南航矩阵论第一章 ppt课件

证明 （1） 如果R是A上的等价关系，则 A/R给出了A的一个分类。
（2） 如果 {Bi}是A的一个分类，令 R {( x, y) |存在 Bi ，使得 x Bi , y Bi}
则R是A上的一个等价关系。
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定义1.1.6’ 若集合A上的一个二元关系R满足
（1） 自反性：对任意 a A，有aRa； （2） 反对称性：对任意a, b A，如果aRb，
1.1.8 逆映射的定义
定义: 设有映射 f : A B, 若存在一新映射
g : B A,
使 g. f
IA ,
f .g
IB,
I
A
,
I
为恒等映射，
B
称此映射 g为 f 的逆映射 ,
f
习惯上 计为 f 1.
A
f 1
B
若f有逆映射，则称f可逆.
例如, 映射 y x2, x (, 0] , 其逆映射为 y x , x[ 0, )
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定义1.1.6 设每个 Bi (i I )都是集合A的非空
子集，如果 A Bi ，并且对任意i, j I ，
当i
j
时有
B iI i
B
j
，则称 {Bi} 是A的
一个分类。
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定理1.1.2 （1） 集合A上的每个等价关系R 都决定A的一个分类。
（2） 集合A的每个分类都决定A 上的一个等价关系。
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教材: 《矩阵论》，戴华编，科学出版社。 主要参考书：
1. 方保镕，周继东编，矩阵论，清华大学出版社，2004.
2. 刘慧等，矩阵论及应用，化学工业出版，2003. 3.程云鹏，矩阵论，西安工业大学出版，2000. 4. 罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版，2002.
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精品资料
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南航矩阵论第一章
本章概述线性空间与内积空间的基本 概念和基本理论。这些概念是通常几何空 间概念的推广和抽象。在近代数学发展中， 这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。 本章内容是学习本书的基础。
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1.1 预备知识：集合·映射与数域 1.2 线性空间 1.3 基与坐标 1.4 线性子空间 1.5 线性空间的同构 1.6 内积空间
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1.1 预备知识：集合·映射与数域
1.1.1 集合及其运算 1.1.2 二元关系与等价关系 1.1.3 映射 1.1.4 数域与代数运算
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南航矩阵论 第一章
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为 集合.
组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B
若 A B 且 B A 则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
例如 , N Z, Z Q , Q R
显然有下列关系 :
(1) A A; A A; A
(2) A B且 B C
AC
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南航矩阵论第一章
称 [a] {x | x A, xRa} 为a关于R的等价类。
A的所有元素关于R的等价类集合
A R {[a] | a A}
称为A关于R的商集。
特点：
1. 同一等价类之间有关系R, 而不同等价类之间 无此关系。 2. 由对集合中各元素性质的研究转化为对一个 等价类的研究，大大减少了工作量。
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定义1.1.4 若集合A上的一个二元关系R 满足
（1） 自反性：对任意 a A ，有aRa；
（2） 对称性：对任意 a, b A，如果aRb，
则bRa；
（3） 传递性：对任意 a, b, c A ，如果
aRb，bRc，则aRc 则称R是A上的一个等价关系。
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定义1.1.5 设R是A上的一个等价关系，a A
则称≤是集合A上的顺序关系，并称（A , ≤ ） 为序集或序空间。
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1. 映射的概念 引例1.
南航矩阵论 第一章
南航学生的集合
学号的集合
按一定规则查号
矩阵论5班学生 的集合
按一定规则入座
531教室座位 的集合
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南航矩阵 论第一章
设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规
y f2 (u)
f2 [ f1(x)]
注意: 构成复合映射的条件 f`1(A) B 不可少.
以上定义也可推广到多个映射的情形.
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定理1.1.3 设有映射 f1 : A B, f2 : B C,
f3 : C D,则有
(1) f3 ( f2 f1) ( f3 f2 ) f1;
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
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南航矩阵 论第一章 (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合 A a1 , a2 , , an
自然数集 N 0, 1 , 2 , , n,
(2) 描述法：指把集合中元素所具有的特征性质表示出来。
且bRa，则a = b；
（3） 传递性：对任意 a, b, c A ，如果
aRb，bRc，则aRc
则称R是A上的一个偏序关系，记为“≤”。若 ≤是集合A上的一个偏序关系，则称A是关于 偏序关系≤的偏序集，记为（A ,≤ ）。
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定义1.1.6” 设（A , ≤ ）是一个偏序集，如
果对任意 a, b A ，总有 a b或 b a
定义下列运算:
并集 A B x x A 或 x B 交集 A B x x A 且 x B
A B
B A
差集 A \ B x x A且 x B
A\B AB
余集 BAc A \ B (其中B A)
B ABAc
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由集合的交与并运算的定义，显然有 AAB BAB
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定理1.1.5 映射f :A→B是可逆映射的充 分必要条件是 f 是A 到B 的双映射。
证明：设f:A B是可逆映射,f-1:B A为f的逆映射.
