电力系统稳态分析部分习题答案

电力系统稳态分析部分习题答案
第一章电力系统的基本概念
1-2 电力系统的部分接线示与图1-2，各电压级的额定电压及功率输送方向已标明在图中。

题图1-2 系统接线图
试求：
（1）发电机及各变压器高、低压绕组的额定电压；
（2）各变压器的额定变比；
（3）当变压器T-1工作于+5%抽头，T-2、T-4工作于主轴头，T-3工作于—2.5%轴头时，各变压器的实际比？
解（1）发电机及各变压器高、低压绕组的额定电压。

发电机：V GN=10.5KV,比同电压级网络的额定电压高5%。

对于变压器的各侧绕组，将依其电压级别从高到低赋以标号1、2和3。

变压器T-1为升压变压器：V N2=10.5KV，等于发电机额定电压；V N1=242KV，比同电压级网络的额定电压高10%。

变压器T-2为将压变压器：V N2=121KV和V N3=38.5KV，分别比同电压级网络的额定电压高10%。

同理，变压器T-3：V N1=35KV和V N2=11KV。

变压器T-4：V N1=220KV和V N2=121KV
（2）各变压器的额定变比。

以比较高的电压作为分子。

T-1：k TN1=242/10.5=23.048
T-2：k T2N(1-2)=220/121=1.818
k T2N(1-3)=220/38.5=5.714
k T1N(2-3)= 121/38.5=3.143
T-3：k T3N=35/11=3.182
T-4：k T4N=220/121=1.818
（3）各变压器的实际比。

各变压器的实际变比为两侧运行时实际整定的抽头额定电压之比。

T-1：k T1 =(1＋0.05)×242/10.5=24.3
T-2：k T2(1-2)=220/121=1.818
k T2(1-3)=220/38.5=3.143
k T2(2-3)=121/38.5=3.143
T-3：k T3 =(1—0.025)×35/11=3.102
T-4：k T3 =220/110=2
1-3电力系统的部分接线如题图1-3所示，网络的额定电压已在图中标明。

试求：
（1）发电机，电动机及变压器高、中、低压绕组的额定电压；
（2）当变压器T-1高压侧工作于+2.5%抽头，中压侧工作于+5%抽头；T-2工作于额定抽头；T-3工作于—2.5%抽头时，各变压器的实际变比；
题图 1-3 系统接线图 解 （1）发电机、电动机及变压器高、中、低压绕组额定电压。

（a ）发电机：网络无此电压等级，此电压为发电机专用额定电压，故V GN =13.8KV 。

（b ）变压器T-1：一次侧与发电机直接连接，故其额定电压等于发电机额定电压；二次侧额定电压高于网络额定电压10%，故T-1的额定电压为121/38.5/13.8KV 。

（C ）变压器T-2：一次侧额定电压等于网络额定电压，二次侧额定电压高于网络额定电压10%，故T-2的额定电压为35/11KV 。

（d ）变压器T-3：一次侧额定电压等于网络额定电压，二次侧与负荷直接连接，其额定电压高于网络额定电压5%，因此T-3的额定电压为10/[（1+0.05）×0.38]KV=10/0.4KV 。

（e ）电动机：其额定电压等于网络额定电压V MN =0.38KV 。

（2）各变压器的实际变比为
T-1：k T1(1-2)=（1+0.025）×121/[（1+0.05）×38.5]=3.068
k T1(1-2)=（1+0.025）×121/13.8=8.987 k T1(1-2)=（1+0.025）×38.5/13.8=2.929 T-2：k T2=35/11=3.182
T-3：k T3 =(1—0.025)×10/0.4=24.375
第二章 电力网络元件的等值电路和参数设计
2-1 110KV 架空线路长70KM ，导线采用LG-120型钢芯铝线，计算半径r=7.6mm,相间距离为3.3M ，导线分别按等边三角形和水平排列，试计算输电线路的等值电路参数，并比较分析排列方式对参数的影响。

解 取Ds=0.8r.
（1）导线按三角形排列时
Deq=D=3.3m
Ω=⨯===375.18120/705.31/0s l l r R ρ
Ω
=Ω⨯⨯⨯=⨯==66.276.78.01000
3.3lg
1445.070lg
1445.00S
eq D D l l x X
S S S r D l l b B eq 466010012.2106.71000
3.3lg 70
58.710lg
58.7---⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=
=
（2）导线按水平排列时
V GN =13.8KV
S r
D l l b B D D l l x X R m m D D eq S
eq eq 4660010938.1106.71000
158.4lg 70
58.710lg
85.7676.286
.78.01000
158.4lg
1445.070lg 1445.0375.18158.43.326.126.1---⨯=⨯⨯=⨯⨯=
=Ω
=Ω⨯⨯⨯=⨯==Ω==⨯==
2-3 500KV 输电线路长600Km ，采用三分裂导线3×LGJQ-400，分裂间距为400mm ，三相水平排列，相间距离为11m,LGJQ-400导线的计算半径r=13.6mm 。

试计算输电线路的参数：
（1）不计线路参数的分布特性； （2）近似计及分布特性； （3）精确计及分布特性。

并对三种条件计算所得结果进行比较分析。

解 先计算输电线路单位长度的参数，查得LGJQ-400型导线的计算半径r =13.6mm 。

单根导线的自几何均距
mm mm r D S 88.106.138.08.0=⨯== 分裂导线的自几何均距
mm mm d D D S sb 296.12040088.10323
2=⨯== 分裂导线的等值计算半径
mm mm rd r eq
584.1294006.133
232=⨯== 相间几何均距
km S km S r D b km
km D D x km
km S r m
m D D eq
eq Sb eq eq /10735.3/10584.1291000
86.13lg 58.710lg
58.7/298.0/296
.1201000
86.13lg 1445.0lg 1445.0/02625.0/400
35
.31386.131126.126.1666000---⨯=⨯⨯=⨯=
Ω=Ω⨯=Ω=Ω⨯=
=
=⨯==ρ
（1）不计线路参数的分布特性。

