2011年中考数学预测压轴题10题及答案

2011年中考数学练习
1、（上海卷）已知点P 在线段AB 上，点O 在线段AB 延长线上．以点O 为圆心，OP 为半径作圆，点C 是圆O 上的一点． （1）如图，如果2AP PB =，PB BO =．求证：CAO BCO △∽△；
（2）如果AP m =（m 是常数，且1m >），1BP =，OP 是
OA ，OB 的比例中项．
当点C 在圆O 上运动时，求:AC BC 的值（结果用含m 的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，讨论以BC 为半径的圆B 和以CA 为半径的圆C 的位置关系，并写出相应m 的取值范围．
2、（福建龙岩卷）如图，已知抛物线23
4
y x bx c =-++与坐标轴交
于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，
的直线3
34y x t
=-+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，
PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<． （1）确定b c ，的值：__________b c ==，；
（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）： (______)(______)(______)B Q P ，，，，，；
（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．
3、
（福建漳州卷）如图，已知矩形3ABCD AB BC ==，，在
BC 上取两点E F ，（E 在F 左边）
，以EF 为边作等边三角形PEF ，使顶点P 在AD 上，PE PF ，分别交AC 于点G H ，．
（1）求PEF △的边长；
（2）在不添加辅助线的情况下，当F 与C 不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由； （3）若PEF △的边EF 在线段BC 上移动．试猜想：PH 与BE 有何
数量关系？并证明你猜想的结论．
4．（浙江省台州市）如图，已知直线y ＝－2
1x
＋1交坐标轴于A 、B 两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点A ，D ，C 的抛物线与直线另一个交点为E ．
（1）请直接写出点C ，D 的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D 落在x 轴上时停止，求抛物线上C 、E 两点间的抛物线弧所扫过的面积．
C
A P
B O
A B C
E F
1
2
1
+-=x
5．（河南省）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD
的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）．抛物线y
＝ax
2
＋bx 过A 、C 两点． （1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时
点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒．过点P 作
PE ⊥AB 交AC 于点E ．
① 过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ．当t 为何值时，线段EG 最长？
② 连接EQ ，在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形？请直接写出相应的t 值．
6．（浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （33，2），C （0，2）．动点D 以每秒1个单位的速度从点O 出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动．过点E 作EF ⊥AB ，交BC 于点F ，连结DA 、DF ．设运动时间为t 秒．
（1）求∠ABC 的度数；（2）当t 为何值时，AB ∥DF ；
（3）设四边形AEFD 的面积为S ．①求S 关于t 的函数关系式；②若一抛物线y ＝－x
2＋
mx 经过动点E ，当S ＜23时，求m 的取值范围（写出答案即可）．
7．（重庆市綦江县）如图，已知抛物线y ＝a (x －1)2＋33(a
≠0)经过点A (－2，0)，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM ∥AD ．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问：当
t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC ＝OB ，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度
单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t （s ），连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．
8．（甘肃省兰州市）如图①，正方形ABCD 中，点A 、B 的坐
标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到D 点时，
图①
图②
两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．
（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．（4）如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t
9．（甘肃省陇南市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过
A (－1，0)，
B (4，0)，
C (0，－4)，⊙M 是△ABC M 为圆心．
（1）求抛物线的解析式； （2）求阴影部分的面积；
（3）在x 轴的正半轴上有一点P ，作PQ
⊥x 轴交BC 于Q PQ ＝k ，△CPQ 的面积为S ，求S 关于k 的函数关系式，S 的最大值．
10．（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC 的长为4，宽
为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点OA 不重合），现将△POC 沿PC 翻折得到△PEC ，再在AB 边上选取适当的点D ，将△PAD 沿PD 翻折，得到△PFD ，使得直线PE 、PF 重合．
（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；
（2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP ＝x ，AD ＝y ，当x 为何值时，y 取得最大值？
（3）在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三点的抛物线上
是否存在点Q ，使△PDQ 是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．
1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC 交CD 于点F ．AB ＝4，BC ＝E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF ⊥EF 交BC 于点M ，过M 作MN ∥AB
PN ，设EP ＝x ．①当点N 在线段AD 上时（如图2），△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如
图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．
图① F
E A
D
B C 图1
F E A D B C
图2
N P M 图3 M
F E A D
B C 图4(备用) F E A D B C
图5(备用)
12．（云南省昆明市）如图，在平面直角坐标系中，四
边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 坐标为（6，0），点B 坐标为（3，4），点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在
OA 边上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 边上运
动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每
秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也就随即停止，设两点的运动时间为t （秒）．
（1）求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？
（2）设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（3）连接CA ，那么是否存在这样的t 值，使MN 与AC 互相垂直？若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由．
13． （湖南省株洲市）如图，已知△ABC 为直角三角
形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点A 、C 在x 轴上，点B 的坐标为(3，m )(m ＞0)，线段AB 与y 轴相交于点D ，以P (1，0)为顶点的抛物线过点B 、D ．
（1）求点A 的坐标（用m 表示）；（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：FC (AC ＋EC )为定值．
14． （湖北省黄冈市）如图，在平面直角坐标系xo y 中，抛物线y ＝
181x
2－9
4
x －10与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结
AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒) （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当0＜t ＜2
9
时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理
由；
（4）当t 为何值时，△PQF
1.（安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D
且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；
(2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点，
如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.
[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考）
方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB
''''
==
又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC '
'+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB
''
=
，∴2
316
EO DO DB AB ''=⨯=⨯= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2①
再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0
2
x y =⎧⎨=-⎩
∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上
（2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）
E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-⎧⎪
++=-⎨⎪=-⎩
解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2
（3）（本小题给出三种方法，供参考）
图①
图②
由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。

