【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.6正、余弦定理及其应用举例

4.6 正、余弦定理及其应用举例
考纲要求
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．
3．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 4．方向角
相对于某一方向的水平角(如图③)．
图③
(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°. (3)其他方向角类似．
5．坡角和坡比
坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．
图④
坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．
1．(2012某某高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( )．
A ．43
B ．23C.3D.3
2
2．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c
(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )． A ．等边三角形B ．直角三角形
C ．等腰三角形或直角三角形
D ．等腰直角三角形
3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )．
A ．5海里/时
B ．5 3 海里/时
C ．10海里/时
D ．10 3 海里/时
4．如图，为了测量隧道AB 的长度，给定下列四组数据，无法求出AB 长度的是( )．
A ．α，a ，b
B ．α，β，a
C ．a ，b ，γ
D ．α，β，γ
5．△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝__________.
一、利用正弦、余弦定理解三角形
【例1－1】 (2012某某高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．
(1)求cos B 的值；
(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．
【例1－2】 △ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B
cos A ＋cos B
，sin(B
－A )＝cos C .
(1)求A ，C ；
(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c . 方法提炼
应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．
＜b sin ＝b sin sin A ＜a ＜a ≥b a ＞b a ≤b 无解 一解 两解
一解 一解 无解二、三角形形状的判定
【例2－1】 △ABC 满足sin B ＝cos A sin C ，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形 【例2－2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .
(1)求A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 方法提炼
判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的X 围对三角函数值的影响．
提醒：1.在△ABC 中有如下结论sin A ＞sin B a ＞b .
2．当b 2＋c 2－a 2
＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；
当b 2＋c 2－a 2
＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形；
3．当b 2＋c 2－a 2
＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形． 请做演练巩固提升2
三、与三角形面积有关的问题
【例3】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π
3.
(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；
(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 方法提炼
1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要
交替使用；在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2
ac sin B 最常用，因
为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．
2．解三角形过程中，要注意三角恒等变换公式的应用． 请做演练巩固提升5
四、应用举例、生活中的解三角形问题
【例4－1】 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．
【例4－2】 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．
方法提炼
1．测量距离问题，需注意以下几点：
(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型；
(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解； (3)应用题要注意作答． 2．测量高度时，需注意：
(1) 要准确理解仰、俯角的概念；
(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理； (3)注意铅垂线垂直于地面构成的直角三角形．
3．测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图是关键． 请做演练巩固提升6
忽视三角形中的边角条件而致误
【典例】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．
错解：由1＋2cos(B ＋C )＝0，知cos A ＝1
2
，
∴A ＝π3
.
根据正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝2
2
，
∴B ＝π4或3π4
.
以下解答过程略．
错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 正解：∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ，
又∵1＋2cos(B ＋C )＝0，∴1－2cos A ＝0，∴A ＝π
3
.
在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝b
sin B
，得sin B ＝
b sin A a ＝2
2
. ∴B ＝π4或3π4
.
∵a ＞b ，∴B ＝π
4.
∴C ＝π－(A ＋B )＝5
12
π.
∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ＝22×12＋22×32＝6＋2
4
. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋1
2
. 答题指导：
1．考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件．
2．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件．
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )．
A ．－12
B ．1
2
C ．－1
D ．1
2．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且a cos B ＝b cos A ，则△ABC 的形状为__________．
3．(2012某某高考)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝__________.
4．(2012某某高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π
6
，
c ＝23，则b ＝______.
5．(2012某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .
(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；
(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .
6．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1.
a
sin A
＝
b
sin B
＝
c
sin C
b 2＋
c 2－2bc ·cos Ac 2＋a 2－2ca ·cos Ba 2＋b 2－2ab ·cos C
①2R sin A 2R sin B 2R sin C ②a 2R b 2R c 2R ③sin A ∶sin B ∶sin C
b 2＋
c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 2
2ca
a 2＋
b 2－c
22ab
2．上方 下方 基础自测
1．B 解析：由正弦定理得BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC
sin 45°，解得AC ＝2 3.
2．B 解析：∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ， ∴2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1， ∴cos B ＝a c ，
∴a 2＋c 2
－b 22ac ＝a c
，∴c 2＝a 2＋b 2.
3．C 解析：如图，A ，B 为灯塔，船从O 航行到O ′，
OO ′
BO ＝tan 30°， OO ′
AO
＝tan 15°，∴BO ＝3OO ′， AO ＝(2＋3)OO ′. ∵AO －BO ＝AB ＝10，
∴OO ′·[(2＋3)－3]＝10，∴OO ′＝5，
∴船的速度为5
12
＝10海里/时．
4．D 解析：利用余弦定理，可由a ，b ，γ或α，a ，b 求出AB ；利用正弦定理，可由a ，α，β求出AB ，
当只知α，β，γ时，无法计算AB .
5．23解析：由cos C ＝13，得sin C ＝22
3，
∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×b ×22
3
＝43.∴b ＝2 3.