S l b B l x X l r R 4
6
0001041.2260010735.38.178600298.075.1560002625.0--⨯=Ω⨯⨯==Ω
=Ω⨯==Ω=Ω⨯== （2）近似计算及分布特性，即采用修正系数计算。

9337
.0600)296
.010735.302625.010735.3298.0(611)(6118664
.060010735.3298.031
131126
2
6200200026200=⨯⨯⨯-⨯⨯-=⨯--==⨯⨯⨯⨯-=-=---l x b
r b x k l b x k x r S
S l b k B l x k X l r k R l b x k b x r b 460002620010158.2360010735.30334.1946.166600298.09337.0646.1360002625.08664.00334
.160010735.3298.012
1
11211---⨯=⨯⨯==Ω=Ω⨯⨯==Ω
=Ω⨯⨯===⨯⨯⨯+=+=
（3）精确计算及分布特性。

传播常数：
km
j km km
j j jx r jb g j /1)10056.1106419.4(/1483.8710
057.1/1)298.002625.0(10735.3))((3503
60000⨯+⨯=∠⨯=+⨯⨯=
++=+=---αβγ
波阻抗：
jy
x j l j j jb g jx r Z C +=+=∠=⨯∠⨯=Ω-∠=Ω⨯+=++=
--6336.002785.0483.876342.0600483.8710057.1517.201.28310
735.3298.002625.0)()(0
030
6
0000γ
利用公式
y j c h x y s h x jy x sh sin cos )(+=+ y jchx y chx jy x ch sin cos )(+=+
以及 )(21x x e e sh --=
，)(21
x x e e ch -+=，将jy x l +=γ的值代入
829.8759266.059233.002245.0)
6336.0sin()02785.0()6336.0cos()02785.0()6336.002785.0(∠=+=+=+=j jch sh j sh l sh γ0
1717.180638.001649.080621.0)6336.0sin()02785.0()6336.0cos()02785.0()6336.002785.0(∠=+=+=+=j jsh ch j ch l ch γS j S j Z l ch Y j l sh Z Z C )1019.2310124.7(312
.85729.167]
101649.080621.0[2]1)([2)169.167708.13(312.85729.167829.8759266.0517.201.283)(460
000--⨯+⨯=∠-+⨯=-⨯=
Ω+=Ω∠=Ω∠⨯-∠==γγ（4）三种算法中，后两种算法差别不大（除Y 增加了一个微小的G 之外），说明
修正系数法计算量小，并能保证在本题所给的输电距离内有足够的精度。

2-5 型号为SFS-40000/220的三相三绕组变压器，容量比为100/100/100，额定比为220/38.5/11，查得△P 0=46.8kw,I 0=0.9%,△P S(1-2)=217KW,△P S(1-3)=200.7KW,△P S(2-3)=158.6KW, V S(1-2)=17%,V S(1-3)=10.5%,V S(2-3)=6%。

试求该算到高压侧的变压器参数有名值。

解 （1）各绕组的等值电阻
KW KW P P P P S S S S 55.129)6.1587.200217(21
)(21)32()31()21(1=-+=∆-∆+∆=
∆---KW
KW P P P P S S S S 45.87)7.2006.158217(21
)(21)31()32()21(2=-+=∆-∆+∆=∆---KW
KW P P P P S S S S 15.71)2176.1587.200(2
1
)(21)21()32()31(3=-+=∆-∆+∆=∆---Ω=Ω⨯⨯=⨯∆=919.3104000022055.129103
2
2322
11N
N S S V P R
Ω=Ω⨯⨯=⨯∆=
645.2104000022045.87103
2
23
2
2
22N N
S S V P R
或 Ω
=Ω⨯=∆∆=645.255.12945
.87919.31212S S P P R R Ω
=Ω⨯=∆∆=152.255.12915
.71919.31313S S P P R R
（2）各绕组的等值电抗
75.10)65.1017(21
%)%%(21%)32()31()21(1=-+=-+=
---S S S S V V V V 25
.6)5.10617(21
%)%%(21%)31()32()21(2=-+=-+=---S S S S V V V V 25
.0)1765.10(21
%)%%(21%)21()32()31(3-=-+=-+=---S S S S V V V V
Ω
=Ω⨯=⨯⨯=075.130104000022010075.1010100%323
2
11N N S S V V X
Ω
=Ω⨯=⨯=625.7575.1025
.6075.130%%1212S S V V X X
Ω-=Ω-⨯=⨯
=025.375.1025
.0075.130%%1313S S V V X X
（3）变压器的导纳
S S V P G N
T 7
32
32
10669.9102208.4610---⨯=⨯=
⨯∆=
S S V S I B N N T 7
32
3201038.7410220400001009.010100%---⨯=⨯⨯=⨯⨯=
2-6 一台SFSL-34500/110型三绕组变压器，额定变比为110/38.5/11，容量比为
100/100/66.7，空载损耗80KW ，激磁功率850kvar,短路损耗
KW P S 450)21(=∆-，KW P S 270)32(=∆-，KW P S 240)31(=∆-，短路电压%5.11)
21(=-S V ，%5.8)32(=-S V
%21)
31(=-S V ，试计算变压器归算到各电压及的参数。

