中科院量子力学考研真题及答案详解(19902010共40套真题)

1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
，00分。

、在，氢原子波函数为
说明：共五道大题无选择题，计分在题尾标出，满分1
0t =
100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。

忽略自旋和辐射跃迁。

投影-⎡⎤
(1) 此系统的平均能量是多少？
nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少？ 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明
二()
2
∞
00
n n
E E n x -=∑常数
这里是哈密顿量n E 2
ˆˆ()2p H V m
=+x 的本征能量，相应的本征态为n 。

求出该常数。

、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。

利用测不准关系估算其
（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非
基态的能量。

四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。

今设在电子偶素的基态里，存在一
8e p ˆˆˆ3
H M M π和ˆp
M '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )M
S q ==e mc
±量差，决定哪一个能量更低。

对普通的氢原子，基态波函数： 。

利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能
2
21137
e c 1002,,r a a me ψ-==
一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r a
V r V e V a -=>>所散射，用一级玻恩近似计算微
分散射截面。

五、
1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称：量子力学（实验型）分。

光电效应实验指出：当光照射到金属上，
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、
(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时，才有光电子发射出；
b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关；c) 只要光的频率大于0ν，光子立即产生。

试述：
a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。

在？
b) 用爱因(2) 电子是微观粒子，为什么在阴极射线实验中，电子运动轨迹可用牛顿定律描述？(3) 1ψ和2ψ为体系本征态，任一态为c c 1122ψψψ=+。

如果01ψ=，试问：
a) 如1ψ和2ψ是经典波，在ψ态中1ψ和2ψ态的几率如何表示？
b) 如1ψ和2ψ是几率波，在ψ态中1ψ和2ψ态的几率如何表示？
(4) 如何知道电子存在自旋？
222ˆ1ˆ22
p H m m ω=+二、一维谐振子的哈密顿量x ，基态波函数
222(),x x αψα-==。

设振子处于基态。

（1997年（实验型Ⅰ）第五题） (1) 求x <>和p <>；
(2) 写出本征能量E ，并说明它反映微观粒子什么特征？
(3)一维谐振子的维里定理是，试利用这个定理证明： T V <>=<>2
x p ∆⋅∆=
，其中x ∆=∆
三、精确到微扰论的一级近似，试计算由于不把原子核当作点电荷，而作为是半径为p =R ，
均匀带电荷Ze 的球体所引起的类氢原子基态能量的修正。

已知球内静电势
223
，类氢原子基态波函数()22Ze r R R ⎛⎫
⎭r ϕ ⎪，球外电势为=-⎝Ze r 1,Zr a s a ψ-=玻尔半径。

用为
四、
,,j l s 写出ˆˆˆˆ,L
S J S ⋅⋅的表达式。

对于 (1) (2) 2,12l s ==，计算确定（2）中和间夹角的可能值，并画出和的矢量模型图。

证明虚
ˆˆ的可能值。

L
S ⋅ (3) ˆˆL
S ˆˆ,L S ˆJ 五、求在一维常虚势场()iV V E - 中运动粒子的波函数，计算几率流密度，并势代表粒子的吸收，用V 表示）。

求吸收系数（
1991年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）分。

请推导相应的几率守恒定律。

求出几率密度与几率
、当两个质量为的粒子通过球对称势
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100
一、一个带电粒子在电磁场中运动，流密度的表达式。

m ()0()ln V r A r r =二，（为常数）而束
0缚0,0A r >>在一起，其第一激发态能量与基态能量之差为E ∆。

今有一个质量为m 的粒子与
另一个质量为1840m 的粒子通过同一位势形成束缚态，则这一系统的第一激发态与基态能量之差是多少？说出理由，并证明之。

三、一束极化的波（）电子通过一个不均匀的磁场后分裂为强度不同的两束，其
、质量为s 0l =中自旋反平行于磁场的一束与自旋平行于磁场的一束之强度比为3:1，求入射电子自旋方向与磁场方向夹角的大小。

μ的粒子在一个三维球方势阱中运动，
000
()(0),V r V V r a ,r a
>⎧=>⎨
-<⎩ 四问：
波束缚态的条件是什么？
波相移(1) 存在s (2) 当粒子能量0E >时，求粒子的s 0δ； (3) 证明00
lim ,E n n δπ=为整数。