同（1）
可得：1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF
AB DB '⇒=
，∴13DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112
2223
DC DB DC DF DC DB •-•=•
=1
3
DC DB •=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11
32322
BD E F k k '=•=+⨯=+
∴S =3+k 为所求函数解析式.
方法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4∴()221
3992
AE C ABCD S S AB CD BD k '∆==⨯+•=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.
2. （广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为2
2的圆与y 轴交于A 、D 两点.
（1）求点A 的坐标；
（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；
（3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若
4
21h
S S =，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.
[解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，
在Rt △AOM 中，AO ＝
122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1）
（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y ＝x ＋1 令y ＝0则x
＝－1 ∴B （—1，0），AB ＝2112222=+=+AO BO 在△ABM 中，AB
＝
2，AM ＝2，BM ＝2 222224)2()2(BM AM AB ==+=+
∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线 （3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝
2，AC ＝22， ∴BC ＝
10)22()2(2222=+=+AC AB ∵∠BAC ＝90° ∴△ABC 的外接圆的直
径为BC ，
∴πππ25)210()2(221=•=•=BC S 而
ππ)2
22()2(2
22•=•=AC S
421h S S =Θ，5,4225
=∴=h h 即 ππ 设经过点B （—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式为： y ＝a （＋1）（x －1），（a≠0）即y ＝ax 2－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝±5 ∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法二：（接上） 求得∴h ＝5
由已知所求抛物线经过点B （—1，0）、M （1、0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得
物线的顶点坐标为（0，±5） ∴抛物线的解析式为y ＝a （x －0）2±5 又B （－1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a ＝±5 ∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：（接上）求得∴h ＝5
因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）
由已知得⎪⎩⎪
⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
±=-=+-=++5
055c 0b 5544002c b a a a
b a
c c b a c b a 或 ＝－ 解得
∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.
3.(2004)如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，
抛物线)0(2
>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧⌒AB 的长；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD
在，请说明理由. [解] （1）如图，连结PB ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M.
在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB ＝60°，∴∠APB ＝120° ⌒
AB 的长＝
3
42180120π
π=
⋅⋅︒︒ （2）在Rt △PMB 中，PB=2,PM=1,则MB ＝MA ＝3. 又OM=1，∴A （1－3，0），B （1＋3，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线PM 上，
则C(1，－3).
点A 、B 、C 在抛物线上，则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=-+-+-=++++=c b a c b a c b a 3)31()31(0)31()31(022 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==2
21c b a ∴抛物线解析式为222
--=x x y （3）假设存在点D ，使OC 与PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC ∥OD.
又PC ∥y 轴，∴点D 在y 轴上，∴OD ＝2，即D （0，－2）.
又点D （0，－2）在抛物线222
--=x x y 上，故存在点D （0，－2），
使线段OC 与PD 互相平分.
4.（2009湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt △ABC 的直角顶点C （0
）在y 轴的正半轴上，A 、B 是x 轴上是两点，且OA ∶OB ＝3∶1，以OA 、OB 为直径的圆分别交AC 于点E ，交BC 于点F .直线EF 交OC 于点Q . （1）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.
