冲刺60天2012年高考文科数学解题策略(教案)专题三数列与不等式第四节数列与不等式的综合应用

数列与不等式的综合问题是考查的热点和重点内容，近几年，高考关于数列与不等式的综合应用的命题趋势是：
（1）以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇．
（2）以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大．
题型一 数列中的不等关系
例1设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，104≥S ，155≤S ，则4a 的最大值是 . 点拨：数列与不等式的小题，主要是运用基本不等式、不等式的性质、线性规划等求范围或最值．本题明为数列，实为线性规划，着力考查了转化化归和数形结合思想．因约束条件只有两个，本题也可用不等式的方法求解．
解法1：由题意，1143410254515
2
a d a d ⨯⎧+≥⎪⎪⎨
⨯⎪+≤⎪⎩，即11461051015a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩，413a a d =+．
建立平面直角坐标系1a od ，画出可行域11
235
23a d a d +≥⎧⎨
+≤⎩（图略），画出目标函数即直线
413a a d =+，由图知，当直线413a a d =+过可行域内(1,1)点时截距最大，此时目标函
数取最大值44a =．
解法2：前面同解法1
设
111213(23)(2)
a d a d a d λλ+=+++，
由
121221
323
λλλλ+=⎧⎨
+=⎩解得
1213
λλ=-⎧⎨
=⎩，
∴1113(23)3(2)a d a d a d +=-+++
由不等式的性质得：1123523a d a d +≥⎧⎨+≤⎩ 11(23)5
3(2)9
a d a d -+≤-⎧⇒⎨+≤⎩ 11(23)3(2)4a d a d ⇒-+++≤，即
4134a a d =+≤，4a 的最大值是4．
解法3：前面同解法1， ⎪⎩⎪⎨⎧
+-≤+=+-≥+=d
d d a a d d d a a 3)23(3323531414 ∴d a d +≤≤+32354 ∴d d +≤+3235，即1≤d
∴41334=+≤+≤d a ，4a 的最大值是4．
易错点：一方面得出不等式组，之后不知如何运用；另一方面用线性规划求最值时，用错点的坐标．
变式与引申1：
（1）等比数列}{n a 的公比1>q ，第17项的平方等于第24项，求使
n
n a a a a a a 1
112121+
++>
+++ 恒成立的正整数n 的取值范围． （2）（2011年浙江文科卷第19题）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项为)(R a a ∈，且
1
1
a ，
21a ，4
1a 成等比数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）对*
N n ∈，试比较n a a a a 2
322221...111++++与11
a 的大小．
题型二 数列、函数与不等式
例2 已知函数),0(,1
2
)(+∞∈++=
x x x x f ，数列{}n x 满足*+∈=N n x f x n n ),(1，且11=x ．
（1）设2-=n n x a ，证明：n n a a <+1；
（2）设（1）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明2
2<n S ． 点拨：数列与不等式的证明问题常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法：一般是利用分析法分析，再利用综合法证明；(3)放缩法：利用迭代法、累加法、累乘法构建关系进行放缩.
【解】（1）1
2
)12(212211+--=-++=
-=++n n
n n n n x x x x x a 由条件知0>n x 故n n n n a x x a =-<--<+22)12(1 （2）由（1）的过程可知
2)12(2)12(121--<--<-+n n n x x a 11)12(2)12(+-=--<<n n x ，
n n S )12()12()12(2-++-+-< 2
2)
12(11
2=
---<
. 易错点：不易找出放缩的方法，从而无法证明．放缩法可通过对分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的．
变式与引申2： 已知数列}{n a 是首项41=a 的等比数列，其前n 项和为n S ，且423,,S S S 成
等差数列。

（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若),1(||log 2N n n a b n n ∈≥=，设n T 为数列})
1(1
{
2-n b n 的前n 项和，
求证：.4
5<
n T 题型三 数列、解几与不等式
例3 如图，已知曲线11
:,:(*)2
n n
C y C y n N x x -==
∈+．从C 上的点),(n n n y x Q 作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点),(111+++n n n y x Q 设n n n x x a x -==+11,1，
1+-=n n n y y b ．
（1）求点Q 1、Q 2的坐标； （2）求数列}{n a 的通项公式；
（3）记数列}{n n b a 的前n 项和为n S ，求证：3
1<
n S ．
易错点：（1）),(),,(111+++n n n n n n y x Q y x Q 三点坐标之间的关系不易寻找，要充分利用数形结合解决问题．（2）n
n n x x -++=21型递推数列求通项用累加法，求n S 放缩方法不容易找到，
求和就成问题.
