一题多证 别有洞天
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纵横 联系 ，培养 和发挥 学 生的创造性 ．
是为 了
中考数学 中动态几何题例析
陈伟斌 ， 叶雪梅
１ 建师范大 学数 学与计 算来自科 学学 学院 （５０７ ２ 建省乎潭县 屿头中学 （５４４ 福 ３ ００ ） 福 ３０ １）
用运动 的观 点 去探 究几 何 图形 的变化 规律 的 问
评注 离 心率足 描述 圆锥 曲线 的形状 特征 的量 ，
它 与曲线 中 的某 些 角密 切联 系 ，比如 焦 点 三 角形 中 的内角 ，曲线 上 点坐 标 的参 数 角 等等 ．利 用这 些 角 的三 角 函数 的有 界性 求 解 ，是解 决 此类 问题 非常 有
效 的途径 ．
策 略四 ：应 用数 形结合 的思 想 例 ６ （０ ８年 高考江西 卷 ・ ７文 ７ 已知 、 ２０ 理 ）
上．
－， ２
等 ，所 以点 Ｃ在 直线 Ａ Ｂ上 ，即 Ａ，Ｂ ，Ｃ三 点在 同
一
即 七 。，所 以 Ａ ， 口， Ｃ三 点在 同 一直 线 他＝ 证 法二 （ 向量 共线 法 ） 两
因为 Ａ Ｂ＝（ 一（ １，一 一 ）＝（ ， ） （，） ２ ～ ） １ （５） ３ ６ ＝３１ ２ ，
ｃ ＜『 ） ！＝ ａ２ ｃ ＝ ｃ ＿ ２＝＞２ ：＜ ａ２
・ ． ．
没 尸 ＝ （ ≤ ，则在 尸 ０＜ ）
～ｆ ｆ ！ ）
ｅ ！＜ １
，
又 ∈（ １ ０，），
２ｆ ｉ 尸 尸
１
所以Ｐ （， ） ∈ ０ ，故选 Ｃ． 评 注 将 数 量关 系和 空间形 式巧妙 结合 ，是数 形
Ｂ
●
Ｄ
●
／
＼
ｒ
。 Ｌ
～
题 多证
别 有 洞 天
］． ＋ ． 丁 。ｊ ， 一 ２
］
一
张 琳 晶
重 庆 市开 县 中学 （０ ４ ０ ４ ５０ ）
故有 Ａ Ｂ＝＝Ａ ．即 Ａ １Ｃ Ｂ， Ａ Ｃ为共 线 向 量 ，又
题 多证 训 练 ，就 是启 发和 引导 学 生从 不 同 的
角度 、 不 同的 思路 ，用不 同的 方法 和 不 同 的运 算 过 程 去分析 、解 答 同一道 数学题 的练 习活 动 ． 过 同一 点 』，所 以 ， 口， ｃ三 点在 同一直 线上 ． ／ ｛
例 已知 三 点 （１一 ） ８２ ｊ， ｃ５ ７ ，求 一 ， ５ ， （ ，） （，）
４ ０
福 建 中学数 学
２ １ 年 第 ４期 ０１
，
ｃ三点 在 同一直 线上 ．
充 分 调动 学 生思 维 的积极 性 ，提 高他 们综 合运 用 已 学知 识解 答数 学 问题 的技 能技 巧 ；二 是为 了锻 炼 学
证法五 （ 两点 间距离公 式法 ）
因为Ｉ ｌ ３ ，ｌ Ｉ ３ｇ Ａ ｌ６ ，则 Ａ ＝４ Ｂ ３ Ｂ ＝ ４ ，ＩＣ √ Ｃ
ｌＢ＋Ｂ Ｉ ３ ３ ３ ５ ６ ５ ＩＣ ． Ａ ＩＩ ＝ ４ ＋ √ ＝ ， ＝Ａ １ Ｃ ｆ
所以 Ａ， Ｂ， Ｃ三点在 同一直线 上 ． 通 过一 题 多证训 练主 要 目的有 三条 ：
一
生思维的灵活性 ，促进他们长知识、长智慧 ；三是
为 了开 阔学 生 的思路 ，引导学 生灵 活地 掌 握知识 的
证 ： Ａ， Ｂ， Ｃ三点 在 同一 直线 上 ．
证 法三 （ 线方 程法 ） 直
由两点 式得直 线 ： ＝ ＝ Ｊ＝２ 一 ＝ ， ３。 ＞
证 法一 （ 斜率公 式法 ）
把 ｃ ５ ７ 代 入 直 线 方 程 可 使 方程 左 右 两 边 相 （ ，）
因 等 一
２ ｌ 年 第 ４期 ０１
福 建 中学数 学
３ ９
或利用焦点三角形中的边的不等关系： ｆ