（3）在△AOC 中，设点M 是AC 边上的一个动点，过M 作MN ∥AB 交OC 于点N .试问：在x 轴上是否存在点P ，使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.
[解] (1)在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴△AOC ≌△COB . ∴OC 2＝OA ·OB . ∵OA ∶OB ＝3∶1,C
),
∴23.OB OB =g ∴OB ＝1.∴OA ＝3.
∴A (-3,0),B (1,0). 设抛物线的解析式为2
.y ax bx c =++
则930,0,a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪
=⎩
解之，得a b c ⎧=⎪
⎪
⎪
=⎨⎪⎪=⎪⎩
∴经过A 、B 、C
三点的抛物线的解析式为23y x =-
+ (2)EF 与⊙O 1、⊙O 2都相切.
证明：连结O 1E 、OE 、OF .
∵∠ECF ＝∠AEO ＝∠BFO ＝90°
, ∴四边形EOFC 为矩形. ∴QE ＝QO .
∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF 与⊙O 1相切. 同理：EF 理⊙O 2相切.
(3)作MP ⊥OA 于P ，设MN ＝a ,由题意可得MP ＝MN ＝a . ∵MN ∥OA , ∴△CMN ∽△CAO . ∴.MN CN AO CO = ∴3a = 解之，得a =
此时，四边形OPMN 是正方形. ∴
由方程组
y=ax 2—6ax +1
y=2
1
x +1 得：ax 2—（6a +
2
1
）x =0
∴3
(,0).2
P -
考虑到四边形PMNO 此时为正方形， ∴点P 在原点时仍可满足△PNN 是以MN 为一直角边的等腰直角三角形.
故x 轴
上存在点P 使得△PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形且
3
(,0)2
P -
或(0,0).P 5.（湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(
415，8
23
)，P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部(不在各边上)的—个动点，点D 在y 轴，抛物线y ＝ax 2+b x +1以P 为顶点． (1)说明点A 、C 、E 在一条条直线上；
(2)能否判断抛物线y ＝ax 2+b x +1的开口方向?请说明理由；
(3)设抛物线y ＝ax 2+b x +1与x 轴有交点F 、G(F 在G 的左侧)，△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点．这时能确定a 、b 的值吗?若能，请求出a 、b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)
[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=2
1
x 将点E 的坐标E(415，823)代入y=21x +1中，左边=8
23
=
21×415+1=8
23
， ∵左边=右边，∴点E 在直线y=
2
1
x +1上，即点A 、C 、E 在一条直线上.
（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 都在抛物线上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下 解法二：∵抛物线
y=ax 2+b x +c
的顶点P 的纵坐标为a
b a 442
—，且P 在矩形ABCD 内部，∴
1＜a b a 442—＜3，由1＜1—a b 42得—a
b 42＞0，∴a ＜0，∴抛物线的开口向下.
（3）连接GA 、FA ，∵S △GAO —S △FAO =3 ∴
21GO ·AO —2
1
FO ·AO=3 ∵OA=1，∴GO —FO=6. 设F （x 1,0）、G （x 2,0），则x 1、x 2为方程ax 2+b x +c=0的两个根，且x 1＜x 2，
又∵a ＜0，∴x 1·x 2=a 1
＜0，∴x 1＜0＜x 2，
∴GO= x 2，FO= —x 1，∴x 2—（—x 1）=6，
即x 2+x 1=6，∵x 2+x 1= —a b ∴—a
b
=6，
∴b= —6a ,
∴抛物线解析式为：y=ax 2—6ax +1, 其顶点P 的坐标为（3，1—9a ）, ∵顶点P 在矩形ABCD 内部，
∴1＜1—9a ＜3, ∴—9
2
＜a ＜0.
∴x =0或x =
a a 21
6+
=6+a
21. 当x =0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，则有：0＜6+
a 21≤415，解得：—9
2
≤a ＜—121 综合得：—
92＜a ＜—121 ∵b= —6a ，∴21＜b ＜3
4
6.（湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A 过点B 且与x 轴分别相交于点O 、C ，⊙A
被y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l 与⊙A 切于点O ，抛物线的顶点在直线l 上运动.
（1）求⊙A 的半径；
（2）若抛物线经过O 、C 两点，求抛物线的解析式；
（3）过l 上一点P 的直线与⊙A 交于C 、E 两点，且PC ＝CE ，求点E 的坐标；
（4）若抛物线与x 轴分别相交于C 、F 两点，其顶点P 的横坐标为m ，求△PEC 的面积关于m 的函数解析式.
[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO ＝90º 再由AB ＝AO ＝r ，且OB ＝2，得r ＝
2
(2)⊙A 的切线l 过原点，可设l 为y ＝kx 任取l 上一点(b ，kb )，由l 与y 轴夹角为45º可得： b ＝－kb 或b ＝kb ，得k ＝－1或k ＝1，∴直线l 的解析式为y ＝－x 或y ＝x 又由r
，易得C(2，0)或C(－2，0) 由此可设抛物线解析式为y ＝ax (x －2)或y ＝ax (x ＋2)再把顶点坐标代入l 的解析式中得a ＝1∴抛物线为y ＝x 2－2x 或y ＝x 2＋2x
(3)当l 的解析式为y ＝－x 时，由P 在l 上，可设P(m ，－m)(m ＞0) 过P 作PP′⊥x 轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP ＝2m 2， 又由切割线定理可得：OP 2＝PC·PE,且PC ＝CE ，得PC ＝PE ＝m ＝PP′7分 ∴C 与P′为同一点，即PE ⊥x 轴于C ，∴m ＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l 的解析式为y ＝x 时，m ＝－2，E(－2，2)
