大学物理：物理实验误差理论

仪器误差（Error of Instrument）
注明 或 最小分度值的一半
单次测量 结果的误差可以取仪器误差； 多次测量 比较其误差和仪器误差，取两者
中较大的为结果的误差。
相对误差（Relative Uncertainty）
平均绝对误差、标准偏差、极限误差、仪器误差等，都是
有单位的，都是绝对误差，现在用 代x 表。
大学物理：物理实验误差理论
实验一 关于测量的基本理论
Exp.1 Basic Knowledge about Measurement
课程任务（Goal of Experiment）
➢培养实践、理论两方面的科学素养
➢培养和提高科学实验能力：准备实验， 使用仪器设备，观察分析判断，记录、 处理、报告实验过程和结果
Standard Deviation，Limited Error
标准偏差：
x
n
2
(xi x)
i 1

n 1
n
(xi )2
i 1
n 1
平均值的标准偏差：

x
n
n
2
(xi x)
i 1

n(n 1)
n
(xi )2
i 1
n(n 1)
根据例1的数据，计算标准偏差
科学计数法：形式 a 10n 1 a 10
有效数字由 a 确定，单位的变化只是引起 n 的变化。 例如：地球的半径可表示为：
r 6.371103km 6.371106m
如何确定测量结果的有效数字?
误差本身也是有效数字，记录测量数据的有效数字的 最后一位应该到误差发生的一位。
L (15.3 0.5)mm
定义相对误差：
E

x x
100 0 0
相对误差是一个很重要的量，它可以比较测量对象不 同时测量的好坏程度。
例如： xA (100 1)cm xB (1000 1)cm
误差的传递（Propagation of Error）
间接测量结果的误差——误差的传递
设 xA、xB 为两个直接测量值， △xA、△xB 为 它们的误差。N 由 xA、xB 求出，△N为其误差
➢培养科学态度和工作作风
课程性质（Feature of Course）
➢ 物理实验是一门独立设置的必修基础课 ➢ 物理实验是系统实验方法和实验技能训
练的开端
课程要求（Requirement of Experiment）
1 预习实验
了解实验原理、方法，仪器使用，实验思 路
预习实验报告 包括实验步骤、电路图、 数据表格等
一些常数，如 、e 、2 、1/2 等，是准确数。要正确处理。
要养成合理取有效数字的习惯，不应该将计算器运算 结果全部记录下来！！
物理实验结果的图示法
Graphical Presentation of Experiment
图示法 简明、直观、形象，还可以对图线进行再处理 A 作图一定要用坐标纸。注意坐标轴、比例等。 B 标点要用适当的符号 x ⊕ ⊙，画线要光滑、清晰。

n
xi yi nx y
b

i 1 n
xi2 nx 2

i 1
a y bx
线性转换是在拟合中经常使用的方法， 变量（Z）的线性转换函数常在下面的“幂阶 梯”中选择：
L Z2,Z,
Z , log Z ,
1 Z
,
1 Z
,
1 Z2
,L
以下函数如何转换为线性函数？
加、减运算 N xA xB
N N (xA xA ) (xB xB) (xA xB) (xA xB)
对加法运算有： N xA xB
其相对误差为：
E N xA xB
N
xA xB
对减法运算有相 似的结论：
N xA xB
xi 落在 x ～ x 区间内的几率为57%
平均值与真值之差落在此区间内的可能性就 更大了！！！
处理后结果的表达形式应为 x ( x x)
对某物体长度测量10次，结果如下：
xi
63.57, 63.58, 63.55, 63.56, 63.56, 63.59, 63.55,63.54, 63.57, 63.57 cm 求测量结果
x x x0
测量值 真值
误差的性质和来源
Properties & Sources of Error
系统误差
(Systematic Error)
特点：方 系 向、规律 统 误 差 来源：仪
器、理论、 个人
偶然误差
(Random Error)
特点：随
偶 机、统计
然 规律
误 差
来源：偶 然性因素
M(103g) 4000
3000
实验名称、图名称、特 征数据、作者、日期等
2000
1000
0
5
10
15
T(s)
注意：目前，有许多计算机作图软件可以应用。但 是手工在坐标纸上仍然需要练习的。
线性拟合（Linear Fitting）
y
yˆ a bx
o
x
对应 xi 有 yˆi a bxi
对误差基本知识的了解与掌握是一个不断 练习、学习的过程，同学们在今后的实验 中要将误差的概念贯彻始终，得到实验的 合理结果。
测量结果的有效数字及数据处理
Significant Figure & Data Processing
有效数字的一般概念
记录数据 对一个测量 L 1.，35其2c误m差为 应记录为 L 1.35cm
解：先求平均值
10
xi
x i1 63.564cm 10
再计算平均绝对误差
10
xi
x i1 0.012 B 0.01cm 10
处理结果表示为 x (63.56 0.01) cm
此结果表示真值基本 63.55cm : 63.57cm
在此范围内
标准偏差 极限误差
y axb y aebx y abx xy c y2 2 px y ax bx2
准备实验使用仪器设备观察分析判断记录处理报告实验过程和结果?培养科学态度和工作作风?物理实验是一门独立设置的必修基础课?物理实验是系统实验方法和实验技能训练的开端课程性质featureofcourse课程要求requirementofexperiment11预习实验了解实验原理方法仪器使用实验思路预习实验报告包括实验步骤电路图数据表格等22进行实验遵守实验室规章制度听从老师的指导正确使用和爱护仪器器材按步骤进行记录过程数据器材等1测量直接测量间接测量单位2测量误差的基本知识误差总是存在与仪器方法条件等等有关测量与误差measurementerror24mmvdl????例如3测量的误差0xxx???测量值真值误差的性质和来源系统误差差特点
1 准确数字与准确数字之间的运算结果仍为准确数字
2 可疑数字与准确数字（或可疑数字）之间的运算结果 为可疑数字
3 运算结果数据的最后只保留一位可疑数字，去掉第二 位可疑数字时用四舍五入法
运算举例：
1.389 17.2 +) 8.64 27.229
17.2 )1.389 )8.64
7.171ຫໍສະໝຸດ 结果为： 1.389 17.2 8.64 27.2 17.2 1.389 8.64 7.2
（1）以算术平均值（Mean Value）表示结 果
n
x0

