沭阳县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

沭阳县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知数列，则5是这个数列的（）
A．第12项B．第13项C．第14项D．第25项
2．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（）
A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
4．若数列{a n}的通项公式a n=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*），{a n}的最大项为第p项，最小项为第q项，则q﹣p等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）
A．B．C．D．
6．平面α与平面β平行的条件可以是（）
A．α内有无穷多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β
C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何直线都与β平行
7．图1是由哪个平面图形旋转得到的（）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 双曲线E 与椭圆C ：x 29＋y 2
3＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
为π，则E 的方程为（ ） A.x 23－y 2
3＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.x 25－y 2
＝1 D.x 22－y 2
4
＝1 9． 若⎩⎨
⎧≥<+=-)2(,2)
2(),2()(x x x f x f x
则)1(f 的值为（ ） A ．8 B ．8
1 C ．
2 D ．21
10．若直线y=kx ﹣k 交抛物线y 2=4x 于A ，B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则|AB|=（ ） A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
11．设集合,,则( )
A B
C
D
12．设实数
，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．a ＜b ＜c
二、填空题
13．S n =
+
+…+
= ．
14．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为 ．
15．若命题“∀x ∈R ，|x ﹣2|＞kx+1”为真，则k 的取值范围是 ．
16．设抛物线2
4y x =的焦点为F ，,A B 两点在抛物线上，且A ，B ，F 三点共线，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P ，若3
2
PF =
，则M 点的横坐标为 . 17．如图是函数y=f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间（﹣2，1）内f （x ）是增函数； ②在区间（1，3）内f （x ）是减函数； ③在x=2时，f （x ）取得极大值； ④在x=3时，f （x ）取得极小值． 其中正确的是 ．
18．如果直线3ax+y ﹣1=0与直线（1﹣2a ）x+ay+1=0平行．那么a 等于 ．
三、解答题
19．已知和均为给定的大于1的自然数，设集合
，，，...，，集合
..。

，，，，...，.
（1）当，时，用列举法表示集合
；
（2）设、，
..。

，
..。

，其中
、
，，，...，
.证明：若
，则
.
20．设函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f （x+2）=﹣f （x ），当x ∈[0，2]时，f （x ）=2x ﹣x 2．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．
21．已知一个几何体的三视图如图所示．
（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
22．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），抛物线上一点Q（m，）到焦点的距离为1．
（Ⅰ）求抛物线C的方程
（Ⅱ）设过点M（0，2）的直线l与抛物线C交于A，B两点，且A点的横坐标为n（n∈N*）
（ⅰ）记△AOB的面积为f（n），求f（n）的表达式
（ⅱ）探究是否存在不同的点A，使对应不同的△AOB的面积相等？若存在，求点A点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值．
24．已知函数y=f（x）的图象与g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x﹣1）＞f（5﹣x），求x的取值范围．
沭阳县高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】
由题知，通项公式为，令得，故选B
答案：B
2．【答案】D
【解析】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，
∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，
∴sinθ＜0，
∴θ是第四象限角．
故选：D．
【点评】本题考查了象限角的三角函数符号，属于基础题．
3．【答案】A
【解析】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量==（﹣7，﹣4）；
故答案为：A．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．
4．【答案】A
【解析】解：设=t∈（0，1]，a n=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*），
∴a n=5t2﹣4t=﹣，
∴a n∈，
当且仅当n=1时，t=1，此时a n取得最大值；同理n=2时，a n取得最小值．
∴q﹣p=2﹣1=1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5． 【答案】 D
【解析】解：设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，∵点A 为椭圆C 1： +y 2=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=
；
∴|AF 1|+|AF 2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF 1BF 2为矩形，
∴
+
=
，即x 2+y 2=（2c ）2
=
=12，②
由①②得：，解得x=2﹣
，y=2+，设双曲线C
2的实轴长为2m ，焦距为2n ，
则2m=|AF
2|﹣|AF 1|=y ﹣x=2，2n=2c=2，
∴双曲线C 2的离心率e===
．
故选D ．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF 1|与|AF 2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
6． 【答案】D 【解析】解：当α内有无穷多条直线与β平行时，a 与β可能平行，也可能相交，故不选A ．
当直线a ∥α，a ∥β时，a 与β可能平行，也可能相交，故不选 B ．
当直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β 时，直线a 和直线 b 可能平行，也可能是异面直线，故不选 C ．
当α内的任何直线都与β 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行， 故选 D ．
【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质得应用，注意考虑特殊情况．
7． 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，根据旋转体的概念，可知该几何体是由A 选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选A.
考点：旋转体的概念. 8． 【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，
渐近线方程为y ＝±b
a
x ，即bx ±ay ＝0，
由题意得E 的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即
|6b |b 2
＋a
2
＝1，
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝5，
∴E 的方程为x 25－y 2
＝1，故选C.
9． 【答案】B 【解析】
试题分析：()()3
1
1328
f f -===
，故选B 。

