两类带非局部项的非线性抛物方程的理论分析
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Abstract
STUDY ON TWO CLASSES OF NONLINEAR PARABOLIC EQUATIONS WITH N ONLOCAL TERMS
ABSTRACT
Many problems in applied sciences can be described by partial differential equations. In order to explain some nonlinear phenomenon， and to provide some useful tools for practical fields，one needs to study the existence，uniqueness and stability of solutions to problems of partial differential equations.
保密□，在 年解密后适用本授权书。 本学位论文属于
不保密√。 （请在以上方框内打“√”）
学位论文作者签名：刘桂兰 日期： 2008 年 3 月 2 日
指导教师签名：王亚光 日期： 2008 年 3 月 2 日
绪论
第一章 绪论
1.1 问题背景
非线性抛物方程是一类重要的偏微分方程，来源于自然界中广泛存在的非线 性现象．相变理论，渗透理论，图像处理，生物化学理论等领域中的许多问题都 可以用这种方程来描述．如相变理论中的 Allen-Cahn 方程，流体力学中的 Cahn-Hilliard 方程等，这些方程不仅有明确的物理背景，而且还有广泛的应用价 值，因而，对这些方程的数学理论进行研究是有意义的，也是十分必要的．
4
绪论
第一项：F (g) ，Gσ (g) 同问题 (1.3) 中给出的，这儿 Gσ 的引进是为了对图像进
行一定的去噪， F (⋅) 的选取是为了达到各向异性的去噪效果，正如Catte和
对问题 (1.2) 的数学理论研究已有很多很有意义的工作：如Elliott和Zheng
（[15]）建立了此初边值问题解的存在性和唯一性．1989年Pego在文献[16]中，对
ε → 0 时，问题 (1.2) 解的渐近性态进行了形式Alikakos，Bates和Chen（[17]），Alikakos和Fusco （[18]），Chen（[19，20]）以及Stoth（[21]）分别讨论了此形式分析的数学理论．近 几年，对此问题的动力学行为，长时间性态也有相当的研究（[22]及其参考资料）．最 近，Qian，Wang和Sheng（[23]及参考文献）用Cahn-Hilliard方程和Navier-Stokes 方程耦合的方程组来描述一管道中两相流的运动情况．2005年Bates和Han([24])研 究了一类描述长距离干扰的含有非局部项的Cahn-Hilliard方程，用能量估计方法证 明了相应初边值问题解的存在性、唯一性与稳定性．
学位论文作者签名：刘桂兰 日期： 2008年3月2日
上海交通大学 学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。
ut
=
−∆
ε∆u
−
1 ε
ϕ
′
(
u
)
+
λ
⋅
χ
Ω
\
D
⋅(
f
−u)
∂u
∂n
∂Ω
=
0，∂ (∆u)
∂n
∂Ω
=
0
u t=0 = f
(1.4)
来对图像进行修复与边缘检测．其中 D ⊆ Ω 为图像因年代因素或人为破坏了的图
像部分，对此区域需进行修复，ϕ (u) 与Allen-Cahn方程 (1.1) 中的一样，是一个双
F
(
s
)
=
1
1 +s
k2
其中， k > 0 为参数． 另外，
Gσ
=
1 4πσ
x2 −
e 4σ
是高斯函数， u0 为带噪声的原图像．
3
绪论
1.2 问题的提出
最近，人们借鉴流体力学多位相运动模型，来研究图像处理问题中的边缘检 测，分割以及修复．Benes, Chalupecky 和 Mikula ([29])提出利用Allen-Cahn方程 进行图像分割．Bertozzi，Esedoglu，Gillette([30])提出了下述Cahn-Hilliaed方程的 初边值问题：
IV
上海交通大学 学位论文原创性声明
本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
III
Abstract
First，we briefly review some partial differential equation models in multi-phases，and the PDEs methods for denoising, segmentation and reconstruction in image processing. Based on problems for image processing, we introduce the nonlinear Allen-Cahn equation and Cahn-Hilliard equation with nonlocal terms. Then, by using the Schauder fixed point theorem, we obtain the existence of weak solutions to the initial boundary value problem for the nonlocal Allen-Cahn equation, and deduce the uniqueness and continuous dependency of bounded solutions with respect to the initial data and force term by the energy method. Finally, the existence of a bounded solution to the initial boundary value problem for the nonlocal Cahn-Hilliard equation is obtained by using the Schauder fixed point theorem as well.