(4)若C(2，0)，此时l 为y ＝－x ，∵P 与点O 、点C 不重合，∴m≠0且m≠2， 当m ＜0时，FC ＝2(2－m)，高为|y p |即为－m ， ∴S ＝
22(2)()
22
m m m m --=-
同理当0＜m ＜2时，S ＝－m 2＋2m ；当m ＞2
时，S ＝m 2－2m ；∴S ＝22
2(02)
2(0
m m m m m m ⎧-<>⎨-+
⎩或l 为y ＝x ，同理可得；S ＝22
2(22(20)
m m m m m m m ⎧+<->⎨---<<⎩或
7.（江苏连云港）如图，直线+=kx y 且与x 、y 轴分别交于C 、D 两点．
（1）若COD ∆的面积是AOB ∆的面积的2倍，求k 与m 之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，是否存在k 和m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．若存在，求出k 和m 的值；若不存在，请说明理由．
[解]（1）设),(11y x A ，),(22y x B (其中2121,y y x x ><)，
由AOB COD S S ∆∆=2，得)(2BOD AOD COD S S S ∆∆∆-= ∴
2
1·OC ·2=OD (21·OD ·-1y 21
·OD ·2y )，)(221y y OC -=， 又4=OC ，∴8)(221=-y y ，即84)(21221=-+y y y y ， 由x m
y =可得y m x =，代入4+=kx y 可得042=--km y y ①
∴421=+y y ，km y y -=⋅21， ∴8416=+km ， 即m
k 2
-
= 又方程①的判别式08416>=+=∆km ， ∴所求的函数关系式为m
k 2
-=)0(>m ．
（2）假设存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ．
则BP AP ⊥，过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ．
∵MAP ∠与BPN ∠都与APM ∠互余，∴MAP ∠ BPN ∠=． ∴Rt MAP ∆∽Rt NPB ∆，∴NB
MP
PN AM =． ∴212122y x x y -=-，∴0)2)(2(2121=+--y y x x ， ∴0)2)(2(212
1=+--y y y m y m ， 即0)(4)(222121212=+++-y y y y y y m m ②
由（1）知421=+y y ，221=⋅y y ，代入②得01282=+-m m ，∴2=m 或6，又m
k 2
-=，
∴⎩⎨⎧-==12k m 或⎪⎩⎪⎨
⎧-==316k m ， ∴存在k ,m ，使得以AB 为直径的圆经过点)0,2(P ， 且⎩⎨⎧-==12k m 或⎪⎩
⎪⎨⎧-==316k m
8.（江苏镇江）已知抛物线2(5)5(0)y mx m x m =--->与x 轴交于两点1(,0)A x
2(,0)B x 12()x x <，与y 轴交于点C ，且AB =6.
（1）求抛物线和直线BC 的解析式.
（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC . （3）若P e 过A 、B 、C 三点，求P e 的半径.
（4）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，使MBN ∆被直线BC 分成面
积比为13:的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
[解]（1）由题意得：12122155
,, 6.m x x x x x x m m
--+=
⋅=-= 2
21212520
()436,36,m x x x x m m -⎛⎫+-=+
= ⎪⎝⎭
解得1251,.7
m m ==-
经检验m =1，∴抛物线的解析式为：2
4y x =+或：由2
(5)50mx m x ---=得，1x =或
5x m
-=
0,m Q >
5
16, 1.m m
-∴-
=∴= ∴抛物线的解析式为24 5.y x x =+-
由2
450x x +-=得125, 1.x x =-=
∴A （－5，0），B （1，0），C （0，－5）. 设直线BC 的解析式为,y kx b =+
则5,5,
0. 5.b b k b k =-=-⎧⎧∴⎨
⎨
+==⎩⎩
∴直线BC 的解析式为5 5.y x =- (2)图象略.
（3）法一：在Rt AOC D 中，5,45.OA OC OAC ==∴∠=︒Q
90BPC ∴∠=︒.
又BC == ∴P e
的半径2
PB == 法二：
由题意，圆心P 在AB 的中垂线上，即在抛物线2
45y x x =+-的对称轴直线2x =-上，设
P （－2，－h ）（h ＞0），
连结PB 、PC ，则2
2
2
2
2
2(12),(5)2PB h PC h =++=-+，
由22
PB PC =，即2222
(12)(5)2h h ++=-+，解得h =2.
(2,2),P P ∴--∴e 的半径PB ==.
法三：
延长CP 交P e 于点F .
CF Q 为P e 的直径，90.CAF COB ∴∠=∠=︒ 又,.ABC AFC ACF OCB ∠=∠∴D ~D
,.CF AC AC BC
CF BC OC OC
⋅∴
=∴=
又AC ==5,CO BC ==∞
5
CF ∴=
=
P ∴e
（4）设MN 交直线BC 于点E ，点M 的坐标为2
(,45),t t t +-则点E 的坐标为(,55).t t -
若13,MEB ENB S S =D D ::则13.ME EN =::
24
34,45(55).3
EN MN t t t ∴=∴+-=-::
解得11t =（不合题意舍去），25,3t =
540,.39M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
若31,MEB ENB S S =D D ::则31.ME EN =::
214,454(55).EN MN t t t ∴=∴+-=-::
解得31t =（不合题意舍去），415,t =()15,280.M ∴
∴存在点M ，点M 的坐标为540,39⎛⎫
⎪⎝⎭
或（15，280）.
9. 如图，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，其坐标分别为)03(，-A 、)01(，B ，直径CD ⊥x 轴于N ，直线CE 切⊙M 于点C ，直线FG 切⊙M 于点F ，交CE 于G ，已知点G 的横坐标为3.
(1) 若抛物线m x x y +--=22经过A 、B 、D 三点，求m 的值及点D 的坐标.
(2) 求直线DF 的解析式.