考点：分段函数。

10．【答案】C
【解析】解：直线y=kx ﹣k 恒过（1，0），恰好是抛物线y 2
=4x 的焦点坐标， 设A （x 1，y 1） B （x 2，y 2）
抛物y 2
=4x 的线准线x=﹣1，线段AB 中点到y 轴的距离为3，x 1+x 2=6，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8， 故选：C ．
【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
11．【答案】C
【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C 。

12．【答案】A
【解析】解：∵，b=20.1＞20
=1，0＜
＜0.90
=1．
∴a ＜c ＜b ． 故选：A ．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：∵ =
=（
﹣
），
∴S n =
+
+…+
=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）
=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
14．【答案】．
【解析】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角
设边长为1，则B
1
E=B1F=，EF=
∴cos∠EB1F=，
故答案为
【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
15．【答案】[﹣1，﹣）．
【解析】解：作出y=|x﹣2|，y=kx+1的图象，如图所示，直线y=kx+1恒过定点（0，1），结合图象可知k∈[﹣
1，﹣）．
故答案为：[﹣1，﹣）．
【点评】本题考查全称命题，考查数形结合的数学思想，比较基础．
16．【答案】2
【解析】由题意，得2p =，(1,0)F ，准线为1x =-，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线AB 的方程为(1)y k x =-，
代入抛物线方程消去y ，得22
2
2
(24)0k x k x k -++=，所以2122
24k x x k
++=，121x x =．又设00(,)P x y ，则01212112()[(1)(1)]22y y y k x k x k =+=-+-=，所以021x k =，所以212
(,)P k k
．
因为0213
||112
PF x k =+=+=，解得22k =，所以M 点的横坐标为2．
17．【答案】 ③ ．
【解析】解：由 y=f'（x ）的图象可知， x ∈（﹣3，﹣），f'（x ）＜0，函数为减函数；
所以，①在区间（﹣2，1）内f （x ）是增函数；不正确； ②在区间（1，3）内f （x ）是减函数；不正确； x=2时，y=f'（x ）=0，且在x=2的两侧导数值先正后负， ③在x=2时，f （x ）取得极大值； 而，x=3附近，导函数值为正，
所以，④在x=3时，f （x ）取得极小值．不正确． 故答案为③．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．
18．【答案】．
【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，
∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，
经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去
故答案为：．
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】
20．【答案】
【解析】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），
∴y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．
（2）令x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，
∴f（﹣x）=﹣2x﹣x2，
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴在x∈[﹣2，0]，f（x）=2x+x2，
∴x∈[2，4]，那么x﹣4∈[﹣2，0]，那么f（x﹣4）=2（x﹣4）+（x﹣4）2=x2﹣6x+8，由于f（x）的周期是4，所以f（x）=f（x﹣4）=x2﹣6x+8，
∴当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8．
（3）当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．
∴f（0）=0，f（1）=1，
当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8，
∴f（2）=0，f（3）=﹣1，f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0﹣1+0=0，
∵y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．
∴2016=4×504
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×0=0，
即求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0．
【点评】本题主要考查函数周期性的判断，函数奇偶性的应用，综合考查函数性质的应用．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧=×2π×2×2=4π；
S圆柱侧=2π×2×4=16π；
S圆柱底=π×22=4π．
∴几何体的表面积S=20π+4π；
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB===2，
∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得|QF|=y Q+=+=1，解得p=1，
∴抛物线C的方程为x2=2y；
（Ⅱ）（ⅰ）∵直线l与抛物线C交于A、B两点，
∴直线l的斜率存在，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2，
联立方程组，化简得：x2﹣2kx﹣4=0，
此时△=（﹣2k）2﹣4×1×（﹣4）=4（k2+4）＞0，
由韦达定理，得：x1+x2=2k，x1x2=﹣4，
∴S△AOB=|OM|•|x1﹣x2|
=×2
=
=2（*）
又∵A点横坐标为n，∴点A坐标为A（n，），
又直线过点M（0，2），故k==﹣，
将上式代入（*）式，可得：
f（n）=2
=2
=2
=n+（n∈N*）；
（ⅱ）结论：当A点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的△AOB的面积相等．理由如下：
设存在不同的点A m（m，），A n（n，）（m≠n，m、n∈N*），
使对应不同的△AOB的面积相等，则f（m）=f（n），即m+=n+，
化简得：m﹣n=﹣=，
又∵m≠n，即m﹣n≠0，
∴1=，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，
此时A点坐标为（1，），（4，8）．
【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
23．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数的最小正周期为．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
因为，
所以，
所以．
所以．
且当时，取到最大值；
当时，取到最小值．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象过点（4，2），
∴log a4=2，a=2，则g（x）=log2x．…
∵函数y=f（x）的图象与g（X）的图象关于x轴对称，
∴．…
（Ⅱ）∵f（x﹣1）＞f（5﹣x），
∴，
即，解得1＜x＜3，
所以x的取值范围为（1，3）…
【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．。