解 （1）归算到110KV 侧参数
S S V P G N
T 632
32
010612.61011080
10---⨯=⨯=
⨯∆=
S S V Q B N
T 632
320
10248.7010110850
10---⨯=⨯=
⨯∆=
KW
KW S S P P N N S S 450)100100(450)(2
22)21(')21(=⨯=⨯∆=∆**-- KW
KW S S P P N N S S 46.539)7.66100(240)(2
23)31(')31(=⨯=⨯∆=∆**-- KW
KW S S P P N N S S 89.606)7.66100(270)(2
232)32(')32(=⨯=⨯∆=∆**--
KW
KW P P P P S S S S 285.191)89.60646.539450(2
1
)(21)32()31()21(1=-+=∆-∆+∆=∆---
KW KW P P P P S S S S 715.258)46.53989.606450(2
1
)(21)31()32()21(2=-+=∆-∆+∆=
∆---KW
KW
P P P P S S S S 175.348)45089.60646.539(21
)(21)21()32()31(3=-+=∆-∆+∆=∆---
Ω=Ω⨯⨯=⨯∆=333.21031500110285.19110S V P 32
23
2N
2
N S11R
Ω
=Ω⨯=∆∆⨯=155.3285.191715
.258333.2P P R S1S212R Ω=Ω⨯=∆∆⨯
=246.4258.715348.175
155.3P P R S2S323R 025
.12)5.82155.11(21
%)%%(21%)32()31()21(1=-+=-+=---S S S S V V V V 475
.0)215.855.11(21
%)%%(21%)31()32()21(2-=-+=-+=---S S S S V V V V 975
.8)55.115.821(21
%)%%(21%)21()32()31(3=-+=-+=---S S S S V V V V
Ω=Ω⨯⨯=⨯⨯=191
.461031500110100025.1210100%323
2
11N N S S V V X
Ω
-=Ω-⨯=⨯=825.1025.12475
.0191.46%%1212S S V V X X Ω
=Ω⨯=⨯=475.34025.12975
.8191.46%%1313S S V V X X
（2）归算到35KV 侧的参数
S S V V G G N N T T 62
6221)110(10971.53)5.38110(10612.6)(
--⨯=⨯⨯=⨯=
S S V V B B N N T T 62
6221)110(10453.573)5.38110(10248.70)(--⨯=⨯⨯=⨯= Ω
=Ω⨯=⨯=286.0)1105.38(333.2)(2
212)110(11N N V V R R Ω
=Ω⨯=⨯=386.0)1105.38(155.3)(2
212)110(22N N V V R R
Ω=Ω⨯=⨯=520.0)1105.38(246.4)(
2
212)110(33N N V V R R
Ω=Ω⨯=⨯=658.5)1105.38(191.46)(2
212)110(11N N V V X X Ω
-=Ω⨯-=⨯=224.0)1105.38(825.1)(2
212)110(22N N V V X X Ω=Ω⨯=⨯=223.4)1105.38(475.34)(
2
212)110(33N N V V X X
（3）归算到10KV 侧的参数
S S V V G G N N T T 62
6231)110(102.661)11110(10612.6)(
--⨯=⨯⨯=⨯=
S S V V B B N N T T 62
6231)110(108.7024)11110(10248.70)(
--⨯=⨯⨯=⨯=
Ω=Ω⨯=⨯=0233.0)11011(333.2)(
2
213)110(11N N V V R R Ω
=Ω⨯=⨯=0316.0)11011(155.3)(2
213)110(22N N V V R R Ω
=Ω⨯=⨯=0425.0)11011(246.4)(2
213)110(33N N V V R R Ω=Ω⨯=⨯=462.0)11011(191.46)(
2
213)110(11N N V V X X Ω-=Ω⨯-=⨯=0183
.0)11011(825.1)(2
213)110(22N N V V X X Ω
=Ω⨯=⨯=345.0)11011(475.34)(2
213)110(33N N V V X X
2-8 一台三相双绕组变压器，已知：A KV S N ⋅=31500，11/220=TN K ，KW P 590=∆，%5.30=I ，KW P S 208=∆，%14=S V 。

（1）计算归算到高压侧的参数有名值； （2）做出Ⅱ型等值电路并计算其参数；
（3）当高压侧运行电压为210KV ，变压器通过额定电流，功率因数为0.8时，忽略励磁电流，计算Ⅱ型等值电路各支路的电流及低压侧的实际电压，并说明不含磁耦合关系得Ⅱ型等值电路是怎样起到变压器作用的。

解 （1）计算归算到高压侧的参数有名值
Ω=Ω⨯⨯=⨯⨯=Ω=Ω⨯⨯=⨯∆=
⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯=⨯=
⨯∆=-------111
.21510315002201001410100%146.101031500
22020810
10779.2210220315001005.310100%10219.110220
59
10323
2
3
2
23
22
6
32
320632
32
0N N S T N
N S T N N T N
T S V V X S V P R S S V S I B S S V P G
（2）做出Ⅱ型等值电路并计算其参数。

Ⅱ型等值电路如题图2-8（a ）所示。

（a ） (b)
题图2-8变压器的Ⅱ型等效电路
Ω
∠=Ω+=Ω-+=-=Ω
--=Ω-+=-=Ω
+=Ω+==Ω+=+====
020*******.875667.0)566.0027.0()120(20111
.215146.10)1()322.11534.0(20
1111
.215146.101)756.10507.0(20111.215146.10)111.215146.10(,2011220
j j k k Z Z j j k Z Z j j k Z Z j jX R Z V V k T T T T T T T T T T T T N N T
（3）已知高压侧电压为210KV ，相电压为KV KV 244.1213/210=，取其为参
考
电
压
，
即
KV V 01
0244.121∠= 。

忽略励磁
电流，
A
A V S I I N
N N 666.82220
33150031=⨯=
=
=。

已知8.0cos =ϕ，有6.0s
i n ,87.360
==ϕϕ V V j j Z I V V A A j A j j I I I A j A A j Z V I A j A I O T 0
12
1212011
11233010111
01
148.7257.5535)]756.10507.0()73.10734033.570(121244[96.8685.10749)73.10734033.570()]13.106859.503()6.49133.66[()13.106859.503(7.9210697.1010322.11534.00244.121)6.49133.66(87.36666.82-∠=+⨯--=-=-∠=-=+---=-=+-=∠⨯=⨯--∠==-=-∠=
B T
T T
T k Z Z -=
110
)
1(20-=
T T T
T k k Z Z
G T
Z 12=Z T =R G T +j
1I
1V
12I 2I 0
I
11I
12I
2V 1V 12I 0
I 2V '
线电压V V V L 346.9587257.55353)(2=⨯=，或KV
V L 5874.9)(2=。

