2025版高考数学全程一轮复习第四章三角函数与解三角形第六节函数y=Asinωx+φ的图象及应用课件

12
度
1
π
D．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长
2
度
答案：D
12
2
cos
2
2
sin
2
(2)[2024·江西赣州模拟]将函数f(x)＝
2x＋
2x图象上的所有
点向左平移φ(φ>0)个单位长度(纵坐标不变)后得到函数g(x)＝cos4x－
sin4x的图象，则φ的最小值为(
)
由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？
π
6
π
6
π
2
π
3
解析：因为f(x)＝2sin (2x＋ )＝2cos (2x＋ − )＝2cos (2x－ )，
π
3
π
3
将y＝cos x的图象上所有点向右平移 个单位长度，得到函数y＝cos (x－ )的图
π
3
1
2
象，再将y＝cos (x－ )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得
题后师说
三角函数模型的应用体现在两个方面：一是已知函数模型求解数学
问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知
识解决问题．
巩固训练3
π
(1)[2024·河北衡水模拟]将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移 个单位长
4
度后得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于g(x)说法正确的是(
π
π
点间的距离为 ，且f(－ )＝－2，则φ＝________．
2
8
π
答案：－
4
1 2π π
解析：由题意知 · ＝ ，∴ω＝2.
2 ω
2
π
π
∵f(－ )＝2sin (－ ＋φ)＝－2，
8
4
π
又∵φ∈(－π，0)，∴φ＝－ .
4
课堂互动探究案
1.了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义．
2．能画出y＝A sin (ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变
2
答案：－
6
3
2
题后师说
利用三角函数图象解决方程的根或零点问题的方法
(1)研究函数y＝A sin (ωx＋φ)在给定区间上零点个数问题时，仍然采
用整体换元的方法，将ωx＋φ作为一个整体，结合函数的周期性确定
ωx＋φ的范围，从而解决问题．
(2)将方程的根转化为两函数图象的交点问题，结合三角函数的周期
中平移的长度一致．( × )
1
(3)将函数y＝2sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐
x
的图象．( ×
2
2
标不变，得函数y＝2sin
)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点
的值与最低点的值确定的．( √ )
π
(x＋ )图象上所有点的横坐标伸长到
6
2．(教材改编)将函数f(x)＝sin
例 3 (多选)[2024·山东潍坊模拟]将函数y＝sin 2x＋ 3cos 2x的图象向
π
左平移 个单位，得到y＝f(x)的图象，则(
)
12
A．f(x)是奇函数
B．f(x)的周期为π
π
C．f(x)的图象关于点( ，0)对称
4
D．f(x)的单调递增区间为 kπ −
答案：BCD
π
，kπ
2
(k∈Z)
题后师说
山车到达最高点P，t＝10 s时，过山车到达最低点Q.
π
(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|< )，下列结论正确的是
2
设h(t)＝A sin
(
)
A.函数h(t)的最小正周期为12
π
B．φ＝
6
C．t＝14 s时，过山车距离地平面40 m
D．一个周期内过山车距离地平面低于20 m的时间是4 s
答案：ACD
为突破口．
巩固训练2
π
[2024·广东佛山模拟]已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< )
2
的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________________．
π
3
答案：f(x)＝2sin (2x＋ )
题型三 三角函数图象、性质的综合应用
角度一 图象与性质的综合应用
递增)代入求φ的值，应令ωx2＋φ＝2kπ(k∈Z)，应注意区分，不能笼统地令ωx＋φ
＝kπ(k∈Z)．
π
(ωx＋ )的
3
【问题2】 由函数y＝sin ωx(ω>0)的图象得到函数y＝sin
图象，需要经过怎样的变换？将函数y＝sin (x＋φ)图象上所有点的横
1
坐标变为原来的2倍，得到的图象对应的函数解析式是y＝sin ( x＋φ)
π
π
到函数y＝cos (2x－ )的图象，再将y＝cos (2x－ )上所有点的纵坐标伸长到原来的
3
3
π
π
2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos (2x－ )的图象，即为f(x)＝2sin (2x＋ )的图象．
3
6
题后师说
作函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象常用的方法
巩固训练1
π
(1)[2024·黑龙江双鸭山模拟]为了得到y＝cos (2x＋ )的图象，可以将函数y＝
6
cos x的图象(
)
1
π
A．每个点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长
2
6
度
π
B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长
6
度
π
C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位长
原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数表达式为(
π
π
A．y＝sin (2x＋ ) B．y＝sin (2x＋ )
C．y＝sin
6
1
π
( x＋ )
2
6
D．y＝sin
)
3
1
π
( x＋ )
2
12
答案：C
解析：将函数f(x)＝sin
1
2
π
6
π
(x＋ )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
6
不变，得到y＝sin ( x＋ )．故选C.
C．
D．1
3
3
答案：D
2
2
3
题后师说
根据三角函数图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下
三个方面考虑：
(1)根据最大值或最小值求出A的值．
(2)根据周期求出ω的值．
(3)求φ的常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点的坐标
代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代
入．②五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作
要找五个特征点
ωx＋φ
0
x
0－
____
ω
y＝A sin (ωx＋φ)
0
π
π
2
－
____
ω
A
π－
____
ω
0
2π
3π
2
－
____
ω
－A
2π－
ω
____
0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象
的两种途径
【常用结论】
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下
3
4x的
12
π
B．向右平移 个单位长度
3
π
C．向左平移 个单位长度
3
π
D．向右平移 个单位长度
12
答案：D
π
π
π
解析：y＝sin (4x－ )＝sin 4(x－ )，因此将函数y＝sin 4x的图象向右平移 个
3
12
12
单位．故选D.