x
1 n
( x1

x2
L
xn )
xi
i 1
n
（2）平均绝对误差 （Average Absolute Uncertainty）
x ( x1 x x2 x L xn x ) n
n
xi
i1 n

xB xB

EA
EB
规则2 几个直接测量值相乘、除时，其结果的相 对误差为各直接测量值的相对误差之和。
任意函数 N f ( xA , xB L ) 的误差传递公式
对此函数求全微分，将其中的微小变化看成误差， 注意各项误差前的系数要取绝对值（为什么？）。 可得：
N

f xA
gxA
E N xA xB
N
xA xB
误差传递的规则
Formula of Propagation of Error
规则1 几个直接测量值相加、减时，其结果的 绝对误差为各直接测量值的绝对误差之和。
乘、除法。 先看乘法： N xA gxB
N N (xA xA )g(xB xB) xA gxB xA gxB xA gxB xA gxB
换言之：如果某次测量值的误差大于标准偏差的三倍，应 该认为该次测量失败，可以剔除该数据。但是要分析原因
因此将 3 x 看成正常的偶然误差的极限，称为极限误差
正常的测量值一般落在区间 x 3 x ～ x 3 x
标准偏差和平均绝对误 差之间的关系为：
x 1.25x
注意：本课程中一般要求用平均绝对误差或标准 偏差评价数据，同时也要清楚平均值的标准偏差 的物理意义！！
f xB
gxB
L
各直接测量值的误差前的非负系数，叫误差传递系 数。
相对误差为：
E

N N

1 f
(
f xA
gxA

f xB
gxB
L
)

ln f xA
gxA

ln f xB
gxB L
一般地，按如下步骤可求间接测量结果的误差：
① 对函数求全微分 ② 合并同一变量的系数 ③ 各传递系数取绝对值后，将微分号变为误差
4.38 )1.1 0.438 4.38 4.818
结果为： 4.38 1.1 4.8
4.363 121 528
484 440 363 770 726
43
528 121 4.36
两条经验：
1 加减运算，结果保留到参与运算各数都有的那一 位为止。
2 乘除运算，结果的有效数字位数和参与运算各 数中最少的一个相同（或最多再保留一位）。
符号
通过测量圆柱体的直径 D 和高 h ，求圆柱 体体积，并讨论其误差。
解： 根据 V 1 D2h 可得：
4
E V lnV gD lnV gh
V D
h
2 D h Dh
由此可见，在做等精度测量时，直径和高度对结 果误差的影响是不一样的，是与传递系数有关的
0.01cm
定义：有效数字由几位可靠数字和最后一位可疑数字构成。
有效数字的位数是很重要的一个概念，与物理量的单位无关。 例如： 15.3mm 1.53cm 0.0153m 0.0000153km
因此，物理上不存在这样的关系： 15.3 15.30 15.300L
练习：A=15.30 B=15.03 C=0.153 D=1.053 E=0.01530 各有几位有效数字？
对乘法运算有： N xA gxB xBgxA
其相对误差为：
E N (xA gxB xBgxA )
N
xA gxB

xA xA

xB xB

EA

EB
同样，对除法运算有：
N xA xB
E

N N

xA gxB xB gxA xB2
xA xB

xA xA
系统误差、偶然 误差的形象描述 分别对应
➢精密度 Precision ➢准确度 Accuracy ➢精确度 Exactness
还有一种：过失误差——错误(Mistake)
直接测量值偶然误差的估计
Estimate of Random Error of Direct Measurement Data
n
n
令 F (a, b) ( yi yˆi )2 ( yi a bxi )2
i 1
i 1
由 F 0, F 0 a b
得
2

n
i 1 n
(
yi

a

bxi
)

0
2 i1 xi ( yi a bxi ) 0
得

R (31.0 2)
h (83.5 0.17)m
是正确的 是错误的 是错误的
因此，有效数字不能随便增减，所记录的数据的最 后一位应该恰是误差所在的一位。
有效数字的运算
Calculation of Significant Figures
有效数字的运算也是一个误差传递问题。遵循三个规则：
2 进行实验
遵守实验室规章制度 听从老师的指导 正 确使用和爱护仪器器材
按步骤进行 记录过程、数据、器材等
测量与误差（Measurement & Error）
1 测量 直接测量 间接测量 单位
例如


m V

4m
D2L
2 测量误差的基本知识
误差总是存在 与仪器、方法、条件等等有关
3 测量的误差
解：
x

n
2
(xi x)
i 1

n 1
10
2
(xi 63.564)
i 1
10 1
2.040 106 0.015 B 0.02cm 9
处理结果为 x (63.56 0.02)cm
任一次测量值 的误差落在
x ～ x 区间内的几率是 68.3% 3 x ～ 3 x 区间内的几率是 99.7%