（4）由于Ⅱ型等值电路的三个阻抗Z 12，Z T10，Z T20都与变压器的变比有关，且
]566.0027.0)322.11534.0(756.10507.0[201012=Ω++--++=++=∑j j j Z Z Z Z T T 构成谐振三角形，这个谐振三角形在原副防电压差作用下产生很大的顺时针方向的感性环流（实际上Z T10为既发有功，又发无功的电源），这一感性环流流过Z 12产生了巨大的电压降纵分量，从而完成了原、副方之间的电压变换。

20
08.20666.82005.1660896.36005.1660)618.996543.1327()112.973851.757()73.10734033.570()112.973851.757(448.9453.97673.875667.0148.7257.5535022
12200
020222≈==-∠=-=----=-=--=-∠=∠-∠==T T k A
A j A j j I I I A j A A Z V I
（5）与不用Ⅱ型等值电路比较，同样忽略励磁电流，其等值电路如题图2-8(b)所示由
上已知
V V j V j j Z I V V V V A j A I I j Z T
T 0
121200121117.791.110756)694.1372251.109903()]111.215146.10()6.49133.66(121244[0121244)6.49133.66(87.36666.82)111.215146.10(-∠=-=+⨯--=-='∠=-=-∠==Ω+=
归算到二次测
V V V V V V N N 0
0122
2117.7846.5537117.720
91.110756-∠=-∠=⨯'= 线电压V V V L 8.9591846.55373)(2=⨯=
或 KV V 5918.92=
A A k I I T 32.165320666.82122=⨯==
第三章 电力网络的数学模型
3-1 系统接线示于图3-1，已知各元件参数如下：
发电机G-1：23.0,120=''⋅=d N x A MV S ；G-2：14.0,60=''⋅=d N x A MV S 。

变压器T-1：%5.10,120=⋅=S N V A MV S ；T-2：%5.10,60=⋅=S N V A MV S 。

线路参数：km S b km x /10
8.2,/4.06
11-⨯=Ω=。

线路长度L-1：80KM ，L-3：70KM 。

取av B B V V A MV S =⋅=,120，试求标幺制下的节点导纳矩阵。

)1(20-=
T T T
T k k Z Z
图3-1 系统接线图
解：选av B B V V A MV S =⋅=,120，采用标幺参数的近似算法 ，即忽略各元件的额定电压和相应电压级的V aV 的差别，并认为所有变压器的标幺变比等于1。

Ω=⨯=⨯=
105.0120120
1005.10100%11N T B S T S S V X Ω=⨯=⨯=
21.060120
1005.10100%22N T B S T S S V X
43554.0115120
1204.02
2
1
11=⨯
⨯==av
B L V S L X X
01852
.0120115120108.221212126
2
11=⨯⨯⨯⨯==-B av L S V bl B
23.012012023.0111=⨯=''="N G B dG d S S x X 28.06012014.0222=⨯=''="N G B dG d S S x X 2904
.012080
43554.01212=⨯==l l X X l l
01235.012080
01852.021211212=⨯==l l B B l L
2541.012070
43554.0131
3=⨯==l l X X l l 0108
.012070
01852.021211313=⨯==l l B B l l
（2）计算各支路导纳。

3478.423.011110j j X j y d -=-=''=
7514
.328.011220
j j X j y d -=-=''=
524.9105.011113j j jX y T -=-==
762
.421.01
1224j j jX y T -=-== 296
.243554.01
1134j j jX y l -=-== 444
.32904.01
1235j j jX y l -=-== 936
.32541.01
1345j j jX y l -=-== 03087
.0)01235.001852.0(21
212130j j B j B j y l l =+=+=
02932.0)0108.001852.0(21
21
3140j j B j
B j y l l =+=+=
02315.0)0108.001235.0(21
2
1
3250
j j B j B j y l l =+=+
=
（3）计算导纳矩阵元素。

（a ）对角元
872.13524.93478.4131011j j j y y Y -=--=+=
333.8762.45714
.3242022j j j y y Y -=--=+= 233.15444.3296.2524.903087.0353*******j j j j j y y y y Y -=---=+++= 965.10936.3296.2762.402932.0454*******j j j j j y y y y Y -=---=+++= 357.7936.3444.302315.054535055j j j j y y y Y -=--=++=
(b)非对角元
524.9,0.01331132112j y Y Y Y Y =-==== 0.0,0.051154114====Y Y Y Y 762.4244224j y Y Y =-==
296.2344334j y Y Y =-==，444.3355335j y Y Y =-== 936.3455445j y Y Y =-== 导纳矩阵如下
3-2 对题图4-1所示电力系统，试就下列两种情况分别修改节点导纳矩阵：（1）节点5发生三相短路；（2）线路L-3中点发生三相短路。

解 （1）因为在节点5发生三相短路，相当于节点5电位为零，因此将原节点Y 矩阵划去第5行和第5列，矩阵降为4阶，其余元素不变。

（2）把线路L-3分成两半，做成两个Ⅱ型等值电路，线路电抗减少一半，其支路导纳增大一倍，线路并联电纳则减少一半，并且分别成为节点4、5的对地导纳支路因而节点4、5之间已无直接联系。

节点导纳矩阵的阶数不变，应修改的元素为
906.140108.0936.3965.1021
3454444
j j j j B j y Y Y l -=---=-+=' 298.110108.0936.3357.721
3455555
j j j j B j y Y Y l -=---=-+='
0.05445
='='Y Y 其余元素不变。

3-3 在题图4-3的网络图中，已给出支路阻抗的标幺值和节点编号，试用支路追加法求节点阻抗矩阵。

题图3-3 4节点网络 解 先追加树枝。

（1）追加0-1支路：Z 11=z 10=-j10.
（2）追加1-2支路，矩阵增加一阶，为二阶矩阵，其元素为 10,10211211j Z Z j Z -==-=
713110121122j j j z Z Z -=++-=+=
（3）追加1-3支路，矩阵增加一阶为三阶矩阵，原二阶矩阵个元素不变，新增元素为
10113113j Z Z Z -===，10113223j Z Z Z -===
9110131133j j j Z Z Z -=+-=+=
（4）追加1-4支路，矩阵又增加一阶，为四阶矩阵，原三阶矩阵元素不变，新增元素为
10114114j Z Z Z -=== 10114224j Z Z Z -=== 10114334j Z Z Z -===
8210141144j j j Z Z Z -=+-=+=
（5）追加连枝3-4支路，矩阵阶数不变。