考点探究突破
【例1－1】 解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12
. (2)方法一：
由已知b 2
＝ac ，及cos B ＝12，
根据正弦定理得sin 2
B ＝sin A sin
C ，所以
sin A sin C ＝1－cos 2
B ＝34
.
方法二：
由已知b 2
＝ac ，及cos B ＝12，
根据余弦定理得cos B ＝a 2
＋c 2－ac
2ac
，解得a ＝c ，所以B ＝A ＝C ＝60°，故sin A sin C
＝34
. 【例1－2】 解：(1)因为tan C ＝sin A ＋sin B
cos A ＋cos B
，
即sin C cos C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B
， 所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ， 即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ， 得sin(C －A )＝sin(B －C )．
所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，
即2C ＝A ＋B ，得C ＝π
3
，
所以B ＋A ＝2π
3.
又因为sin(B －A )＝cos C ＝1
2
，
则B －A ＝π6或B －A ＝5π
6(舍去)，
得A ＝π4，B ＝5π12
.
(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋3，又a sin A ＝c sin C ，即a 22＝c 3
2，
得a ＝22，c ＝2 3.
【例2－1】 A 解析：∵sin B ＝cos A ·sin C ，
∴b ＝b 2＋c 2－a 22bc
·c .∴b 2＋a 2＝c 2
.
∴△ABC 为直角三角形，选A.
【例2－2】 解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2
＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，
即a 2＝b 2＋c 2
＋bc .①
由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A ，
故cos A ＝－1
2，A ＝120°.
(2)由①得，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2
C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，
故sin B ＝sin C ＝1
2
.
因为0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰钝角三角形．
【例3】 解：(1)由余弦定理及已知条件，
得a 2＋b 2
－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，
所以1
2
ab sin C ＝3，得ab ＝4.
联立方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 2
＋b 2
－ab ＝4，ab ＝4，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝2.
(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .
当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝23
3
.
所以△ABC 的面积 S ＝12ab sin C ＝12×433×233×32＝233； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理得b ＝2a ，
联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2－ab ＝4，
b ＝2a .
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝
233，b ＝433.
所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×233×433×32＝233
.
综上知，△ABC 的面积为23
3
.
【例4－1】 解：依题意画出图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B 到测试点的距离最短，即BE ⊥CD 时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB ＝AB BE
，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．
在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°. 由正弦定理，得
CD
sin∠DBC ＝
BD
sin∠BCD
，
∴BD ＝40sin 30°sin 135°
＝20 2.
在Rt△BED 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，
BE ＝BD sin 15°＝202×6－2
4
＝10(3－1)．
在Rt△ABE 中，∠AEB ＝30°，
∴AB ＝BE tan 30°＝10
3(3－3)(米)．
∴所求的塔高为10
3
(3－3)米．
【例4－2】 解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .
DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702
＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，
EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理，
cos∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 2
2DE ×EF
＝1302
＋1502
－102
×2982×130×150＝1665
.
演练巩固提升
1．D 解析：根据正弦定理
a sin A ＝b
sin B
＝2R 得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴a cos A ＝b sin B 可化为sin A cos A ＝sin 2
B .
∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2
B ＝1.
2．等边三角形 解析：∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，
∴(a ＋b )2－c 2
＝3ab . ∴a 2＋b 2－c 2
＝ab .
∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2
.
∴C ＝π3
.
∵a cos B ＝b cos A ，
∴sin A cos B ＝sin B cos A . ∴sin(A －B )＝0. ∴A ＝B .
故△ABC 为等边三角形． 3.2解析：如图：
由正弦定理得AC sin B ＝BC
sin A ，
即
AC
sin 45°＝3sin 60°，即AC 22＝3
3
2
，
故AC ＝ 2.
4．2 解析：∵b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×
3
2
＝4， ∴b ＝2.
5．(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，
所以sin B ⎝ ⎛⎭⎪
⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C
，
因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C ， 又A ＋B ＋C ＝π，
所以sin(A ＋C )＝sin B ，
因此sin 2
B ＝sin A sin
C .
由正弦定理得b 2
＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列． (2)解：因为a ＝1，c ＝2，
所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－(2)22×1×2＝3
4
，
因为0＜B ＜π，
所以sin B ＝1－cos 2
B ＝74
，
故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝7
4
.
6．解：(1)解法一：设相遇时小艇的航行距离为s 海里，则s ＝
900t 2
＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)
＝900t 2
－600t ＋400
＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132
＋300.
故当t ＝13时，s min ＝103，v ＝103
1
3
＝30 3.
即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，如图，设小艇与轮船在C 处相遇．
在Rt△OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10. 又AC ＝30t ，OC ＝vt ，
此时，轮船航行时间t ＝10
30＝13，v ＝103
1
3
＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，
相遇时小艇的航行距离最小．
(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意，可得(vt )2＝202＋(30t )2
－2·20·30t ·cos(90°－30°)．
化简，得v 2
＝400t 2－600t ＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675.
由于0＜t ≤12，即1
t ≥2，
所以当1
t
＝2时，v 取得最小值1013，
即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。