寻求参 量范 围 ．
｝ ≥
是椭 圆 的两个 焦 点 ．满 足
．
＝０的点 Ｍ 总
或 Ｉ Ｆ ｌ ｌ ２ ，构建相应的不等 关系 ，便可 】 一Ｐ ｌ （ Ｊ Ｐ ＜
策略三 ：应用三角函数知识 例 ５ 同上面例 ４ ． 分析 （ 利用 三角 函数 的有界 性 ）
同例 ４分析一 得 ｆ 弦 定理 得
（尸 ｆ 尸 ＋ｆ
（“。 ２ ） ２ ） ４ ） ＋（ａ 一（ ｃ
一 一
一
在椭 圆内部 ，则椭 圆离 心率 的取值 范 围是
ｌ４ ＿ ａ， Ｉ ｌ ａ． 尸 ＿２ 中 ，由余
分析 由题 意 可知 ，垂 足 的轨迹 是 以焦 距为直 径 的 圆 ， 且 此 圆 始 终 在 椭 圆 的 内 部 ， 则 Ｃ ｂ， ＜
９， 结 合 思想 的精髓 ． 数用 形来体现 ， 接 得到 ａ， ， 将 直 ｂｃ
２・ ４ ・ ２
（ 当点 Ｐ为 双 曲线 右 顶点 时取 等 ） ． ・ ．
又 ｅ＞１， ．１ ３． ’ ＜Ｐ ．
的关 系 ，无 疑 是解 决 此类 问题最 好 的 一种 方法 ，也 是 解 决数学 问题 的重 要途径 ． 圆锥 曲线 离 心率 取 值 范 围 的问题 ，对锯 题 能 力 的要 求较 高 ，解题 的策 略多样 ，在 求解 过 程 中 ，应 着 眼于 “ 定 关于离 心率ｅ 确 的不等 式” 这一 关键 所在 ， 认 真 分析 题 意 ，挖 掘其 内含 ，运 用 创造 性 的思 维 ， 才能 准确 、快速地 达 到 目的 ．
觉．
题被称 为 动态 几何 问题 ．这 类题 型常 常 用来考 查 学
生对 图形 的想象 能 力和 分析 能力 ．随着 全 １制义 ３ 务教 育 数 学课程 标 准 （ 验 ） （ 实 》 以下 简称 数 学课 程标 准》 ）的不断贯彻 实施 ，在 全 国各地 的中考试题 中，“ 动态 几何 问题 ” 已经成 为了一大热 点题 型 ．
而 ＡＣ＝（ 一１ ， ５一（ ） ７一（ ５１ ６，２ ＝６１ ２ 一 ） ＝（ ｌ ） （ ， ），
直线上．
证法 四 （ 比 分点 坐标 公式法 ） 定
设点 Ｐ ２ Ｙ 为 Ａ （，） Ｃ的定 比分 点 ， 则点 Ｐ分 Ａ Ｃ所
成 的 比 ： ＝１ ，
所 三 ：． 点Ｐ 点Ｂ 合 故Ａ 以 ：芸 ｊ 则 与 重 。 ，
是为 了
中考数学 中动态几何题例析
陈伟斌 ， 叶雪梅
１ 建师范大 学数 学与计 算来自科 学学 学院 （５０７ ２ 建省乎潭县 屿头中学 （５４４ 福 ３ ００ ） 福 ３０ １）
用运动 的观 点 去探 究几 何 图形 的变化 规律 的 问
评注 离 心率足 描述 圆锥 曲线 的形状 特征 的量 ，
它 与曲线 中 的某 些 角密 切联 系 ，比如 焦 点 三 角形 中 的内角 ，曲线 上 点坐 标 的参 数 角 等等 ．利 用这 些 角 的三 角 函数 的有 界性 求 解 ，是解 决 此类 问题 非常 有
效 的途径 ．
策 略四 ：应 用数 形结合 的思 想 例 ６ （０ ８年 高考江西 卷 ・ ７文 ７ 已知 、 ２０ 理 ）
上．
－， ２
等 ，所 以点 Ｃ在 直线 Ａ Ｂ上 ，即 Ａ，Ｂ ，Ｃ三 点在 同
一
即 七 。，所 以 Ａ ， 口， Ｃ三 点在 同 一直 线 他＝ 证 法二 （ 向量 共线 法 ） 两
因为 Ａ Ｂ＝（ 一（ １，一 一 ）＝（ ， ） （，） ２ ～ ） １ （５） ３ ６ ＝３１ ２ ，
ｃ ＜『 ） ！＝ ａ２ ｃ ＝ ｃ ＿ ２＝＞２ ：＜ ａ２
・ ． ．
没 尸 ＝ （ ≤ ，则在 尸 ０＜ ）
～ｆ ｆ ！ ）
ｅ ！＜ １
，
又 ∈（ １ ０，），
２ｆ ｉ 尸 尸