根据网络的结构特点，单独在节点1（或节点2）上注入电流时，连枝3-4的接入改变网络中原有的电流和电压分布。

因此，阻抗矩阵中的第1、2列的全部元素都不必修改。

需要修改的是第3、4行与第3、4列交叉处的4个元素，其修改如下
167
.9310289)
109)(109(92)
)((34
344433433334333333j j j j j j j j j j z Z Z Z Z Z Z Z Z Z -=+⨯+--+-+--
-=+-+---=' 667
.8310289)
810)(810(92)
)((34
344433443444434444
j j j j j j j j j j z Z Z Z Z Z Z Z Z Z -=+⨯+--+-+--
-=+-+---='
667
.9310289)
810)(109(92)
)((34
34443344343433344334
j j j j j j j j j j z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z -=+⨯+--+-+---=+-+---='='
用支路追加法求得的节点阻抗矩阵如下
3-6 题图3-6所示为一5节点网络，已知各支路阻抗标幺值及节点编号顺序。

（1）形成节点导纳矩阵Y ； （2）对Y 矩阵进行LDU 分解；
（3）计算与节点4对应的一列阻抗矩阵元素。

图3-6 5节点网络
解（1）形成节点导纳矩阵
3333.53.015.0111j j j Y -=+=
，0.041142112====Y Y Y Y
25.013113j j Y Y =-
==，3333.33.01
1551j j Y Y =-== 0.52.0122j j Y -==，0
.52.01
3223j j Y Y =-== 0.052254114====Y Y Y Y 1667
.164.01
15.015.012.0133j j j j j Y -=+++=
6667.615.014334j j Y Y =-==，5
.24.01
5335j j Y Y =-==
6667.1025.0115.0144j j j Y -=+=
，0.425.015445j j Y Y =-== 8333
.103.014.0125.010.1155j j j j j Y -=+++= 于是可得节点导纳矩阵
（2）对Y 矩阵进行LDU 分解
3333.51111j Y d -==，0.012=u ，0.014=u 3750.0)3333.5/(0.2/111313-=-==j j d Y u 6250.0)3333.5/(3333.3/111515-=-==j j d Y u
0.5/112
122222j d u Y d -=-=，0.1)0.5/(0.5/)(2213122323-=-=-=j j d u u Y u 0.024=u ，0.025=u
4167.10)0.5()1()3333.5()375.0(1667.1622222
23112133333j j j j d u d u Y d -=-⨯---⨯---=--= 64.0)4167.10/()006667.6(/)(332224231114133434-=---=--=j j d d u u d u u Y u
36
.0)4167.10/(]0)3333.5)(625.0)(375.0(5.2[/)(33
2225231115133535-=------=--=j j j d d u u d u u Y u
4.6)4167.10()64.0(0.00.06667.102332
34222
24112
144444j j j d u d u d u Y d -=-⨯-----=---=
443335342225241115144545/)(d d u u d u u d u u Y u ---=
0.1)4.6/()]4167.10)(36.0)(64.0(0.00.00.4[-=-------=j j j
442
453323522225112155555d u d u d u d u Y d ----=
.1)4.6()1()4167.10()36.0(0.0)3333.5()625.0(8333.10222j j j j j -=-----------=于是得到因子表如下，其中下三角部分因子存L （=U T ），对角线存D ，上三角部分存U 。

（3）利用因子表计算阻抗矩阵第j 列元素，需求解方程 LDUZ j =e j
这个方程可以分解为三个方程组
LF=e j , DH=F, UZ j =H
令j=4,利用教材上册（4-35）～式（4-37）可以算出
0.0321===f f f ，0.14=f ，0.10.1)1(4545=⨯--=-=f l f 0.0/1111==d f h ，0.0/2222==d f h ，0.0/3333==d f h 15625.0)4.6/(1/4444j j d f h =-== 0.1)0.1/(1/5555j j d f h =-==
1554j h Z ==
54354434334Z u Z u h Z --=
1.10.1)36.0(15625.1)64.0(0j j j =⨯--⨯--= 542544243423224Z u Z u Z u h Z ---=
1.1001.1)0.1(0j j =--⨯--=
5415441434132412114Z u Z u Z u Z u h Z ----=
0.1)625.0(01.1)375.0(00j j ⨯---⨯---= 0375.1j =
同样可以算出其它各列的元素，结果如下
第四章 电力传输的基本概念
4-1．一条110kv 架空输电线路，长100km ，导线采用LGJ-240，计算半径r=10.8mm ，三相水平排列，相间距离4m 。

已知线路末端运行电压V LD =105KV ，负荷P LD =42MV ，Φcos =0.85。

试计算：
（1） 输电线路的电压降落和电压损耗； （2） 线路阻抗的功率损耗和输电效率； （3） 线路首端和末端的电压偏移。

解： 先计算输电线路参数。

取mm mm r D S 72.98.109.09.0=⨯==
m
m D D eq
04.5426.126.1=⨯==
km km S
r /1313.0/2405
.31)
0(Ω=Ω=
=ρ
km
km km D
D x
S
eq /3923.0/72
.91004.5lg 1445.0/lg 1445.03
Ω=Ω⨯=Ω=
km S km S km S r
D
b eq
/1084.2/108.101004.5lg
58
.7/10lg
58.7663
60---⨯=⨯⨯=
⨯=
Ω+=Ω⨯+=+=)23.3913.13(100)3923.01313.0()(0
j j l j x r Z L
S S l b B L
4
6
1042.11001084.221
2121--⨯=⨯⨯⨯==
可以作出输电线路的∏型等值电路，如题图10-1所式。

题图 4-1 Ⅱ型等值电路
已知P LD =42MW ，cos ϕ=0.85,则ϕ=
7883.31，Q LD =P LD tan ϕ=42×tan
7883.31Mvar =26.0293Mvar 。