点：如果图像中存在噪声，例如白噪声，那么在这些噪声点处 ∇u 可能非常大，
使得扩散系数较小，从而将这些噪声点保留下来，降低了去噪性能． 为了克服Malik-Perona模型的缺点，1992年Catte和Lions([28])提出了如下的对
图像去噪有选择性的模型：
( ( ) ) ut = div F ∇u ∗Gσ 2 ∇u
2
绪论
1.1.3 图像处理中的偏微分方程问题 近年来，随着偏微分方程理论的飞速发展以及信息学科的发展，偏微分方程
在图像处理中产生了很重要的影响．采用偏微分方程进行图像处理的思想可以追 溯到Gabor([25])工作以及Koenderink([26])对于图像结构的探索．其中对于图像去 噪和重建问题是Malik和Perona([27])于1990年提出了各向异性扩散模型．虽然该模 型在理论上做出了重大改进，也使滤波效果得到了改善．但是该模型仍然存在缺
ut
=
−M
∆
ε∆u
−
1 ε
ϕ′
(u
)
( ) ∂u
∂n
∂Ω
∂ = 0，
ϕ′(u) − ε 2∆u
∂n
=0
∂Ω
(1.2)
u t=0 = u0
v
其中 Ω ⊆ Rn ，其边界 ∂Ω 光滑， n 是 ∂Ω 的外法向， t > 0 ，ϕ (u) 如同问题 (1.1) 中
为一个双位井位势函数， ε >0 表示两相流相变边界的宽度， M > 0 为常数．
Keywords: Nonlinear-parabolic equations with nonlocal terms,Allen-Cahn equation，Cahn-Hilliard equation，initial-boundary value problems, well -posedness
可用来表示两相流相变边界的宽度，ϕ (u) 为一个双位井位势函数，如
ϕ (u) = (u2 −1)2
此时， u = ±1为其平衡态．
目前，对此方程已有许多相关的研究．如对 ε →0时的渐近分析最早由 Allen
1
绪论
和 Cahn（[1]），Rubinstein（[2]），Fife（[3]）等提出．对此渐近分析的严格论证 是由 Bronsard 和 Kohn（[4]），De Mottoni 和 Schatzman（[5,6]），Chen（[7]），Evans
1.1.1 Allen-Cahn 方程
为了描述多位相流运动，1979 年 Allen 和 Cahn 在文献[1]中引入如下的一类 二阶抛物方程的初边值问题：
ut
= ε∆u − 1 ϕ′(u)
ε
∂u
∂n
∂Ω
=
0
(1.1)
u t=0 = u0
v 来描述．其中 Ω ⊆ Rn ，其边界 ∂Ω 光滑，n 是区域 Ω 边界的外法向，t >0，参数 ε >0
∂u
∂n
∂Ω
=
0
(1.3)
u t=0 = u0
其中 u 表示黑白图象的灰色度，Ω ⊆ R 2 有界区域（所考虑的图象的范围），其边界 v
∂Ω 光滑， n 为 ∂Ω 的外法向， F 单调递减且满足：
比如函数 F 可取为：
F (s) ≥ 0 ， F (0) = 1， lim F (s) = 0 . s→∞
（[8]），Ilmanen（[9]）等文献中给出．对任意 ε > 0，问题 (1.1) 是经典的半线性抛
物方程的初边值问题．它的适定性理论也是很经典的．可参看文献（[10]，[11], [12], [13]）等．
1.1.2 Cahn-Hilliard 方程
为了描述位相边界运动，1958 年 Cahn 和 Hilliard 在文献[14]中引入下述 Cahn-Hilliard 方程的初边值问题:
( ( ) )
ut
=
−∆
ε
div
F
∇u ∗ Gσ 2
∇u
−
1 ε
ϕ
′
(
u
)
+
λ
⋅
χΩ\
D
(
f
−u)
u ∂Ω
= 0，∂u = 0 ∂n ∂Ω
(1.5)
u t=0 = f
v 其中 Ω ⊆ R2 ，其边界 ∂Ω 光滑， D ⊂ Ω （即为图像信息丢失的部分）， n 是 ∂Ω 的
外法向． 对于问题 (1.5) 方程右端各项的选取，我们的动机是：
In this paper，inspiring from the study on the reconstruction， denois-ng and segmentation in image processing，and combining with the theories of two phase fluids, we introduce two classes of nonlinear parabolic partial differential equations with nonlocal terms. We shall mainly study the well-posedness of the initial-boundary value problems for these two nonlinear parabolic equations.