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所以Ｐ （， ） ∈ ０ ，故选 Ｃ． 评 注 将 数 量关 系和 空间形 式巧妙 结合 ，是数 形
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题 多证 训 练 ，就 是启 发和 引导 学 生从 不 同 的
角度 、 不 同的 思路 ，用不 同的 方法 和 不 同 的运 算 过 程 去分析 、解 答 同一道 数学题 的练 习活 动 ． 过 同一 点 』，所 以 ， 口， ｃ三 点在 同一直 线上 ． ／ ｛
例 已知 三 点 （１一 ） ８２ ｊ， ｃ５ ７ ，求 一 ， ５ ， （ ，） （，）
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福 建 中学数 学
２ １ 年 第 ４期 ０１
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ｃ三点 在 同一直 线上 ．
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证法五 （ 两点 间距离公 式法 ）
因为Ｉ ｌ ３ ，ｌ Ｉ ３ｇ Ａ ｌ６ ，则 Ａ ＝４ Ｂ ３ Ｂ ＝ ４ ，ＩＣ √ Ｃ
ｌＢ＋Ｂ Ｉ ３ ３ ３ ５ ６ ５ ＩＣ ． Ａ ＩＩ ＝ ４ ＋ √ ＝ ， ＝Ａ １ Ｃ ｆ
所以 Ａ， Ｂ， Ｃ三点在 同一直线 上 ． 通 过一 题 多证训 练主 要 目的有 三条 ：
一
生思维的灵活性 ，促进他们长知识、长智慧 ；三是
为 了开 阔学 生 的思路 ，引导学 生灵 活地 掌 握知识 的
证 ： Ａ， Ｂ， Ｃ三点 在 同一 直线 上 ．
证 法三 （ 线方 程法 ） 直
由两点 式得直 线 ： ＝ ＝ Ｊ＝２ 一 ＝ ， ３。 ＞
证 法一 （ 斜率公 式法 ）
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或利用焦点三角形中的边的不等关系： ｆ
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策略三 ：应用三角函数知识 例 ５ 同上面例 ４ ． 分析 （ 利用 三角 函数 的有界 性 ）
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在椭 圆内部 ，则椭 圆离 心率 的取值 范 围是
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９， 结 合 思想 的精髓 ． 数用 形来体现 ， 接 得到 ａ， ， 将 直 ｂｃ
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题被称 为 动态 几何 问题 ．这 类题 型常 常 用来考 查 学
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而 ＡＣ＝（ 一１ ， ５一（ ） ７一（ ５１ ６，２ ＝６１ ２ 一 ） ＝（ ｌ ） （ ， ），
直线上．
证法 四 （ 比 分点 坐标 公式法 ） 定
设点 Ｐ ２ Ｙ 为 Ａ （，） Ｃ的定 比分 点 ， 则点 Ｐ分 Ａ Ｃ所
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所 三 ：． 点Ｐ 点Ｂ 合 故Ａ 以 ：芸 ｊ 则 与 重 。 ，