级数收敛的必要条件三．求下列级数的收敛域（12分）答案：答案：答案：答案：四．求下列幂级数在收敛域内的和函数（12分）答案：答案：五．将下列函数展开成的幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：答案：六．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：七．把下列函数展成傅立叶级数（16分）答案：答案：第11部分概率（单元自测题）一．单项选择题（共24分）（ B ）设为随机事件，,则必有（ A ）设互为对立事件，且,则下列各式中错误的是（ A ）抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是（ C ）设随机变量的分布函数为，下列结论中不一定成立的是（ D ）下列各函数中是随机变量分布函数的是（ B ）如果函数是某连续型随机变量的概率密度，则区间可以是（ C ）设随机变量的概率密度为，令,则的概率密度为（ D ）二．填空题（15分）设与互相独立，则某射手命中率为，他独立地向目标射击4次，则至少命中一次的概率为设为连续型随机变量，是一个常数，则= 0设∽，则= 0.5设∽，则的概率密度=三．设（8分）答案：0.4四．设为两个随机事件，证明与相互独立（10分）五．已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：（10分）(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率．答案：(1)0.9325；(2)0.9984六．袋中有2个白球，3个红球，现从袋中随机地抽取2个球，以表示取到的红球，求的分布律（10分）答案：0 1 2七．设的概率密度为, 求：（10分）(1) 的分布函数；(2) ．答案：(1) ；(2)0.625，0.625八．已知某种类型电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，它的概率密度为，一台仪器装有4个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设4个电子元件损坏与否互相独立。
(完整版)常微分方程试题及答案2023年修改整理
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( O ) 4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21 (C 为任意常数)。
( O )6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( X ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( O ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( O )9．221xy y x dxdy +++=是可分离变量的微分方程。
( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。
③xy y dx dy x ln ⋅=是齐次方程。
④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。
⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。
常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。
1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。
2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。
3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。
4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。
xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。
6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。
8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。
9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。
10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。
11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。
12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。
常微分方程试题及参考答案
常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________.13.方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程= .2.(6分)解方程x″(t)+ =0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1, (0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12. 2+c1t+c23.u=4. c为任意常数5.y= (x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7. (x)=8.对任意t9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln|1+y|=ln|x|-即y=ln 或e y=2.解：令则得=0当0时-arc cosy=t+c1y=cos(t+c1) 即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y= 即x3.解：这里M=y-1-xy, N=x令u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有则因此u=xye-x+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1 代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-tf(t)=t+1, 不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det( )=0, 有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)= , 显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A- )=由det(A- )=0 得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。
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常微分方程及空间解析几何单元测试题（考试时间：150分钟）一、填空题：（每小题3分，合计15分）1．设有一个一阶微分方程的通解为22222()()x y C x y +=-，则该方程为 ． 2．方程(4)20y y y '''''-+=的通解为 ．3．设2()(sin 2,,cos2)r t t t t = ，则(0)r ''=． 4．如果直线λ12111:1-=+=-z y x L 与直线11111:2zy x L =-=+相交，那么常数λ的值为 ．5．已知三向量,,a b c 两两互相垂直，且1,,1==a b c ，则向量=+-s a b c 的模等于 ．二、选择题：（每小题3分，合计15分）１．方程22x y y xe '''-=的一个特解具有形式（ ）．（A ）2()x x Ax B e + （B ）2xAxe （C ）22xAx e （D ）2()x Ax B e +2．已知123,,y y y 为方程12()()()y a x y a x y f x '''++=的三个线性无关的特解，123,,C C C 均为任意常数，则该方程的通解为（ ）．（A ）1122C y C y +（B ）112233C y C y C y ++（C ）11223C y C y y ++（D ）1122132()()C y y C y y y -+-+3．已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y xy xα∆∆=++，且当0x ∆→时，α是x ∆的高阶无穷小，(0)y π=，则(1)y 等于（ ）．