（1） 输电线路的电压降落和电压损耗。

（2） 电压降落计算。

由∏型等值电路，可得
mm mm r D S 72.98.109.09.0=⨯==
mm mm r D S 72.98.109.09.0=⨯==
var
5656.1var 1042.110521422
22M M B V Q L c =⨯⨯=⨯=∆-
A
MV j A MV j Q S S c LD ⋅+=⋅-+=∆-=)527.2442()]5656.10293.26(42[2
2
电压降落
V
R
Q
X
p V X Q R P L
L
L
L
j
V 2
2
2
2
22
-++=
∆∙
=kv j kv
j )625.12416.14()105
13
.13527.2423.394210523.39527.2413.1342(
+=⨯-⨯+⨯+⨯ （b ）电压损耗计算
KV KV V V V V 0814.120)625.12()416.14105()(222
22
1=++=+∆+=δ
电压损耗：V 1-V 2=（120.0814-105）kv=15.0814kv
或 电压损耗：0
000002
1
71.13100110
0814
.15100=⨯=
⨯-V
V V N
（2）线路阻抗上的功率损耗和输电效率
A MV j A
MV j j X R V
Q
P
S L L Z ⋅+=⋅+⨯+=++=
∆)417.8817.2()23.3913.13(105527.2442)
(2
2222
22
22
输电效率
0000
02
2
71.93100817.24242
100=⨯+=
⨯∆+=
P P
p
L
η
（3） 电压偏移。

1V
L L jX
R Z +=1
C Q ∆
2
C Q ∆
首端电压偏移：0
000001
165.9100110110
0814.120100=⨯-=⨯-V
V
V N N
末断电压偏移：0
000002
545.4100110
110
105100-=⨯-=
⨯-V
V
V N
N
第五章 电力系统的潮流计算
5-1输电系统如题图11-1（1）所示。

已知：每台变压器的S N =100M V ·A ，∆Q 0=3500kvar,
∆P S =1000kw, V S
=12.5，变压器工作在—5
的分接头中；每回线路长250km ，
r 1=0.08Ω/km, x 1=0.4Ω/km, b 1=2.8×6
10-S/km;负荷P LD =150MW ，cos ϕ=0.85。

线路首端 电压V A =245kv ，试分别计算：
（1） 输电线路，变压器以及输电系统的电压降落和电压损耗； （2） 输电线路首端功率和输电效率；
（3） 线路首端A ，末断B 及变压器低压侧C 的电压偏移。

题图5-1简单输电系统
解 输电线路采用简化∏型等值电路，变压器采用励磁回路前移的等值电路（以后均用此简化），如题图11—1(1)所示。

线路参数
S
S l l l b B
x X r R L
L L 46111107250108.22
502
12504.0211021
25008.021--⨯=⨯⨯==Ω=Ω⨯⨯==Ω=Ω⨯⨯==
变压器参数
var
0.7var 5.3229.045.02225.30211002201005.122110042.22110100220100021100
00
2
2
03
2
2322
M M MW MW Q Q P P S V V
X S V P R
T T TN
N
S
T
TN N
S T
=⨯=∆⨯=∆=⨯=∆⨯=∆Ω=Ω⨯⨯=⨯⨯∆=Ω
=Ω⨯⨯⨯=⨯⨯∆=
先按额定电压求功率分布
A
MV j A
MV j j j A
MV j A MV j j A
MV j j j M j M j j j j M M A MV j A MV j j A
MV j A
MV j j M MW Q S S
S S
S X R V
Q
P S Q
S S S V
B
Q
S S S
X R V
Q
P
S Q
P
C A
L
L L N
L
C T T N
L
C T
LD T
T T N
LD
LD T LD
LD
∙+=∙-+=∆-=∙+=∙+++=∆+=∙+=++=++=
∆+=-+++=∆-+==⨯⨯==
∆∙+=∙+++=∆+=∙+=∙++=++=
∆===-)2369.837714.158()88.331169.1177714.158()1169.1177714.158()5715.313143.65454.854571.152()5715.313143.6()
5010(2205454.854571.152)(var )5454.854571.152(var )88.330.79.04259.1125571.151(var
88.33var 2201072
)4259.1125571.151()]4637.195571.1()9617.92150[()4637.195571.1()25.3042.2(2209617.92150)
(var
9617.92,85.0cos ,1501
12
1
2
2
2222
222
022422
2
2222 ϕ
（1） 输电线路，变压器以及输电系统的电压降落和电压损耗。

（a ） 输电线路 电压降落：
KV
kV kV
kV j kV
j j
Q V V V V V
R
Q
X P V
X R
P V L
L A B L
L
L
L
L 3883.216)622.27()3819.30245()()(276.420614.41)622.273819.30()245
10
1169.117507714.158245501169.117107714.158(
222
21
1
1
1
1
=+-=+∆-=-∠=-=⨯-⨯-⨯+⨯=--+=∆∙
δ
电压损耗: kV kV V
V B
A
612.28)3883.216245(=-=-
(b) 变压器 电压降落:
KV
KV KV KV j KV
j j
V V V V
V
R
Q
X P V
X Q R P V T T B C
B
T
T
T
T
B
T
T
T
T
T
973.199)93.19()411.173883.216()()(859.48464.26)93.19411.17()3883
.21642
.24254.11225.305571.1513883.21625.304254.11242.25571.151(
222
2'=+-=+∆-=-∠=-=⨯-⨯-⨯+⨯=--+=
∆∙
δ
电压损耗:
KV KV V
V C
B
4153.16)973.1993883.216('=-=-
或电压损耗: 0
000462.71002204153
.16=⨯
(c) 输电系统的电压损耗: (28.612+16.4153)kV=45.0273Kv
或输电系统的电压损耗: 0
000467.201002200273
.45=⨯
(2)线路首端功率和输电效率 首端功率
A MV j S
l ∙+=)2369.837714.158(1
输电效率
00000475.941007714.158150
100=⨯=
⨯=
P
P A LD
η
(3)线路首端A,末端B 及变压器低压侧的电压偏移
点A 电压偏移:
0000036.11100220
220
245100=⨯-=⨯-V V V N N
A
点B 电压偏移:
00000642.1100220
220
3883.216100-=⨯-=
⨯-V V V N
N
B
变压器的实际变比1911)
05.01(220=-=
k T
点C 低压侧实际电压KV KV k V V T C
C 525.1019973.1991
'===
点C 电压偏移0
0000025.51001010525.10100=⨯-=⨯-=V V V N
N
C 5-5 在题图11-5 所示电力系统中, 已知条件如下。