→
,0
()(0),0z V z G Gz z ∞<⎧=>⎨
>⎩
五、质量为m 的粒子在一维势场中运动。

(1) 用变分法求基态能量，则在区域中的试探波函数应取下列函数中的哪一
z 0z ≥个？为什么？
2
2,,x z z e ze αα,sin x αα--+(2) 算出基态。

能量值。

1991年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）分。

1) 电子双缝实验中，什么结果完全不能用粒子性而必须用波动性来解释，为什
原子光谱主线系的精细结构。

说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、
(么？
(2) 解释钠()3np s →(3) 量子力学角动量用矢量图表示时，和经典角动量有什么不同，为什么？
二、一个质量为μ的粒子，处于0x a ≤≤的无限深方势阱中，0t =时，其归一化波函数
为
(,0)1cos sin
x x
x t a a
ππψ⎫==+⎪⎭ 求(2000年(实验型)第二题)：
波函数； 为，
四、质量为(1) 在后来某一时刻t t =
时的0(2) 在0t =和t t =时的体系平均能量。

0
三、精确到微扰的一级近似，试计算如图所示宽度OB a AO 为0V ，AOB 被切去的无限深方势阱（如图CABD ）的
最低三个态的能量。

μ的粒子在势场32
()V r r
λ
=-
常数（0λ>）中运动，试用测不准关系估算基
态能量。

[]ˆ,x p
五、如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系，证明能量表象中有
()2
22
n
m nm
n
E
E x μ
∞
其中-=∑ μ为系统质量，n E 与m E 是能量本征值，满足ˆˆ,n m H n m ，n
E n H m E ==∞∑是对n 的完全求和。

1992年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）分。

、个质量都是的粒子可在一宽为的无限深方势阱中运动，忽略彼此间的相互作
、
1) 写出角动量算符
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100
一N m a 用，请求出最低的4条能级，并写下相应的简并度。

二ˆˆˆ,,x y L L L z
(及算符之间的一切对易关系； (2) 设2ˆL lm ψ是与的本征态，本征值分别为和，证明2ˆˆ2z L (1)l l + m ()
ˆˆx y l L iL L m
ϕψ=+亦为2ˆL 与ˆz
L 的本征态，求出本征值； (3) 证明当时，态0l =lm ψ也是ˆx L 与的本征态。

、有一个定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动），受到均匀磁场的作用，
磁场ˆL y
三、请根据不确定关系估计氢原子基态的能量。

四ˆˆˆ2x x eB eB c μ H S c
σμ==。

设0t B x = 指向正方向，相互作用势为时电子自旋朝上，即2z
s = ，求时自旋的平均值。

、假定氢原子内的质子是一个半径为的均匀带电球壳，而不是点电荷，试用
、一束中子射向氢分子而发生弹性碰撞。

忽略电子对中子的作用，而两个原子核与中
0t >ˆS
五1310cm -一级微扰论计算氢原子1s 态能量的改变。

六子的作用可用下面的简化势代替：
()()(3)(3)0)V r a r a δδ(V r ⎡⎤=-++-⎣⎦ 矢量（a 与a 其中0V 是常数，a 是常，
-分别是两核的位置矢量）。

试求高能下的中子散射微分截面，并指出散射截面的一个极大的方向。

1992年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）分。

实说明微观粒子具有波粒二象性。

说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100
一、简单回答下列问题：(1) 举出一个实验事(2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面,12M P 和P P P 和为光电
、若厄密算符探测器，试分别按照经典与量子的观点说明1是否能同时接收到光信号（12l l =）。

ˆˆA B 与具有共同本征态函数，即ˆˆ,na n na
na n na
A A
B B ψψψψ==二，而且构成体系状。

三、在一维谐振子的哈密顿量态的完备函数组。

试证明ˆˆ,0A
B ⎡⎤=⎣
⎦
222ˆ1ˆ22
p H x μωμ=
+中引进
†
ˆˆ,,a p a p ⎫=+=-⎪⎪⎫⎪⎭。

(1) 证明⎪⎭†,1a a ⎡⎤=⎣
⎦； (2) 用写出哈密顿量； 设†,
a a ˆH
(3) n 为的本征矢，本征值为。

证明ˆH 为的本征矢，本征值为ˆH ()n
E ω- n E a n 。

、在的对角表象（用泡利矩阵的形式表示）中，求出自旋算符
ˆz S ˆˆˆ,,x
y z
S S S 四的本征值和本征矢五、在=时，氢原子的波函数量。

t 100210211211(,0)2r ψψψ-⎤=
+++⎦(1) 该体系的能量期待值是多少
式中波函数的下标分别是量子数的值，忽略自旋和辐射跃迁。

？的态的几率是多少？（1997年(实验型Ⅰ)第六题）
,,n l m (2) 在t 时刻体系处在1,1l m ==
1993年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
说明：共六道大题，选作五题，每题20分。