5．(易错)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的相邻两个零
4
x
7π
x
π
A．sin ( − )
B．sin ( + )7π
π
C．sin (2x－ ) D．sin (2x＋ )
12
12
答案：B
3
)
2．函数y＝sin (ωx＋φ)(x∈R，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图，
则(
)
π
π
π
π
A．ω＝ ，φ＝
B．ω＝ ，φ＝
2
4
π
π
C．ω＝ ，φ＝
4
4
2
2
2
关键能力·题型剖析
题型一 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
π
例 1 已知函数f(x)＝2sin (2x＋ )．
6
(1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
【变式练习】 本例条件不变，第(2)问改为：函数y＝f(x)的图象可
7π
3π
A．
B．
8
π
C．
2
4
π
D．
8
答案：D
2
cos
2
π
解析：f(x)＝
2x＋
2x＝sin (2x＋ )，g(x)＝cos4x－sin4x＝(cos2x＋
4
π π
−
π
π
2 4
2
2
2
2
2
sin x)(cos x－sin x)＝cos x－sin x＝cos2x＝sin (2x＋ )，所以φ的最小值为 ＝ .
x − 3 ＋a(x＝1，
6
2，3，…，12)来表示，已知6月份的月均温为29℃，12月份的月均温
为17℃，则10月份的月均温为(
)
A. 20℃
B．20.5℃
C．21℃
D．21.5℃
答案：A
(3)将函数f(x)＝2(cos x＋sin x)·cos
g(x)的图象，且当x∈
11π
19π
，
24
12
π
x－1的图象向左平移 个单位得到
还是y＝sin
1
φ
( x＋ )?
2
2
提示：应将函数y＝sin
π
3
2
π
ωx(ω＞0)的图象向左平移 个单位长度才能得到函数y＝
3ω
sin (ωx＋ )的图象；如果将函数y＝sin (x＋φ)图象上所有点的横坐标变为原来的2
倍，得到的图象对应函数解析式是y＝sin
1
1
φ
( x＋φ)，而不是y＝sin ( x＋ )．
第六节
函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念
y＝A sin (ωx＋φ)(A>0， 振幅
ω>0)，x∈[0，＋∞)
A
表示一个振动量时
周期
2π
T＝____
ω
频率
相位
初相
ωx＋φ
____
φ
2.用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，
化的影响．
3．会用三角函数解决一些简单的实际问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 如图所示为函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象．利用零点
代入求φ时，ωx1＋φ，ωx2＋φ取哪些值？
提示：若利用x1这样的零点(图象经过(x1，0)时函数单调递减)代入求φ的值，应
令ωx1＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)；而如果利用x2这样的零点(图象经过(x2，0)时函数单调
3．(教材改编)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一
个周期内的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为____________．
答案：f(x)＝2sin
1
x
2
π
+
4
4．(易错)要得到函数y＝sin
图象(
)
π
A．向左平移 个单位长度
π
(4x－ )的图象，只需将函数y＝sin
3
6
π
5π
D．ω＝ ，φ＝
4
4
答案：C
2π
解析：T＝ 而T＝4×
ω
C.
π
π
π
π
(3－1)＝8，∴ω＝ ；当x＝1时， x＋φ＝ ，∴φ＝ .故选
4
4
2
4
π
(3x－ )，若将y＝f(x)的
10
3．[2024·河南焦作模拟]已知函数f(x)＝cos
2
2
8
故选D.
2
sin
2
题型二 由图象确定y＝A sin(ωx＋φ)的解析式
π
例 2 [2024·辽宁鞍山模拟]函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< )
2
的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到
4
函数g(x)的图象，则g( )＝(
)
1
A．
2
B．
研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元
法和数形结合思想进行解题．
角度二 三角函数的零点(或方程的根)的问题
例 4 [2023·新课标Ⅱ卷]已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直
1
π
线y＝ 与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝ ，则f(π)＝________．
减”．
φ
2．由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移 个单
ω
位长度而非φ个单位长度．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
π
(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移 个单位长度后所得图象的解析式是
π
(2x＋ )．( ×
4
4
y＝3sin
)
(2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”
性，建立不等式组进行求解．
角度三 三角函数模型的简单应用
例 5 (多选)[2024·湖南株洲模拟]如图(1)是一段依据正弦曲线设计安装的
过山车轨道．建立平面直角坐标系如图(2)，h(单位：m)表示在时间t(单位：
s)时，过山车(看作质点)离地平面的高度．轨道最高点P距离地平面50
m．最低点Q距离地平面10 m．入口处M距离地平面20 m．当t＝4 s时，过
24
时，关于x的方程g(x)－a＝0有三个不
等实根，则实数a的取值范围为________．
答案：(－ 2，－1]
1．[2021·全国乙卷]把函数y＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来
1
π
的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数