变压器T ：SFT-40000/110，△P S =200KW ， V S =10.5%,△P 0=42KW, I 0=0.7%, k T =k N ; 线路AC 段: l=50km, r 1=0.27，x 1=0.42; 线路BC 段: l=50km, r 1=0.45，x 1=0.41; 线路AB 段: l=40km, r 1=0.27，x 1=0.42; 各线段的导纳均可略去 不计; 负荷功率: S LDB =(25+j18)MV A, S LD
D =(30+j20)MV A; 母线D 额定电压为10KV 。

当C 点的运行电压V C =108KV 时，试求： （1） 网络的功率分布及功率损耗； （2） A ，B ，C 点的电压； （3） 指出功率分点。

解：进行参数计算
Ω
∠=Ω+=Ω
+⨯=+= 265.5795.24)215.13()42.027.0(50)(11j j j x r l Z
AC AC
Ω∠=Ω+=Ω
+⨯=+= 265.57972.19)8.168.10()42.027.0(40)(11j j j x r l Z
AB AB
Ω
∠=Ω+=Ω
+⨯=+= 31.44347.29)5.205.22()41.045.0(50)(11j j j x r l Z BC BC
Ω∠=Ω+=Ω+++++=++=∑
244.5176.74)3.588.46()]5.208.1621()5.228.105.13[(j j Z Z Z Z
BC
AB AC
Ω∠=Ω+=Ω+++=+= 234.48002.50)3.373.33()]5.208.16()5.228.10[(j j Z Z Z BC
AC BCA
Ω=Ω⨯⨯=⨯∆=513.11040000110200103
2
2
3
2
2
S V P R TN N
S
T
Ω=Ω⨯⨯=⨯⨯∆=763.3110400001101005.10101003
2
3
2
S V V X TN
N
S
T
A
MV j A MV j j S I P S TN
T ∙+=∙⨯+=+∆=∆)28.0042.0()40100
7.0042.0(1000
000
（１）网络功率分布及功率损耗计算。

（a ）计算运算负荷
A MV j A MV j S S S
T ZT T
∙+=∙+++=∆+∆=∆)693.32046.0()]28.0413.3()042.01626.0[(0
A MV j A MV j j X R V
Q
P S T T N
LD LD ZT
∙+=∙+⨯+=++=
∆)413.31626.0()763.31513.1(110
2030)
(2
22220
20
A MV A MV j A MV j S S S
T
LD C
∙∠=∙+=∙+++=∆+= 111.383885.38)693.232046.30()]693.320()2046.030[(0'
A
MV A
MV j S S LDB B ∙∠=∙+== 754.35806.30)1825('
（b ）不计功率损耗时的功率分布
A MV j A
MV Z
Z
S Z S S
AB
B
BCA
C
AC
∙+=∠=∙-∠-∠⨯∠+-∠⨯∠=*
*
+*
=
∑
)967.2049.26(3639.387824.33244.5176.74265.57972.19754.35806.30234.48002.50111.383885.38'
'
A
MV j A MV j j j S S S S AC
B C AB ∙+=∙--+++=-+=)7258.207146.28()9672.2049.261825693.232046.30('
'
A
MV j A MV j j S S S
B
AB BC
∙+=∙--+=-=)7258.27416.3()18257258.207146.28('
（c ）精确功率分布计算
A
MV j A MV j j X R V
Q
P
S AC AC C
AC
AC AC ∙+=∙++=++=
∆)055.2321.1()215.13(1089672.2049.26)
(222222
A MV j A MV j j S S S AC
AC AC ∙+=∙+++=∆+=)0222.23811.27()055.2321.19672.2049.26(1
A MV j A MV j j X R V
Q
P
S BC BC C
BC
BC BC ∙+=∙++=++=
∆)03766.004134.0()5.205.22(108
7258.27416.3)
(2
22222 A MV j A MV j S S S BC
BC BC ∙+=∙+++=∆+=)7635.27829.3()03766.07258.2()04134.07416.3[(1
KV
kV kV
j kV
j j
V V V V V
R
Q
X P V
X
Q
R P V BC
BC C B C
BC
BC
BC
BC
C
BC
BC
BC
BC
BC 297.109)1423.0()2969.1108()()()1423.02969.1()108
5
.227258.25.207416.31085.207258.25.227416.3(
222
2=++=+∆+=+=⨯-⨯-⨯+⨯=-++=
∆∙
δ
A
MV j A MV j S S S B
BC AB ∙+=∙+++=+=)7635.207829.28()187635.2()257829.3('
12
A MV j A MV j j X R V
Q
P
S AB AB B
AB AB AB ∙+=∙++=++=
∆)7714.11388.1()8.168.10(297
.1097635.207829.28)
(2
22222
22 A MV j A MV j j S S S AB
AB AB ∙+=∙+++=∆+=)5349.229217.29()]7714.11388.1()7635.207829.28[(1
A MV j S S C CD ∙+==)693.232046.30('
1
A MV j S S
LD CD ∙+==)2030(2
KV j kV
j j
V
R
Q
X P V
X
Q
R P V C
AB
AB
AB
AB C
AB
AB AB
AB AB )3725.20357.6()297
.1098
.107635.208.167829.28297.1098.167635.208.107829.28(
2
2
2
+=⨯-⨯+⨯+⨯=-++=
∆∙
（2）A ，B ，C ，D 各点电压
KV kV V V V V
AB
AB B A 357.115)3725.2()0357.6297.109()()(222
2=++=+∆+=δ
或
KV
kV V V V V AC
AC C A 4159.115)108
5.139672.202149.26()108219672.205.1349.20108()()(2
222=⨯-⨯+⨯+⨯+
=+∆+=δ误差 KV KV V V C B 108,297.109%
0511.0100357
.115357
.1154159.11500===⨯- KV j kV
j j
V
R
Q X P
V
X
Q R P
V C
T
C
T C
C
T
C
T C
T )5513.83913.7()108
513
.1693.23763.312046.30108763.31693.23513.12046.30(
''''-=⨯-⨯-⨯+⨯=--+=∆∙
KV kV V V V V
T T C D
97.100)5513.8()3913.7108()()(222
2'=+-=+∆-=δ
kv KV k V V T D
D 1.101101191.1001
'=⨯==
（3）功率分点。