一、质量为m 的粒子可在势()()(V x x αδα0)=>
1122
,0
,0x x x x e A e x x A e A e x λλλλ--'+<'=+> 的作用下作一维运动。

设粒子能量
(1) 计算矩阵0E <，它的波函数可写为()x A ϕ= ()ϕM ：⎫。

(2) 求能量的值，解出波函数。

择基矢为2121A A M A A ⎛⎫⎛= ⎪ ''⎝⎭⎝⎪⎭
E (3) 求动量的几率分布表达式。

{}1,
2,
3二、有一量子体系，其态空间三维，选，定义哈密顿量及另二个力学量ˆH
ˆˆ,A
B 0ω 时，系统状态为为 设0t =100⎛100010ˆˆˆ020,001,100002010001H A a B b ⎫
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ 11
(0)12322ψ=
++。

(1) 在时测量，可得哪些结果，相应几率多大？计算的平均值 及0t =E ˆ
H
ˆH
∆=。

(2) 如在时测量0t =ˆA
，可能值及相应几率是多少？写出测量后相应的态矢量。

(3) 计算t 时刻ˆˆA
B 与的平均值。

三、12σσ，为泡利矩阵，证明1i e i ασ1cos sin ασα=+（α为实数），并推广矩阵
12σλσμσ=+的情形（,λμ为实数，且221λμ+=）。

0
0,0(),0t t t e t τεε-<⎧=⎨>⎩四、求在方向一致，空间均匀但随时间t 的衰减的电场（0,ετ为常
数，0τ>）。

中原先处于基态的氢原子最后处于2p 态的几率。

已知
221r a Y 10000211,,2r a
r a m m Y Y e a 20000r ψψψ---===⎪⎭
五、一个质量为⎫- μ的高能（）粒子被中心势E 22
()(0,0)r a V t Ae A a -=<>散射，求散射
的总截面。

六、两个自旋为12的全同粒子在公共的各向同性谐振子场中运动，彼此之间没有相互
的可能值。

作用。

设一个粒子处于谐振子基态，另一个处于沿z 方向运动的第一激发态，求： (1) 两粒子体系的波函数；
(2) 系统的总角动量(,)j m j
1993年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）分。

说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100
处以平面波()ikx in x e ψ=x =-∞一、设一维粒子由入射，在原点处受到势能0()()
V x V x δ=的作用。

(1) 写出波函数的一般表达式()x ψ。

边界条件。

效应。

已知氢原子波函数为
(2) 确定粒子波函数在原点处应满足的(3) 求该粒子的透射系数和反射系数。

(4) 分别指出0V >和0V <时的量子力学00
二、两原子态间电偶极跃迁几率与它们的偶极矩阵元平方成正比。

()()(,)R r Y nlm nl lm r ψθϕ=
，取玻尔半径22a me = 为长度单位，则
(
)332i e
22
20211012
12
001011112,
2,
2233cos ,sin 48r r r
R r e R R e Y Y Y ϕ
θθππ---±⎛⎫⎛⎫
=-== ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
=
⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(1) 算出的所有矩阵元±2n =100nlm z ψψ。

(2) 结合你的计算结果，讨论这种矩阵元所涉及的有关l ∆选择定则（不考虑自旋）。

三、设碱金属原子处于沿
z 向的均匀弱磁场B
中，其哈密顿量为0ˆˆˆ2z
eB H H L c
μ=+，其中为无外场0ˆH B 时的哈密顿量，其本征函数和本征值分别为()()(,)nlm
nl lm r R r Y ψθϕ= 和nl ε；1ˆˆ2z
eB H L c
μ= (1) 按简并定态一级微扰论方法，求出对应是微扰。

nl ε的各定态能量()k nl E 和波函数()()k nl r ψ 。

设此系统时刻一般状态(2)
t (,)r t ψ
可以写成什么形式？其能量平均值E a)是否
随t 变化（写出的E 表示式）？
b) 设系统0t =时处于基态(,0)r g ψ
，
写出时的态0t >(,)r t ψ 和能量平均值E 的的作用，定性回答(2)中的两个问题 (a)与(b)。