先证f是单映射。
对a1, a2 A, f (a1) f (a2 ),
则 a1 (f-1 • f )(a1)=f-1( f(a1))=f-1( f(a2 ))=a2, f是A B单映射;
(2) f1 I A IB f1 f1.
注意：复合映射一般不满足交换律。
{ { 如设A
B
C
{1,
2}.定义：f1
(1)
2
,
. f2 (1)1
f1 (2)1 f2 (2)1
则(f2. f1)(1) f2 ( f1(1)) f2 (2) 1,而
( f1. f2)(1) f1( f2(1)) f1(1) 2, f2. f1 f1. f2.
则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应 , 则
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
Xx
f
yY
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
例 4： A={矩阵论五班学生}， R: 为同性别关系。
则【男1】R {男生}，【女1】R {女生}。
A / R 【{ 男1】R【, 女1】R}.
例 5： Ａ＝｛５２张扑克｝ Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝
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则 Ｒ1把Ａ分为四类同花类， Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。
想一想： 在该例中还存在什么关系？
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例 ３：
Ａ＝｛ 张华，王兵，陈平，李兰
a1
a2
a3
a4
Ｂ＝｛ 软件，硬件，自动化，遥感
b1
b2
b3
b4
则：Ｒ1＝｛（ａ1，ｂ1），（ａ1，ｂ3）， （ａ2，ｂ2），（ａ2，ｂ4）， （ａ3，ｂ3），（ａ3，ｂ4）, （ａ4，ｂ1），（ａ4，ｂ4） ｝
是选双学位专业的二元关系。
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
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设 f1 : A1 B1 f2 : A2 B2
则称映射 f1与f2相等， 如果 A1 A2 , B1 B2,并且对任意a A1有 f1(a) f2 (a)
记为f1 f2.
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南航矩阵论第一章
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定理1.1.4 设映射f :A→B是可逆的，则f 的逆
映射 f 1是唯一的。
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南航矩阵论第一章
引例.
A f1
手电筒 复合映射
A C f2 . f1
B
f2 . f1
f2
C
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定义1.1.9 设A、B、C是三个非空集合，并
恒等映射（单位映射）I：
设A为一个非,I空 :A 集A的 合映射， aA,有I(a)a.
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对映射 f : X Y 若 f (X ) Y , 则称 f 为满射;
X
f Y f (X)
若x1 , x2 X , x1 x2 , 有 f (x1) f (x2 )
X
f
Y
则称 f 为单射;
f (X)
AAA AA
ABA ABB
AAA A
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定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合,则
(1).交换律：A B B A, A B B A
(2).结合律: A (B C) ( A B) C A (B C) ( A B) C
(3).分配律 : A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
设 有两个映射 f1 : A B, f2 : B C, 由 f1, f2 确定 A 到 C 的映射 f3 : a f2 ( f1(a))(a A) 称为映射 f1 和 f2 的乘积（复合），记为
f3 f2 f1
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A x
f1
B
f2
u f1(x)
f1( A) f2 f1
C Y f2 (B)
再证f是满映射。对b B,设f-1(b) a,则
f(a)=f(f-1(b)) (f •f-1)(b) b,f是A B满映射，f是A B的双射。
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例 1：
设A {甲，乙，丙，丁}(四个人），B {1, 2,3（} 三套房间）， A与B之间是一个住宿关系。
显然，R {(甲，1),(乙，3),(丁，3),(丙，2)} A B
为A B上的一个二元关系。
例 2：A={矩阵论五班学生}。
显然，均来自于南京的同学关系R是A上的 一个二元关系。
M x x 所具的特征
例: 整数集合 Z x x N 或 x N
有理数集
Q
p q
pZ, q N,
p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
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南航矩阵论第一章
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
Y 的子集 f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
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f D
手电筒
映射f D
D1
D1
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1.1.2 二元关系与等价关系
定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对 的集合 {(a,b) | a A,b B} 为A与B 的笛卡 儿积，记作 A B ，即
A B {(a,b) | a A,b B}
记
特例: R R
R2
为平面上的全体点集
B AB
A
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是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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第1章 线性空间与内积空间
第2章 线性映射与线性变换
第3章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章 矩阵的因子分解 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵 第6章 范数与极限 第7章 矩阵函数与矩阵值函数 第8章 广义逆矩阵
定义1.1.3 设A、B是两个集合，A B 的子集
R 称为 A B 中的一个二元关系，即按某种
规定，定义了一个有序对(a,b)的集合R，
其中a A,b B. 记为：aRb.
特别地，A A 中的二元关系简称为A上的
二元关系。
实质：二元关系是描述两个集合之间元素与元素 的关系或者是一个集合内部两个元素之间的关系， 它是满足某种规律的有序对全体。