变式与引申3：（2011年陕西文科卷）如图，从点1(0,0)P 做x 轴的垂线交曲线x
y e =于点
1(0,1),Q 曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：
1122,;,......;,,n n P Q P Q P Q 记k P 点的坐标为(,0)(1,2,...,)k x k n =.
（Ⅰ）试求1x 与1k x -的关系(2)k n ≤≤
（ Ⅱ）求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++．
题型四 数列与不等式的探索问题
例4设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记
P n
P n+1
O
x
图352--
*4()1n
n n
a b n N a +=
∈-. （I ）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；
（II ）设数列{}n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得4n R k ≥成立？若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由；
（III ）记*
221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都
有32
n T <
； 点拨：数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.也可直接推理判断是否存在. 解（1）当1=n 时，111151,4
=+∴=-a S a . 又
1151,51++=+=+n n n n a S a S 1111
5,4
即
+++∴-==-n n n n n a a a a a ∴数列{}
n a 是首项为114=-a ，公比为14=-q 的等比数列，∴1()4
=-n
n a ，
1
)4(5
4--+
=n
n b （2）不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立. 证
明
：
212
215588(4
)
--
⨯-
+=+
+
=+
-
=-
<-
-
-
-
-
+-+
k k k k k
k
k
k
k
b b
∴当
n 为
偶
数
时，
设
2()n m m N *=∈
∴1234212()()()84n m m R b b b b b b m n -=++++++<=
当n 为奇数时，设21()n m m N *
=-∈ ∴1234232221()()()8(1)4844n m m m R b b b b b b b m m n ---=++++
+++<-+=-=
∴对于一切的正整数n ，都有4n R k < ∴不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立． （
3
）
n
n n n n n n n n n n n n n b b c 1625)16(16254163)16(1625)416)(116(1625145145221221
22=⨯<-⨯+⨯=+-⨯=++-=-=--
又313,321=
=b b ∴3
4
1=c ， 当1=n 时，13
2
T <
，
当
2
n ≥时，
234869240253415161612534)16
1161161(2534232<=+<⨯-⨯+=+++⨯+<-n n n T
易错点：（1）在第二问中对n 不加讨论，导致结论不正确；（2）找不到n c 的放缩技巧，也有可能放得过大而无法证明
变式与引申4：已知数列{}n a 和{}n b 满足1a m =,1n n a a n λ+=+,2439
n n n b a =-+. (Ⅰ) 当1m =时,求证: 对于任意的实数λ,{}n a 一定不是等差数列； (Ⅱ) 当1
2
λ=-
时,试判断{}n b 是否为等比数列. 本节主要考查：数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能. 点评：
（1）数列与不等式作为高中数学代数五大内容的两大核心内容，其在高考试卷中处于核心地位，数列与不等式的综合是高考的重中之重，有数列与不等式的主要交汇，有不等式与函数的重点交叉，数列与函数、数列与数学归纳法、不等式与解析几何的交汇也比较突出．当这些两者甚至三者交汇结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活，对学生的数学思维能力，分析问题和解决问题的能力，计算能力以及数学的思想和方法、数学的素养都有较高的要求． （2）求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：①建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；②首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；③利用条件中的不等式关系确定最值．
（3）探索型问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或探索满足某些条件的对象是否存在，问题增加了许多可变因素，思维指向不明显．探索型问题有：①猜想型，即结论未给出，解题时需要首选探索结论，然后再加以证明；②判断型，即判定符合某种条件的数学对象是否存在或其结论是否成立，解题时常先假设存在，然后求出或导出矛盾．
（4）数列中的不等式问题，一般有放缩，构造函数这两类常见的方法．用放缩法证明不等式有：①利用迭代法构建关系进行放缩；②利用累加法构建关系进行放缩；③利用累乘法构建关系进行放缩；④利用可求和的新数列构建关系进行放缩．而放缩主要是把数列的通项放缩为一个可求和的数列，如放缩为等比、等差或可裂项求和的数列．
习题3－4
1．数列{}n a 的通项公式2n a n kn =+,若此数列满足1n n a a +<(n N *
∈),则k 的取值范围是
A,2k >- B,2k ≥- C,3k ≥- D,3k >- 2．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q , 则q 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．)251,251(++- 3．已知α为锐角，且12tan -=α，
函数)4
2sin(2tan )(2
π
αα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2
1
11n n a f a a ==
+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1.