由于电子间的库仑作用和泡利不相容原理，可导致两相邻电子
之间如下自旋相互作用哈密顿量：表示式，并说明其意义。

(3) 此系统再受到一个含时微扰ˆ2
()H t 四、在讨论磁性材料时，12
ˆˆˆH JS S =⋅ ，其中。

此算符作用在两电子的
如0J >1
2
↑↓=↑
↓诸自旋态上。

的本征态和本征值（尽量利用角动量性质来简化计算）。

试求出ˆH
五、带电粒子（电荷为e ）在均匀磁场中的哈密顿量为21ˆˆ2e H p A -⎪，其中m c ⎛⎫=
⎝⎭
ˆp i =-∇ 和)为矢量算符。

(,0A By =-
,0,(1) 求出该粒子能谱（可假定态波函数形式为)y ,,0(x z x z n ik x ik z k k k n e y ψϕ+=-，不必求解
n ϕ的具体形式）。

(2)
a) 试讨论该体系波函数与自由粒子与谐振子波函数之间的关系。

b) 结经典运动图象，根据量子力学某些一般规律，讨论本征谱的连续性和分
立性。

1994年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）分。

的单粒子作一维束缚运动，两个能量本征波函数分别为
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100
一、 质量为m
()2
2
222(),(),()x x x Ae x B x bx c e x αα12ψψ--==++-∞<<∞
,,,A B b c ,α等均为实常数。

试求这两个态的能量间隔，并说明对参数有什么限制。

二、 试求在氢原子能量本征态,b c 的平均值21r
中，
21
r nlm ψ。

三、 自旋投影算符
ˆ,2
S n n σσ⋅=⋅
为泡利矩阵，n 为单位方向矢量，2 。

(1) 对于电子自旋朝上态1n =），求n σ⋅ （的本征值为ˆz
S 2 χ+的可能值及相应几率。

(2) 对n σ⋅
的本征值为1的本征态，求y σ的可能值及相应的几率。

四、
) 已知带电粒子在磁场B
和势场中运动，求带电粒子速度分量算符的对易关
()V r 系[]ˆˆˆˆˆˆ,,,,
,x y y ⎣⎦⎣z ⎦z x v v v v v
v ⎡⎤⎡⎤的表达式。

(121ˆˆ2e H p m c ⎛⎫=- ⎪⎝(2) 质量为m 电荷为e 的粒子在磁场中的哈密顿量为A 。

求在什么
条件下它可以写成如下形式： ⎭
22221ˆˆˆ22e e H p A p m mc
mc '=
-⋅+A 。

(3) 设0cos A A t ω=
（为常矢量）
，略去上式中的 项，求与 相应的薛定谔程的
量为电荷为的粒子被一个势场散射，此势场是一个球对称电荷分布
0方A 解。

五、 质m e ()V r ()r ρ产生的静电势场。

设()r ρ随r →∞很快趋于零，并有()0r d ρτ=和
2
⎰()r
r d ρτ=A （⎰A 为已知常数）。

试用一级玻恩近似计算向前散射微分截面。

1994年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称：量子力学（实验型）分。

1) 自由粒子能量为
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100 一、2ˆE p
m =(，写出物质波的色散关系，并证明物质波包必然扩立谱和连续谱的正交归一和完备性关系式。

散。

(2) 写出分(3) 写出F 表象（其基矢记为k ）中的薛定谔方程。

二、证明一维体系的分立本征值总是非简并的。

、试在动量表象中求解谐振子问题（即求哈密顿算符的本征值和本征函数）。

四、假定一电子状态由波函数
三
)sin cos ()i e g ϕr ψθθ=+描述，其中2
20
()1g r r dr ∞=⎰
，θϕ与的可能值，相应几率和期望值。

分别是方位角和极角。

求处于该态电子的轨道角动量分量
五、试求其哈密顿量为z z
L 22
223402
1ˆˆˆ22
d H H H m x ax bx m dx ω'=+=-+++ 的能谱，式中是小的常数（精确到一级近似）。

提示：
a b 和
2222112n n n x n ψψα-+⎤⎫=++ ⎪⎥⎝⎭⎦
、具有磁矩n ⎛
0ˆˆ
M M S = （具有ˆS 12的自旋幅）的粒子放在沿x 六轴方向的一常磁场中。