位井位势函数， f 是待修复图像．并研究了该问题解的存在性和唯一性．
但是利用这个模型进行图像处理时，是对图像进行各向同性去噪，正如
Witkin([31])的高斯去噪一样，其最大的缺点是图像去噪的同时把边缘磨光，图像 失真．
为此，由Catte和Lions([28])和Bertozzi，Esedoglu和Gillette( [30])工作的启发， 我们提出如下的初边值问题：
STUDY ON TWO CLASSES OF NONLINEAR PARABOLIC EQUATIONS WITH N ONLOCAL TERMS
ABSTRACT
Many problems in applied sciences can be described by partial differential equations. In order to explain some nonlinear phenomenon， and to provide some useful tools for practical fields，one needs to study the existence，uniqueness and stability of solutions to problems of partial differential equations.
保密□，在 年解密后适用本授权书。 本学位论文属于
不保密√。 （请在以上方框内打“√”）
学位论文作者签名：刘桂兰 日期： 2008 年 3 月 2 日
指导教师签名：王亚光 日期： 2008 年 3 月 2 日
绪论
第一章 绪论
1.1 问题背景
非线性抛物方程是一类重要的偏微分方程，来源于自然界中广泛存在的非线 性现象．相变理论，渗透理论，图像处理，生物化学理论等领域中的许多问题都 可以用这种方程来描述．如相变理论中的 Allen-Cahn 方程，流体力学中的 Cahn-Hilliard 方程等，这些方程不仅有明确的物理背景，而且还有广泛的应用价 值，因而，对这些方程的数学理论进行研究是有意义的，也是十分必要的．
4
绪论
第一项：F (g) ，Gσ (g) 同问题 (1.3) 中给出的，这儿 Gσ 的引进是为了对图像进
行一定的去噪， F (⋅) 的选取是为了达到各向异性的去噪效果，正如Catte和
对问题 (1.2) 的数学理论研究已有很多很有意义的工作：如Elliott和Zheng
（[15]）建立了此初边值问题解的存在性和唯一性．1989年Pego在文献[16]中，对
ε → 0 时，问题 (1.2) 解的渐近性态进行了形式Alikakos，Bates和Chen（[17]），Alikakos和Fusco （[18]），Chen（[19，20]）以及Stoth（[21]）分别讨论了此形式分析的数学理论．近 几年，对此问题的动力学行为，长时间性态也有相当的研究（[22]及其参考资料）．最 近，Qian，Wang和Sheng（[23]及参考文献）用Cahn-Hilliard方程和Navier-Stokes 方程耦合的方程组来描述一管道中两相流的运动情况．2005年Bates和Han([24])研 究了一类描述长距离干扰的含有非局部项的Cahn-Hilliard方程，用能量估计方法证 明了相应初边值问题解的存在性、唯一性与稳定性．
学位论文作者签名：刘桂兰 日期： 2008年3月2日
上海交通大学 学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。
ut
=
−∆
ε∆u
−
1 ε
ϕ
′
(
u
)
+
λ
⋅
χ
Ω
\
D
⋅(
f
−u)
∂u
∂n
∂Ω
=
0，∂ (∆u)
∂n
∂Ω
=
0
u t=0 = f
(1.4)
来对图像进行修复与边缘检测．其中 D ⊆ Ω 为图像因年代因素或人为破坏了的图
像部分，对此区域需进行修复，ϕ (u) 与Allen-Cahn方程 (1.1) 中的一样，是一个双
F
(
s
)
=
1
1 +s
k2
其中， k > 0 为参数． 另外，
Gσ
=
1 4πσ
x2 −
e 4σ
是高斯函数， u0 为带噪声的原图像．
3
绪论
1.2 问题的提出
最近，人们借鉴流体力学多位相运动模型，来研究图像处理问题中的边缘检 测，分割以及修复．Benes, Chalupecky 和 Mikula ([29])提出利用Allen-Cahn方程 进行图像分割．Bertozzi，Esedoglu，Gillette([30])提出了下述Cahn-Hilliaed方程的 初边值问题：
IV
上海交通大学 学位论文原创性声明
本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
III
Abstract
First，we briefly review some partial differential equation models in multi-phases，and the PDEs methods for denoising, segmentation and reconstruction in image processing. Based on problems for image processing, we introduce the nonlinear Allen-Cahn equation and Cahn-Hilliard equation with nonlocal terms. Then, by using the Schauder fixed point theorem, we obtain the existence of weak solutions to the initial boundary value problem for the nonlocal Allen-Cahn equation, and deduce the uniqueness and continuous dependency of bounded solutions with respect to the initial data and force term by the energy method. Finally, the existence of a bounded solution to the initial boundary value problem for the nonlocal Cahn-Hilliard equation is obtained by using the Schauder fixed point theorem as well.