4．函数)1,(1
2
2≠∈++-=+y N n x n
x x y 的最小值为,,n n b a 最大值为且1
4(),2
n n n c a b =-数列{}n C 的前n 项和为n S ．
（Ⅰ）求数列}{n c 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n d 是等差数列，且n
n S d n c
=+，求非零常数c ； （Ⅲ）若1
()()(36)n
n d f n n N n d ++=
∈+，求数列{()}f n 的最大项．
5．(2011全国理科)设数列{}n a 满足10a =且111
1.11n n
a a +-=--
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1
, 1.n
n n k n k b b S ===<∑记S 证明：
【答案】
故通项公式.n a na =
（Ⅱ）解：记2
2222111
,2n n
n n T a a a a a =
+++
=因为
所以2
11(1())
111111122()[1()]12222
12
n n n n T a a a -=
+++=⋅=--
从而，当0a >时，11n T a <
；当1
10,.n a T a <>时
变式与引申2：
解：设数列}{n a 的公比为q
（1）若1=q ，则16,8,12423===S S S
显然423,,S S S 不成等差数列，与题设条件矛盾，所以q ≠1
由423,,S S S 成等差数列，得q q a q q a q q a --+--=--1)
1(
1)1(1)1(2413121
化简得（舍去），或12,022
=-=∴=-+q q q q
∴11
)2()
2(4+--=-=n n n a （2）证：1|)2(|log ||log 1
22+=-==+n a b n n n
当n ≥2时，
])
1(1
)1(1[21)1()1(1)1(11)1(12
32+--=+-=-<=-n n n n n n n n n n b n n
3
331
2111n
T n +⋅⋅⋅++=
11111111[()]()]212232334(1)(1)n n n n <+-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯-+
=1+4
5
21211])1(121[
21=⨯+<+-n n
变式与引申3：
【解】（Ⅰ）设
11(,0)k k P x --，由x
y e '=得1
11(,)k x k k Q x e ---点处
切线方程为
111()k k x x k y e e x x ----=-
由0y =得11(2)k k x x k n -=-≤≤。

（ Ⅱ）110,1k k x x x -=-=-，得(1)k x k =--，
(1)k
x k k k PQ e
e --== 112233...n n n S PQ PQ PQ PQ =++++
112(1)
111 (11)
n n
n e e e e e e
e e ---------=++++==--
变式与引申4：
【解析】（Ⅰ）当1m =时, 22)1(,1,12
321++=++=+==λλλλλa a a
假设{}n a 是等差数列,由1322a a a +=得)1(232
+=++λλλ,0<∆ ， 方程无解.
故对于任意的实数λ,{}n a 一定不是等差数列.
（Ⅱ）当12λ=-
时,112n n a a n +=-+.而2439n n n b a =-+,所以112(1)4
39
n n n b a +++=-+ 12(1)4()239n n a n +=-+-+=121241()2392392
n n n n n a a b =-+-=--+=-.
又1242399
b m m =-+=- . 故当2
9m =
时, {}n b 不是等比数列. 当29m ≠时, {}n b 是以29m -为首项,1
2
-为公比的等比数列.
习题3－4
1. 答案D 解析：1由1(21)0n n a a n k +-=++>,*n N ∈恒成立,有30k +>,得3k >-.
2. 【答案】D 解析： 设三边为2
,,,a aq aq 则222a aq aq a aq aq aq aq a ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即22210
1010q q q q q q ⎧--<⎪-+>⎨⎪+->⎩
得112211,22q q R q q ⎧+<<⎪⎪⎪
∈⎨⎪
-+--⎪><⎪⎩
或
，即1122q -++<< 3：解：⑴1)12(1)
12(2tan 1tan 22tan 2
2=---=-=ααα 又∵α为锐角 ∴42πα= ∴1)4
2sin(=+πα x x x f +=2
)(
⑵ n n n a a a +=+2
1 ∵2
11=a ∴n a a a ,,32都大于0
∴02
>n a ∴n n a a >+1
36
6""1
().
49n n n f n =
==∴当且仅当即时取的最大值为
5.解： (I) 1
{
}1n
a -是公差为1的等差数列， 1
11
(1)1.11n n n a a =+-⨯=--
所以1
()n n a n N n
-=
∈*
(II)n b =
=
=
1
(
11n
n k k S b n ===+++-=<∑.
高★考★试╓题∽库。