在0t =时，发现粒子具有2z S = ，求在以后的任意时刻发现具有2S =± 粒子的几率。

y
1995年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）
分。

一、一个质量为 说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100
(),0,()2,0x x a V x x a x a ∞μ的粒子在势阱αδ<>⎧
=⎨-<<⎩
中运动，其中a 为常
数，试求第一激发态的能量。

、质量为
μ电荷为的粒子在均匀定常的磁场中运动，取不对称规范：
q
,0z A By A A =-==， x y B 为磁场大小，可知0ˆx y cp
qB =-是守恒量。

二证明0ˆy x cp qB x =+也是守恒量，请问它与0y 是否可以同时被观察？
三、两个相互耦合的一维谐振子由哈密顿算符
()()()22
2
12ˆˆ1p p 2221212ˆ222
H x a x a x x μωλμμ⎡⎤=
++-+-+-⎣⎦ 描写，12λ>。

请求出此体系的能量。

、算符及其厄密共轭满足下面的关系：
b †b
()
2
†††0b b b 它们被称为费米子算符，而(1) 求N 的本征值；(2000年(理论型)第六题) 21,
,0b +===†N b b =是费米子数算符。

bb 四。

电子偶素是由正电子和电子构成的类氢体系。

考虑处于基态的电子偶素（）。

(2) 在N 表象中给出b 与†b 的表达式。

五、0l =系统的哈密顿量可写为0ˆˆˆs H H H =+，其中0
ˆH 是通常的与自旋无关的库仑力部分，ˆˆˆs p H AS S =⋅e ˆ是正电子与电子的自旋作用部分。

自旋和角动量的本征态最为方便？对于这些态，计算由于请问在无外磁场存在时，选择怎样的s
H
引起的能量的改变。

1995年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）1) 简要说明量子力学的态叠加原理与经典波动力学的态叠加原理有何根本的区
，在任何状态下，厄密算符的平均值都是实数。

空间平移不变性，空
、粒子在一维势场中运动，试证明：属于不同能级的束缚态波函数相互正交。

说明：共六道大题，选作五题，每题20分。

一、
(别。

(2) 试证明(3) 下列对称性分别导致什么物理量守恒：空间反射不变性，间转动不变性，时间平移不变性。

二()V x 三、质量为m ，速度为v ，能量为22E mv =的粒子沿x 轴方向运动，其位置测量的误差
x ∆，设x t ∆=，试由不确定关系：v ∆2x p ∆⋅∆≥
为，导出能量和时间的不确定关系：
2
≥
E t ∆⋅∆。

四、一维谐振子的哈密顿量算符为2211ˆˆ22
H
p m m ω=+2x 。

引入无量纲算符：
))†ˆˆ,,,Q P p a Q iP a Q iP ===+=-计算†⎤将用表示；设 (1) ⎦⎣⎦。

†††ˆ,,,,,,,P Q a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎣
⎦⎣⎦⎣(2) ˆH †,a a n 是的本征值为的本征态，求出全部能级。

证明：ˆH n n
E E (3)
††,1,a a n n n a n n a n ==-=1+证明能量表象中，计算的矩阵元。

分量，结果为。

(4) †ˆ,,,a a Q P
五、测量一个电子（处于自由空间）自旋的z 2 。

紧接测量自旋的x 分量，可能得到什么结果？(1) (2) 得到这些结果的几率是多少？
(3) 如果测量自旋方向的轴与z 轴成θ角，测得各种可能值的几率分别为多少？ (4) 在(3)中测得的期望值为多少？
六、有一个两能级体系，哈密顿量为0ˆˆˆH H H '=+01ˆˆ1H H '==0
ˆH 。

在表象，和 微扰，（年理论型)第4题） 0ˆH 0
表示为 ˆH 1996ˆH ' (1020,00E b E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 表征微扰强度。

试求的本征值和本征态。

ˆH 'b
1996年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）一、粒子作一维运动，
说明：共六道大题，选作五题，每题20分。