(3) 是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若
存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.
[解] (1) ∵抛物线过A 、B 两点，
∴1
1)3(-=
⨯-m
，m =3. ∴抛物线为322+--=x x y . 又抛物线过点D ，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点. ∴D 点坐标为)41(，-.
(2) 由题意知：AB =4.
∵CD ⊥x 轴，∴NA =NB =2. ∴
ON =1.
由相交弦定理得：NA ·NB =ND ·NC ， ∴NC ×4=2×2. ∴NC =1. ∴C 点坐标为)11(--，.
设直线DF 交CE 于P ，连结CF ，则∠CFP =90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC 、GF 是切线， ∴GC =GF . ∴∠3=∠4.
∴∠1=∠2.
∴GF =GP . ∴GC =GP . 可得CP =8. ∴P 点坐标为)17(-，
设直线DF 的解析式为b kx y += 则⎩⎨⎧-=+=+-174b k b k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=8
27
8
5
b k
∴直线DF 的解析式为：8
27
85+-=x y
(3) 假设存在过点G 的直线为11b x k y +=， 则1311-=+b k ，∴1311--=k b .
由方程组⎩
⎨⎧+--=--=32132
11x x y k x k y 得034)2(112=--++k x k x 由题意得421=--k ，∴61-=k . 当61-=k 时，040<-=∆， ∴方程无实数根，方程组无实数解.
（第9题图）
∴满足条件的直线不存在.
10.（山西）已知二次函数2
12
y x bx c =
++的图象经过点A （－3，6），并与x 轴交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P.
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标；
（3）在x 轴上是否存在一点M ，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
[解] （1）解：∵二次函数21
2
y x bx c =++的图象过点A （－3，6），B （－1，0）
得9
362102
b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得132b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
∴这个二次函数的解析式为：21322
y x x =
-- 由解析式可求P （1，－2），C （3，0）
画出二次函数的图像
（2）解法一：易证：∠ACB ＝∠PCD ＝45°
又已知：∠DPC ＝∠BAC ∴△DPC ∽△BAC
∴
DC PC
BC AC
=
易求4AC PC BC === ∴43DC =
∴45333OD =-= ∴5,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
解法二：过A 作AE ⊥x 轴，垂足为E.
设抛物线的对称轴交x 轴于F. 亦可证△AEB ∽△PFD 、
∴
PE EB
PF FD
=
. 易求：AE ＝6，EB ＝2，PF ＝2 ∴23FD =
∴25133OD =+= ∴5,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
（3）存在.
（1°）过M 作MH ⊥AC ，MG ⊥PC 垂足分别为H 、G ，设AC 交y 轴于S ，CP 的延长线交y 轴于T
∵△SCT 是等腰直角三角形，M 是△SCT 的内切圆圆心， ∴MG ＝MH ＝OM
又∵MC =
且OM ＋MC ＝OC
3,3OM OM +==得
∴()
3,0M
（2°）在x 轴的负半轴上，存在一点M
′ 同理OM′＋OC ＝M′C ，
OM OC ''+=
得3OM '=
∴M ′()
3,0- 即在x 轴上存在满足条件的两个点.
11.（浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A （－1，0），B （3，0）.
（1）若抛物线过A ，B 两点，且与y 轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A ，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C ，M 为抛物线的顶点，那么△ACM 与△ACB 的面积比不变，请你求出这个比值；
（3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E ，F ，与y 轴交于点C ，过C 作CP ∥x 轴交l 于点P ，M 为此抛物线的顶点.若四边形PEMF 是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.
[解] （1）322--=x x y ，顶点坐标为（1，－4）. （2）由题意，设y ＝a （x ＋1）（x －3）， 即y ＝ax 2－2ax －3a ，
∴ A （－1，0），B （3，0），C （0，－3a ）， M （1，－4a ），
∴ S △ACB ＝2
1
×4×a 3-＝6a ，
而a ＞0， ∴ S △ACB ＝6A 、 作MD ⊥x 轴于D ，
又S △ACM ＝S △ACO ＋S OCMD －S △AMD ＝
21·1·3a ＋21（3a ＋4a ）－2
1·2·4a ＝a ， ∴ S △ACM ：S △ACB ＝1：6.
（3）①当抛物线开口向上时，设y ＝a （x －1）2＋k ，即y ＝ax 2－2ax ＋a ＋k ， 有菱形可知k a +＝k ，a ＋k ＞0，k ＜0， ∴ k ＝2
a -
， ∴ y ＝ax 2－2ax ＋
2
a
， ∴ 2=EF . 记l 与x 轴交点为D ，
若∠PEM ＝60°，则∠FEM ＝30°，MD ＝DE·tan30°＝
6
6， ∴ k ＝－
66，a ＝3
6
， ∴ 抛物线的解析式为6
6
6326312+-=
x x y . 若∠PEM ＝120°，则∠FEM ＝60°，MD ＝DE·tan60°＝
2
6
， ∴ k ＝－
2
6
，a ＝6， ∴ 抛物线的解析式为2
66262+
-=
x x y . ②当抛物线开口向下时，同理可得
666326312-+-
=x x y ，2
66262
-+-=x x y . 12.（北京）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象与x 轴交于点
A ，抛物线
经过O 、A 两点。