点：如果图像中存在噪声，例如白噪声，那么在这些噪声点处 ∇u 可能非常大，
使得扩散系数较小，从而将这些噪声点保留下来，降低了去噪性能． 为了克服Malik-Perona模型的缺点，1992年Catte和Lions([28])提出了如下的对
图像去噪有选择性的模型：
( ( ) ) ut = div F ∇u ∗Gσ 2 ∇u
2
绪论
1.1.3 图像处理中的偏微分方程问题 近年来，随着偏微分方程理论的飞速发展以及信息学科的发展，偏微分方程
在图像处理中产生了很重要的影响．采用偏微分方程进行图像处理的思想可以追 溯到Gabor([25])工作以及Koenderink([26])对于图像结构的探索．其中对于图像去 噪和重建问题是Malik和Perona([27])于1990年提出了各向异性扩散模型．虽然该模 型在理论上做出了重大改进，也使滤波效果得到了改善．但是该模型仍然存在缺
ut
=
−M
∆
ε∆u
−
1 ε
ϕ′
(u
)
( ) ∂u
∂n
∂Ω
∂ = 0，
ϕ′(u) − ε 2∆u
∂n
=0
∂Ω
(1.2)
u t=0 = u0
v
其中 Ω ⊆ Rn ，其边界 ∂Ω 光滑， n 是 ∂Ω 的外法向， t > 0 ，ϕ (u) 如同问题 (1.1) 中
为一个双位井位势函数， ε >0 表示两相流相变边界的宽度， M > 0 为常数．
Keywords: Nonlinear-parabolic equations with nonlocal terms,Allen-Cahn equation，Cahn-Hilliard equation，initial-boundary value problems, well -posedness
可用来表示两相流相变边界的宽度，ϕ (u) 为一个双位井位势函数，如
ϕ (u) = (u2 −1)2
此时， u = ±1为其平衡态．
目前，对此方程已有许多相关的研究．如对 ε →0时的渐近分析最早由 Allen
1
绪论
和 Cahn（[1]），Rubinstein（[2]），Fife（[3]）等提出．对此渐近分析的严格论证 是由 Bronsard 和 Kohn（[4]），De Mottoni 和 Schatzman（[5,6]），Chen（[7]），Evans
1.1.1 Allen-Cahn 方程
为了描述多位相流运动，1979 年 Allen 和 Cahn 在文献[1]中引入如下的一类 二阶抛物方程的初边值问题：
ut
= ε∆u − 1 ϕ′(u)
ε
∂u
∂n
∂Ω
=
0
(1.1)
u t=0 = u0
v 来描述．其中 Ω ⊆ Rn ，其边界 ∂Ω 光滑，n 是区域 Ω 边界的外法向，t >0，参数 ε >0
∂u
∂n
∂Ω
=
0
(1.3)
u t=0 = u0
其中 u 表示黑白图象的灰色度，Ω ⊆ R 2 有界区域（所考虑的图象的范围），其边界 v
∂Ω 光滑， n 为 ∂Ω 的外法向， F 单调递减且满足：
比如函数 F 可取为：
F (s) ≥ 0 ， F (0) = 1， lim F (s) = 0 . s→∞
（[8]），Ilmanen（[9]）等文献中给出．对任意 ε > 0，问题 (1.1) 是经典的半线性抛
物方程的初边值问题．它的适定性理论也是很经典的．可参看文献（[10]，[11], [12], [13]）等．
1.1.2 Cahn-Hilliard 方程
为了描述位相边界运动，1958 年 Cahn 和 Hilliard 在文献[14]中引入下述 Cahn-Hilliard 方程的初边值问题:
( ( ) )
ut
=
−∆
ε
div
F
∇u ∗ Gσ 2
∇u
−
1 ε
ϕ
′
(
u
)
+
λ
⋅
χΩ\
D
(
f
−u)
u ∂Ω
= 0，∂u = 0 ∂n ∂Ω
(1.5)
u t=0 = f
v 其中 Ω ⊆ R2 ，其边界 ∂Ω 光滑， D ⊂ Ω （即为图像信息丢失的部分）， n 是 ∂Ω 的
外法向． 对于问题 (1.5) 方程右端各项的选取，我们的动机是：
In this paper，inspiring from the study on the reconstruction， denois-ng and segmentation in image processing，and combining with the theories of two phase fluids, we introduce two classes of nonlinear parabolic partial differential equations with nonlocal terms. We shall mainly study the well-posedness of the initial-boundary value problems for these two nonlinear parabolic equations.
位井位势函数， f 是待修复图像．并研究了该问题解的存在性和唯一性．
但是利用这个模型进行图像处理时，是对图像进行各向同性去噪，正如
Witkin([31])的高斯去噪一样，其最大的缺点是图像去噪的同时把边缘磨光，图像 失真．
为此，由Catte和Lions([28])和Bertozzi，Esedoglu和Gillette( [30])工作的启发， 我们提出如下的初边值问题：