2ˆp ，即ˆn n n ˆ()2H V x =+，定态波函数为H E ϕμ
n ϕϕ=。

(1) 证明：ˆn n nn n n p
a x ϕϕ''ϕ=，并求系数'nn a '。

(2) 由此推导求和公式：()2
2
2
2
22
ˆn m n m
n n
E E x p
ϕϕϕϕμ-=
∑。

(3) 证明：n ()2
2
2n m n m
n
E E x ϕϕμ
-=∑ 。

μ的非相对论粒子在位势()()0V x x αδα=->二、一个质量为之下作一维束缚运动，试
求坐标0a >，使得粒子在区域x a >的几率为12。

B
指向正x 三、在均匀磁场内有一个电子（不考虑轨道运动）磁场方向，磁作用势为
ˆˆ,2x x x eB eB H S c
c σσμμ==是泡利矩阵。

设0t =时，电子的自旋向上，即ˆ2z
S =，求0t >时的平均值。

ˆ
S 四、有一个两能级体系，哈密顿量为0ˆˆˆH H H '=+ˆˆ1H H '==试求ˆH 。

在表象，和表示为
微扰，的本征值和本征态。

（年 (实验型)0ˆH 0
001E ⎛⎫⎛⎫12
第6题）
ˆH ˆH '1995102,00b E ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，b 表征微扰强度。

ˆH 'E E ≥2ˆL 轴方向投影ˆz
L 与角动量在z 五、一个量子体系处于角动量平方共同本征态。

总角动量的平方平均值为22 。

已知测量角动量在y 轴方向投影ˆy
L
得值为0的几率为12，求测量ˆy
L 得值为的几率。

μ六、两个质量都是的一维耦合谐振子系统的哈密顿算符为
()()()()22221212ˆˆ22
H p p x a x a x x μωμ221211ˆ⎡⎤=++-+++-⎣⎦ ,a λ为参数，1212,,x x λ>--∞<<∞。

试求系统的能量本征值。

1996年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）试设计一个实验来证实“单个电子作为整体是不可分割的”。

、
在
说明：共六道大题，选作五题，每题20分。

一、
p 表象中，归一化波函数为 ()12
二32
222
(),,A x A k k mV p k 02ψπ=== ⎪+⎝⎭。

试计算⎛⎫x ∆，p ∆，验证测不准关系。

质量为的粒子在势场中作一维运动，试建立动量表象中能量的本征方
一个质量为的粒子被限制在r ＝a 和r ＝b 的两个不可穿透的同心球面之间运
有一个定域电子（不计及轨道运动）受到均匀磁场作用，磁场
三、 m ()V x 程。

四、 m 动。

不存在其它势，求粒子的基态能量和归一化波函数。

（2007年第五题）
B 指向正x 五、 方向，
磁作用势为ˆˆ2x x eB eB H S c c σμ==。

设μ 0t =时，电子的自旋向上，即2
z S = ，求>时的平均值。

六、 一维谐振子，其能量算符0t S
222202
1ˆ22
d H m m dx ω=-+ x ，设此谐振子受到微扰22ˆ2
H
m x λω'=的作用（1λ ），试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。

(1997年(实验型Ⅱ)第三题)
1997年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）的粒子在一圆圈上（周长为）运动，如果还存在
说明：共六道大题，选作五题，每题20分。

m L δ一、质量为函数
()(),02
L
V x x a =-≠。

请求出系统的所有能级和相应的归一化本征函数。

的带电粒子（电荷为，质量为）受到均匀磁场a δ
1q m y B Be = 二、自旋为的作用（为y e
y
方向的单位矢量），其哈密顿量为ˆy H S ˆ=。

（为自旋算符的eB mc
ˆy S y 分量），如果t 0=时粒子的自旋指向正x 轴方向，求粒子自旋平均值的时间演化。

三、设有算符i
†b b b 和满足如下对易关系： 1,2)
†i b δ+=††+=求：(1) 哈密顿量†††
,0,0,
(,i j j i ij i j j i i j j i b b b b b b b b b b i j +== ††11122221
ˆ,(0)H b b b b ωωωω=+> >的能谱和相应的本征态； 在和本征态表象中算符(2) ˆH
12
Q b b =和的矩阵表达式。

四、谐振子的哈密顿量是††1
2
W b b =
2220
ˆ1ˆ22p H m m ω=+x 。

设有微扰22ˆ2
n H m x λω'=（n 为正整数，λ为正数，且1λ ）。

一级和二级微扰修正；
较。

时，一维量子体系处于（不显含）的某一本征态(1) 请求出基态能量的(2) 如果0n =，请将得到的结果与严格的结果比
0t =0k
ˆH t ψ五、初始时刻上。

(1) 求该体系在某一微弱的外界作用的影响下，由ˆ(,)H
x t 'k
ψ跃迁到另一本征态 ()l
l k ψ≠的跃迁几率()lk P t 的普遍的一级近似表达式。