（1）试用含a 的代数式表示b ；
（2）设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。

若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B 是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存
在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由。

[解]（1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线经过O、A两点
解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线经过O、A两点
∴抛物线的对称轴为直线
（2）由抛物线的对称性可知，DO＝DA
∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO
又由（1）知抛物线的解析式为
∴点D的坐标为（）
①当时，
如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为
⌒
OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然
所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D也关于x轴对称
∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切
∴点O为切点
∴D'O⊥OD
∴∠DOA＝∠D'OA＝45°
∴△ADO为等腰直角三角形
∴点D的纵坐标为
∴抛物线的解析式为
②当时，
同理可得：
抛物线的解析式为
综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或（3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得
设点P的坐标为（x，y），且y＞0
①当点P在抛物线上时（如图2）
∵点B是⊙D的优弧上的一点
过点P作PE⊥x轴于点E
由解得：（舍去）
∴点P的坐标为
②当点P在抛物线上时（如图3）
同理可得，
由解得：（舍去）∴点P的坐标为
综上，存在满足条件的点P ，点P 的坐标为
或
13.（北京丰台）在直角坐标系中，⊙经过坐标原点O ，分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴
交于点A 、B 。

（1）如图，过点A 作⊙
的切线与y 轴交于点C ，点O 到直线AB 的距离为
123sin 55
ABC ∠=，，求直线AC 的解析
式； （2）若⊙经过点M （2，2），设
的内切圆的直径为d ，试判断d+AB 的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。

[解] （1）如图1，过O 作于G ，则
设
（3，0）
AB 是⊙的直径
切⊙于A ，
在
中
设直线AC 的解析式为
，则
x
直线AC 的解析式为
（2）结论：的值不会发生变化 设的内切圆分别切OA 、OB 、AB 于点P 、Q 、T ，如图2所示
图2
则
在x 轴上取一点N ，使AN=OB ，连接OM 、BM 、AM 、MN 平分
的值不会发生变化，其值为4。