从计算结果可以看出有功功率和无功功率的分点均在节点C 5-9 题图5-9示一多端直流系统，已知线路电阻和节点功率的标么值如下：R 12=0.02, R 23=0.04, R 34=0.04, R 14=0.01, S 1=0.3, S 2= －0.2,S 3=0.15。

节点4为平衡节点，V ４＝1.0。

试用牛顿－拉夫逊法作潮流计算。

图5-9 多端直流系统
解 （1）形成节点电导矩阵，各元素计算如下
15001.0102.011
1
141211=+=
+
=
R R G 5002.01
11221
12-=-=-==R G G
10001.01
11441
14-=-=-==R G G
7504.0102.0111231222
=+=+=R R G 2504.01
12332
23-=-=-==R G G
5004.0104.0111342333
=+=+=R R G 2504.01
13443
34-=-=-==R G G
12504.0101.0111341444
=+=+=R R G
（2）按给定的节点功率，设节点电压初值
.1)
0(=V
i ，计算节点不平衡量
3
.0)11001501150(13.0)
(414)0(2
12
)
0(1
11)
0(1
1)
0(1
-=⨯-⨯-⨯⨯--=++-=
∆V G V
G V G V P P S
2
.0)125175150(12.0)
()
0(323)
0(2
22)
0(1
21)
0(2
2)
0(2=⨯-⨯+⨯-⨯-=++-=∆V G V G V G V P P S
15.0)125150125(115.0)
(434)
0(333)
0(232)
0(33)
0(3
-=⨯-⨯+⨯-⨯--=++-=∆V G V G V G V P P S
（3）计算雅可比矩正元素，形成修正方程式
15011001501150224
14021201110
1
1011
|
-=⨯+⨯+⨯⨯-=---=∂∆∂=
V G V G V G V P J
）
（）（）（
50
1500112021012|=⨯=-=∂∆∂=V G V P J ）
（）（
50
02210
1
2021
|
=-=∂∆∂=
V G V P J
）
（）（
7512517521502203
23022201210
2
2022
|
-=⨯+⨯⨯-⨯=---=∂∆∂=
V G V G V G V P J
）
（）
（）
（）（
25
022303
2023|=-=∂∆∂=V G V P J ）
（）（
25
03320
2
3032
|
=-=∂∆∂=
V G V P J
）
（）（
50
125150212524
34033302320
3
3033
|
-=⨯+⨯⨯-⨯=---=∂∆∂=
V G V G V G V P J
）
（）
（）（
所得修正方程式如下
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----15.02.03.050250257550050
150)0(3)0(2)0(1V V V
（4）求解修正方程式。

（a ）用三角分解法求解休整方程，先对-丁阵作Crout 分解 150)
0(1111-==J c
3/1)150/(50/11)0(1212-=-==c J u
50,0)
0(21
2113==
=J c u
7/3)3/175/()025(/)(22
13
21)0(23
23
-=--=-=c u c J u 25,0)
0(32
32
31
===J c c
7/275)73
(255023
32)
0(3333-=-⨯--=-=u c J c
（b ）进行消元演算，将修正方程左端的负号移到右端并计入
P i ∆中，即
002.0)150/(3.0/11
)
0(1
1-=-=∆
-=c p b
175/3.0)3/175/()]0020.0(502.0[/)(22
121)0(2
2
=--⨯--=-∆-=c b c p b
275/75.0)7/275/()1753
.02515.0(/)(22
232)0(3
3
-=-⨯
-=-∆
-=c b c p
b
（c ）做回代计算
002727.027575
.03)
0(3-=-
==∆b V
000545.0)002727.0()73
(1753.0)0(3
232)0(2=⨯--=
∆-=∆V u b V 001818
.0000545.0)31
(002.0)0(2121)0(1-=⨯---=∆-=∆V u b V
（4）修正节点电压
998182.0001818.00.1)
0(1)0(1)1(1
=-=∆+=V V V
000545.100054.00.1)
0(2)0(2)
1(2=+=∆+=V V V 997273.0002727.00.1)
0(3)
0(3)1(3
=-=∆+=V V V
（5）下面进入新一轮迭代计算，利用上一轮算出的节点电压计算节点不平衡量及雅可比矩阵元素，可得修正方程如下
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----000434.0000059.0000595.0713675.49931825.24013625.25240825.75027250.50909100.49427350.149)1(3)1(2)1(1V V V
解此方程可得
104
)
1(1074.0-⨯-=∆V ， 104
)
1(21037.0-⨯-=∆V 104
)
1(31393.0-⨯-=∆V
可见电压修正量已小于允许误差104
-=ε，迭代到此结束。

利用公式V V V i i
i )
1()1(∆+=及R V V V P ij j i i ij /)(-=，不难算出最终节点电压和支路功率。

节点电压：
998175.01
=V
，000535.12=V ，997259.03=V
平衡节点功率：
25106.04
=P
支路功率：11779.012
-=P ，11806.021=P ，08193.023=P ，08166.032-=P ，
06834.034-=P ，06852.043=P ，18254.041=P ，18221.014-=P ，顺便指出。

由
于节点电压变化不大，在第二轮迭代时不再成新的雅可比矩正，而继续沿用处次形成的J。