(2) 若k ψ为该系统的基态0ψ，而ˆt (,)()H
x t F x e τ-'t τ =，求在时体系处于某一激发态n ψ的几率0()n P t （利用上题结果） （97实验型Ⅱ第四题）
1997年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型Ⅰ）实每次只有一个光子通过比双
？
某个缝，实验结果又如何？
一、在杨氏双窄缝验中，假设光源S 发射一个个光子，且缝，在双缝后的观察屏上安置许多单光子探测器，问： (1) 每次实验的结果如何？ (2) 非常多次的实验结果如何(3) 若采用某种方法确定光子经过(4) 单个光子能否产生干涉？
k 为厄密算符ˆF
的本征态。

二、设 (1) 证明表象的完备性关系式ˆ
F
1k
k k ψ=∑； 在表象的本征方程；设具有分立谱）(2)写出任意算符ˆˆ (3)L
F 写出动量表象的完备性关系式。

（注：假ˆF 三、质量为m 的粒子在均匀力场()(0)f x F F =->中运动，运动范围限制在0x ≥，试
程。

给出动量表象中定态薛定谔方 四、粒子处于态：
11011,12(2)z e r r
Cre Y C x y ααψ---⎤=++=++⎥⎦式中 0,C α>为归一化常数。

求：的取值； 的几率；
2(1) (2) ˆL
的平均值；ˆL
z
(3) ˆz
(4L = ) ˆx
L
的可能及相应的几率。

五、一维谐振子的哈密顿量2ˆ221ˆ22p H m x m ω=+，基态波函数
222(),x x αψα-==。

设振子处于基态。

（1990年（实验型）第二题） (1) 求x <>和p <>；
(2) 写出本征能量E ，并说明它反映微观粒子什么特征？0
(3) 一维谐振子的维里定理是T V <>=<>，试利用这个定理证明：2
x p ∆⋅∆=
，其
中x p ∆=∆=六、在=时，氢原子的波函数
t 100210211211(,0)2r ψψψ-⎤=+++⎦ ,,n l m 的值，忽略自旋和辐射跃迁。

式中波函数的下标分别是量子数态的几率是多年（实验型）第五题）(1) 该体系的能量期待值是多少？
(2) 在t 时刻体系处在1,1l m ==的少？（1992
1997年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型Ⅱ）分。

、设算符=，又设
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100
,1K LM LM ML =-ϕ为的本征矢，相应的本征值为K λ一，求证
u L v M ϕϕ≡也是K 的本征态≡和，并求出相应的本征值。

、质量为和粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：
m 0,0(),0,x a
V x x x a <<⎧=⎨∞<>⎩
二
(1) 求解能量本征值和归一化的本征函数()n x ψ。

(2) 求已知0t =时，
该粒子的态为]12(,0)()()x x x ψψψ=+，求t 时刻该粒子的波
函数。

该粒子的哈密顿算符和坐标算符的平均值(3) 求t 时刻H 和x 。

三、一维谐振子，其能量算符为：
222202
1ˆ22
d H m m dx ω=-+ x 。

设粒子受到微扰22ˆ2
H
m x λω'=的作用，其中21λ 。

(1996年(实验型)第六题) (1) 试求该粒子各能级的一级和二级微扰修正。

（提示：坐标)
,1,1mn m n m n x +-=
+x 的矩阵元） (2) 把上述结果与精确求解0
ˆˆˆH
H H '=+得到的本征值相比较。

时，一维量子体系处于（不显含）的某一本征态
0t =0
k ˆH t ψ四、初始时刻上。

(1) 求该体系在某一微弱的外界作用ˆ(,)H
x t '的影响下，由k
ψ跃迁到另一本征态 ()l
l k ψ≠的跃迁几率()lk P t 的普遍的一级近似表达式。

(2) 若k ψ为该系统的基态0ψ，而ˆt (,)()H
x t F x e τ-'t τ =，求在时体系处于某一激发态n ψ的几率0()n P t （利用上题结果）(1997年(理论型)第五题)
(,)θϕ方向单位矢量()(,,)sin cos ,sin sin ,cos x y z n n n n θϕθϕθ==。