（A ）2π （B ）4e π（C ）4e ππ （D ）π 4．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ ）（A ）平行于π， （B ）在π上， （C ）垂直于π， （D ）与π斜交．5．方程122222=-+czb y a x 代表的曲面是（ ）．(A)单叶双曲面 (B)椭圆抛物面 (C)双叶双曲面 (D)椭圆柱面三、计算题：（每小题５分，合计30分）1．设1,(,)6a b a b π=== ，求以2a b + 与a b + 为邻边的平行四边形的面积．２.求直线102320x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩的对称式方程和参数方程．3．求微分方程ln d (ln )d 0x x y y x x +-=满足条件1x e y ==的特解． 4．求解微分方程220y ny k y '''++=，其中,n k 为正常数． 5．设0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，其中()f x 为连续函数，试求()f x ．６.动点M 到点0(0,0,5)M 的距离等于它到YOZ 面的距离的2倍，求动点M 的轨迹方程，并说明动点轨迹是什么曲面．四、（8分）求由1y x ,y x z =++=与0z =所围立体在三个坐标平面上的投影．五、（8分）设1y x =，22x y x e =+，23(1)x y x e =+是二阶常系数线性非齐次方程的特解，求该方程的通解及该方程． 六、（8分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑动距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大压力，使得飞机减速并停下。
现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h 。
经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为56.010k =⨯）。
问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？七、（8分）已知曲线()(0)y f x x =>是微分方程2(46)x y y y x e -'''+-=-的一条积分曲线，此曲线通过原点且在原点处的切线的斜率为0，试求曲线()y f x =到x 轴的最大距离．八、（8分）已知直线220:10x y L y z +-=⎧⎨-+=⎩和平面:10x y z π++-=，求（1）直线L 在平面π上的投影L '； （2）L 和L '的夹角θ．常微分方程与空间解析几何单元测试题参考答案一、填空题：（每小题3分，合计15分）1．2222(3)(3)x y yy y x x '-=- 2．1234x x y C C x C e C xe =+++ 3．(0,2,4)- 4．455． 2 二、选择题：（每小题3分，合计15分）1． A 2．D 3．C 4．D 5．B 三、计算题：（每小题5分，合计30分）1．23),sin(|||||||)()2(|==⨯=+⨯+=b a a b a b b a b a S．（5分）2．解：取01x =-代入直线方程，得000y z ==，即求得直线上的一个点0(1,0,0)M -，（1分） 由于两个平面的交线与这两个平面的法向量12(1,1,1),(2,1,3)n n ==-都垂直，所以可以取12111(4,1,3)213i j ks n n =⨯==---（3分）因此，所给直线的对称式方程为1413x y z+==-- （4分） 参数方程为143x t y tz t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（5分） 3．解：将原方程化为11ln y y x x x'+= 这是个一阶非齐次线性方程，利用公式求得其通解为1ln 2ln Cy x x=+（4分）代入初始条件，得12C =， 故所求特解为11(ln )2ln y x x =+．（5分）4．解：特征方程为2220r nr k ++=，其根为1,2r n =-（2分）分三种情况讨论：（1）n k >，特征方程为两不同实根，解为12()nx y e C C e -=⋅+．（3分）（2）n k =，特征方程为两相同实根，解为 12()nx y C C x e -=+．（4分）（3）n k <，特征方程为一对共轭复根，解为12()nx y e C C -=⋅+．（5分）5．解：由已知，有0()sin ()()xxf x x xf t dt tf t dt =-+⎰⎰，两边同时求导，得()cos ()xf x x f t dt '=-⎰，继续求导，得()()sin f x f x x ''+=-，且(0)0,(0)1f f '==．（2分）二阶方程对应的齐次方程的特征方程为210r +=，所以特征根为1,2r i =±．（3分） 令非齐次方程的特解为：*(cos sin )y x a x b x =+，代入原方程得1,02a b ==，所以原方程的通解为： 121cos sin cos 2y C x C x x x =++， （4分） 代入初始条件，得最终结果为1()(sin cos )2f x x x x =+．（5分） 6. 解：设动点(,,)M x y z，则0||MM =M 到yOz 平面的距离d x =由02MM d =，得2223(5)0x y z ---=．（4分） 曲面为锥面。
（5分） 四、（8分） 解：由1y x ,y x z =++=与0z =所围立体，其中xoy 坐标平面上的投影为圆盘：⎩⎨⎧=≤+0122z y x （3分） 在yoz 坐标面上的投影为矩形ABCD 区域，即：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-=10110z y x （6分）类似地，其在zox 坐标平面上的投影为矩形区域：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤-10011z y x （8分）五、（8分）解：设所求方程为()y ay by f x '''++=，对应的齐次方程为0y ay by '''++=。
由线性微分方程解的结构可知222131,x x y y e y y xe -=-=是齐次方程的解，且线性无关．（2分）所以齐次方程的通解可以写成212()x y C C x e =+，非齐次的通解为212()x y C C x e x =++。
（4分） 由齐次方程的通解可知2r =是对应的特征方程的二重根，因此有4,4a b =-=，从而方程可以写成44()y y f x '''-+=。
因为1y x =是该方程的解，代入比较两端可以得到()4(1)f x x =-，所以原方程为444(1)y y x '''-+=-．（8分）六、（8分）解：根据牛顿第二定律，有dv m kv dt =-，（2分）又dv kdt v m=-，两端积分得通解为kt m v Ce -=．（4分）代入初始条件00|t v v ==，解得0C v =，所以0()kt mv t v e-=．（6分）飞机滑行的最长距离为()10.5k t mmv mv x v t dt e kk+∞-+∞==-==⎰（km ）．（8分） 七、（8分）解：微分方程的特征方程为2210r r +-=，所以特征根为1211,2r r =-=，对应齐次方程的通解为1212x xy C e C e -=+．（2分）设非齐次方程的特解为*()xy x Ax B e -=+，代入原方程得1,0A B ==，所以2*x y x e -=，（4分）微分方程的通解为12212x xx y C e C e x e --=++．代入初始条件(0)0,(0)0y y '==，得120C C ==，所以曲线为2x y x e -=．（6分） 由2202x x y xe x e x --'=-=⇒=为驻点，22()222,(2)20x x x x f x e xe xe x e f e -----''''=--+=-<，所以222max ()|4x x f x x e e --===。
（到x 轴的最大距离）．（8分）八、（8分）解：（1）设l '是平面π和π'的交线，其中π'是过直线l 并垂直于π的平面，可设0)1()22(:=+-+-+'z y y x μλπ，即02)2(=+--++μλμμλλz y xπ'的法向量为：),2,(μμλλ-+='n ，π的法向量为：)1,1,1(=n，由ππ⊥'有：1,00==⇒=⋅'μλn n得平面π'的方程为：01:=+-'z y π 所以l '的方程为⎩⎨⎧=-++=+-0101z y x z y （5分）（2）l 的方向向量为 )1,1,2(110021-=-=kj i sl '的方向向量为 )1,1,2(111110--=-='kj i s166|114|||||cos =⋅---='⋅'⋅=s s s s θ （8分）。