14.（福建厦门）已知：O 是坐标原点，P （m ，n ）(m ＞0)是函数y ＝ k
x
(k ＞0)上的点，过
点P 作直线PA ⊥OP 于P ，直线PA 与x 轴的正半轴交于点A （a ，0）(a ＞m ). 设△OPA
的面积为s ，且s ＝1＋n 4
4.
（1）当n ＝1时，求点A 的坐标； （2）若OP ＝AP ，求k 的值；
(3 ) 设n 是小于20的整数，且k ≠n 4
2
，求OP 2的最小值.
[解] 过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，则PQ ＝n ，OQ ＝m
(1) 当n ＝1时， s ＝5
4
∴ a ＝2s n ＝52
(2) 解1： ∵ OP ＝AP PA ⊥OP ∴△OPA 是等腰直角三角形
∴ m ＝n ＝a
2
∴ 1＋n 44＝1
2
·an
即n 4－4n 2＋4＝0 ∴ k 2－4k ＋4＝0 ∴ k ＝2
解2：∵ OP ＝AP PA ⊥OP
∴△OPA 是等腰直角三角形 ∴ m ＝n
设△OPQ 的面积为s 1
则：s 1＝s
2
∴ 12·mn ＝12(1＋n 44
) 即：n 4－4n 2＋4＝0 ∴ k 2－4k ＋4＝0 ∴ k ＝2
(3) 解1：∵ PA ⊥OP ， PQ ⊥OA
∴ △OPQ ∽△OAP 设：△OPQ 的面积为s 1，则 s 1s ＝PO 2AO 2
即：12k 1＋n 44 ＝n 2
＋k 2
n
2
4 (1＋n 44
)2
n 2
化简得：2n 4＋2k 2－k n 4－4k ＝0
（k －2）（2k －n 4）＝0
∴k ＝2或k ＝n 4
2(舍去)
∴当n 是小于20的整数时，k ＝2.
∵ OP 2
＝n 2
＋m 2
＝n 2
＋k 2n
2
又m ＞0，k ＝2，
∴ n 是大于0且小于20的整数 当n ＝1时，OP 2＝5 当n ＝2时，OP 2＝5
当n ＝3时，OP 2＝32＋432＝9＋49＝85
9
当n 是大于3且小于20的整数时，
即当n ＝4、5、6、…、19时，OP 2得值分别是：
42＋442、52＋452、62＋462、…、192＋4192
∵192＋
4192＞182＋4182＞…＞3
2＋432
＞5 ∴ OP 2的最小值是5.
解2：
∵ OP 2＝n 2＋m 2＝n 2＋
k 2n 2
＝n 2＋
22n 2
＝(n －2
n )2 ＋4
当n ＝2
n
时，即当n ＝2时，OP 2最小；
又∵n 是整数，而当n ＝1时，OP 2＝5；n ＝2时，OP 2＝5 ∴ OP 2的最小值是5.
解3：∵ PA ⊥OP ， PQ ⊥OA ∴ △OPQ ∽△P AQ PQ QA ＝OQ PQ
n a －m ＝m
n
化简得：2n 4＋2k 2－k n 4－4k ＝0
（k －2）（2k －n 4）＝0
∴k ＝2或k ＝n 4
2(舍去)
解4：∵ PA ⊥OP ， PQ ⊥OA ∴ △OPQ ∽△P AQ s 1s －s 1＝OQ 2
PQ 2
化简得：2n 4＋2k 2－k n 4－4k ＝0
（k －2）（2k －n 4）＝0
∴k ＝2或k ＝n 4
2
(舍去)
解5：∵ PA ⊥OP ， PQ ⊥OA ∴ △OPQ ∽△OAP
∴ OP OA ＝OQ OP ∴ OP 2＝OQ ·OA
化简得：2n 4＋2k 2－k n 4－4k ＝0
（k －2）（2k －n 4）＝0
∴k ＝2或k ＝n 4
2
(舍去)
15.（湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O 是原点，A 、B 、C 三点的坐标分别为A （18，0），B （18，6），C （8，6），四边形OABC 是梯形，点P 、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

（1）求出直线OC 的解析式及经过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式。

（2）试在⑴中的抛物线上找一点D ，使得以O 、A 、D 为顶点的三角形与△AOC 全等，请直接写出点D 的坐标。

（3）设从出发起，运动了t 秒。

如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围。

（4）设从出发起，运动了t 秒。

当P 、
Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形
OABC 的周长的一半，这时，直线PQ
能否把梯形的面积也分成相等的两部
分，如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由。