在z σ五、给定表象中求
n n σσ=⋅ 的本征值和归一化的本征态矢。

(,,)x y z σσσσ=
是3个22⨯泡利矩阵。

1998年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（理论型）的粒子在一维势场
说明：共六道大题，选作五题，每题20分。

m 000,
一、质量为()(0),x a V x V V x a
>=>⎨
-<⎪⎩ 中运动。

(1) 求基态能量满足的方程：
(1999年(理论型)第三题) 二、自旋为
⎧⎪0(2E ) 求存在且仅存在一个束缚态的条件。

2
的带电粒子（电荷为，质量为m ）受到均匀磁场q y B Be = 的作用（为y e
y 方向的单位矢量），其哈密顿量为ˆˆy eB H s mc
ω=+ 。

（分量），如果
时粒子的自旋指向正ˆy s 为自旋算符的y 0t =x 轴方向，求粒子自旋平均值的时间演化。

(1999、一个质量为的粒子在一维势场：
年(理论型)第四题)
三m 0,30,
3(),
0,3x a a x a V x V x a a x a
⎪
<<⎪=⎨<⎪⎪-<<-⎩
中运动。

时，求粒子的能谱；和满足如下对易关系（是的厄密共轭，2∞⎧>(1) 0V =0
(2) 0V ≠时，用一级微扰法求基态能量。

0
四、设有算符i i a †i a †i a a ,1,i j =）
††††††
0=-=
；试求哈密顿量,0,i j j i ij i j j i j j a a a a a a a a a a δ-=i a i a -()()†1221a a -††1a +之间的线性变换，可将† 的哈密顿量之和。

01221
ˆ(0)H a i a a ωωωω>>=+ ††1212
,a a a a 和和ˆH 01a a 的能谱。

（提示：仅利用化为二个不耦合的谐振子）、将上题哈有关的部分当作微扰，请用定态微扰论求出第一激发态的
五密顿量 中与 修正。

（第一激发态的二度简并的。

）
1998年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）分。

说明：共四道大题，无选择题，计分在题首标出，满分100一、设一维谐振子能量本征值为E ，相应的本征函数为()n x ψ。

n 1) （6分）由厄米多项式()H x 的递推关系：
n 112()n n n n
n H x xH x nH x 1()2()2()0,()x H x -nH +-'-+=导出=()n 。

x x ψ及()n
x ψ' 满足的递推关系。

2) （4分）求()n x ψ上坐标及动量算符的平均值：ˆ,
x p。

3) （10分）
求证简谐振子的零点能是测不准关系2
2
2
4
x p ∆∆≥ 02E ω= 的直接后果，其中(
)
(
)
2
2
2
2
,x x x p p p ∆=-∆=- 。

4) （5分）求()n x ψ态上动能算符和势能的平均值,T V 。

它们之间的关系是什
么？（可用的公式：22
2
()(),x n n n n x N e H x N α
ψαα-==
=） 二、轨道角动量算符的三个分量ˆ
ˆˆ,,
x y z j j j ,,,满足的对易关系是：
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,x y z y z i j j j ⎡==⎣ˆˆˆx y
x z x j j i j j j i j ⎡⎤⎣⎦
⎦⎣⎦
2
2ˆˆ,x y z y ⎤⎡⎤ 22ˆˆ=定义算符j j j j =++ j j ij ±=
±。

1) （15分）求对易关系： 2ˆˆˆˆˆˆ,,,,,z j j j j j j ±±+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

2) （10分）若2ˆ
ˆz j j 和，其中j 的共同本征函数为jm ψ和为相应的量子数。

求证 m 也是2ˆ
ˆz j j 和的共同本征函数，并求出相应的本征值。

三、（25分）把一个自旋为 2
的粒子置于磁场B ()0sin cos x z B B e e θθ=+
中，若已知，
其中,x z e e
为,x z 方向的单位矢量，0,B θ均为常数，体系的哈密顿量为
ˆˆˆH M B =-⋅ ，其中ˆM 为自旋磁矩，ˆB ˆ2,B S μμμ= 为玻尔磁子，试求ˆH
和本征值和本征矢。

一个质量为的粒子在一维势中运动，势的函数表达式为：
四、（25分）m ()V x 0,
30,
3(),
0,3x a a x a a
- V x V x a a x <<<-<<将部分视为在长的平坦势（即：∞⎧>⎪⎪
=⎨⎪⎪⎩0V 6a 0,V x 3,3a V x a =<=∞>；）上的微扰，
用一级微扰方法求基态能量。