[解] （1）∵O 、C 两点的坐标分别为O ()0,0，C ()6,8
设OC 的解析式为b kx y +=，将两点坐标代入得： 43=
k ，0=b ，∴x y 4
3= ∵A ，O 是x 轴上两点，故可设抛物线的解析式为()()180--=x x a y 再将C ()6,8代入得：40
3
-
=a ∴x x y 20
274032+-
= （2）D ()6,10
（3）当Q 在OC 上运动时，可设Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛m m 43,，依题意有：()2
2
2243t m m =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
∴t m 58=
，∴Q ⎪⎭
⎫
⎝⎛t t 56,58，()50≤≤t
当Q 在CB 上时，Q 点所走过的路程为t 2，∵OC ＝10，∴CQ ＝102-t ∴Q 点的横坐标为228102-=+-t t ，∴Q ()6,22-t ，()105≤<t
（4）∵梯形OABC 的周长为44，当Q 点OC 上时，P 运动的路程为t ，则Q 运动的路程为
()t -22
△OPQ 中，OP 边上的高为：()()5
32221,5
3
22⨯-=
⨯-∆t t t OPQ S 梯形OABC 的面积＝()846101821=⨯+，依题意有：()2
1
84532221⨯=⨯-t t
整理得：0140222
=+-t t ∵△＝01404222
<⨯-，∴这样的t 不存在 当Q 在BC 上时，Q 走过的路程为t -22，∴CQ 的长为：t t -=--121022 ∴梯形OCQP 的面积＝
()t t +--⨯1022621＝36≠84×2
1 ∴这样的t 值不存在
综上所述，不存在这样的t 值，使得P ，Q 两点同时平分梯形的周长和面积 16.（湖北荆门）已知：如图，抛物线m x x y +-=
3
32312与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB ＝90°，
（1）求m 的值及抛物线顶点坐标；
（2）过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式；
（3）在（2）条件下，设P 为¼CBD
上的动点（P 不与C 、D 重合），连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH·AP ＝k ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，
请说明理由.
[解] （1）由抛物线可知，点C 的坐标为（0，m ），且m ＜0.
设A （x 1，0），B （x 2，0）.则有x 1·x 2＝3m 又OC 是Rt △ABC 的斜边上的高，∴△AOC ∽△COB ∴
OB
OC
OC OA =
∴
2
1x m
m x -=--，即x 1·x 2＝－m 2 ∴－m 2＝3m ，解得 m ＝0 或m ＝－3
而m ＜0，故只能取m ＝－3 这时，
4)3(3
133323122--=--=
x x x y 故抛物线的顶点坐标为（3，－4）
（2）解法一：由已知可得：M （3，0），A （－3，0），B （33，0）， C （0,－3），D （0， 3）
∵抛物线的对称轴是x ＝3，也是⊙M 的对称轴，连结CE ∵DE 是⊙M 的直径，
∴∠DCE ＝90°，∴直线x ＝3，垂直平分CE ， ∴E 点的坐标为（23，－3）
∵
3
3
==OD OM OC OA ，∠AOC ＝∠DOM ＝90°， ∴∠ACO ＝∠MDO ＝30°，∴AC ∥DE ∵AC ⊥CB ，∴CB ⊥DE
又FG ⊥DE ， ∴FG ∥CB
由B （33，0）、C （0，－3）两点的坐标易求直线CB 的解析式为：
y ＝
x 3
3
－3 可设直线FG 的解析式为y ＝
x 3
3
＋n ，把（23，－3）代入求得n ＝－5 故直线FG 的解析式为y ＝
x 3
3
－5 解法二：令y ＝0，解
x x 3
32312-－3＝0得 x 1＝－3，x 2＝33
即A （－3，0），B （33，0）
根据圆的对称性，易知：：⊙M 半径为23， M （3，0） 在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝33，，OC ＝3 ∴∠CBO ＝30°，同理，∠ODM ＝30°。

而∠BME ＝∠DMO ，∠DOM ＝90°，∴DE ⊥BC ∵DE ⊥FG ， ∴BC ∥FG ∴∠EFM ＝∠CBO ＝30°
在Rt △EFM 中，∠MEF ＝90°，ME ＝23，∠FEM ＝30°，
∴MF ＝43，∴OF ＝OM ＋MF ＝53， ∴F 点的坐标为（53，0）
在Rt △OFG 中，OG ＝OF·tan30°＝53×3
3
＝5 ∴G 点的坐标为（0，－5） ∴直线 FG 的解析式为y ＝
x 3
3
－5 （3）解法一：
存在常数k ＝12，满足AH·AP ＝12 连结CP
由垂径定理可知⋂
⋂
=AC AD ， ∴∠P ＝∠ACH
（或利用∠P ＝∠ABC ＝∠ACO ） 又∵∠CAH ＝∠PAC ， ∴△ACH ∽△APC ∴
AC
AP
AH AC =
即AC 2＝AH·AP 在Rt △AOC 中，AC 2＝AO 2＋OC 2
（或利用AC 2＝AO·AB ＝3×43＝12 ∴AH·AP ＝12
解法二：
存在常数k ＝12，满足AH·AP ＝12 设AH ＝x ，AP ＝y 由相交弦定理得HD·HC ＝AH·HP 即)()33)(33(2x y x x x -=-+--
化简得：xy ＝12 即 AH·AP ＝12。