等差数列有关性质

等差数列的性质

[概念与规律]

1．等差数列}a {n 具有如下性质：

（1）通项公式：d n a a n )1(1-+=，)N m ,n (d )m n (a a m n *∈-+=；

（2）若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+（其中m 、n 、p 、*∈N q ）。反之未必成立； （3）公差d 的计算方法：① d=n a －1-n a ② d =

1

1--n a a n ③ d =m n a a m

n --

2．在等差数列}a {n 中，序号成等差的项又组成一个等差数列，即l a ，k l a +，k l a 2+，…，1)k -(m +l a ，

mk l a +，…是等差数列，公差为kd 。

3．在等差数列}a {n 中，依次k 个项之和仍组成一个等差数列。即k S ，k k S S -2，k k S S 23-，…，k )l (lk S S 1--，…（2≥k ，*∈N k ）成等差数列。

4．等差数列的判断方法：①定义法：1+n a －n a =d （d 为常数），②),(为常数q p q pn a n +=⇔数列}a {n 是首项为p+q ，公差为p 的等差数列；③等差中项的定义；④前n 项和Sn=An 2+Bn （A ，B 为常数）⇔数列}a {n 是首项为A+B ，公差为2A 的等差数列。 （附：求n a 和n S 都可用待定系数法）

[讲解设计]·重点与难点

例1 （1）已知}a {n 是等差数列，且21512841=+-+-a a a a a ，求133a a +的值。 （2）已知在等差数列}a {n 中，若80a 49=，100a 59=，求79a 。

解 ：

点评 若由已知去求首项1a 与公差d ，则运算量较大。

例2 已知等差数列}a {n 的前n 项和为n S ，且100S 10=，10100=S ，试求110S 。

解法一 因为10S ，1020S S -，2030S S -，…，90100S S -，100110S S -成等差数列，设公差为d ，前

10项的和为：102

9

1010010=⨯+⨯d ，∴22-=d 。

∴前11项的和110)22(2

10

11100112101110011110-=-⨯⨯+⨯=⨯+⨯=d S 。

解法二 设等差数列}a {n 的公差为d ， 则

1)1(2a n d

n S n +-=， ∴数列}n

S {n 成等差数列。 ∴100110100S 110S 1010010S 100S 10011010100--=--， 即10

10010

110S 101001010010010110-=--。 ∴110S 110-=。 解法三 设等差数列}a {n 的公差为d ，

则11012111021110a a a a a a S +++++++=

)]d 10a ()d 10a ()d 10a [()a a a (100211021++++++++++= d 10010S S 10010⨯++=d 10010110⨯+=。

又100d 2910a 10S 110=⨯+=， 10d 2

99

100a 100S 1100=⨯+=。

由10100S 10S -得 1001010d 2

9

100d 299100⨯-=⨯-⨯，

∴22d 100-=。 ∴1101022110S 10-=⨯-=。

点评 解法一是依据等差数列均匀分段求和后组成的数列仍为等差数列；解法二是依据等差数列的前n 项的算术平均数组成的数列仍为等差数列；解法三是利用数列的求和定义及等差数列中两项的关系。熟记等差数列的这些性质常可达到简化解题的目的。

[讲解设计]·思路与方法

例3 已知}a {n 是等差数列，前m 项和为m S =30，前2m 项和为m S 2=100，求前3m 项和m S 3。

例4 在等差数列}a {n 中，12a 3=，0S 12>，0S 13<。（1）求公差d 的取值范围；（2）指出在1S ，

2S ，…，12S 中，哪个值最大，并说明理由。

[练习设计]·识记与理解

1．等差数列}a {n 前n 项的和为n S ，且3S 3=，7S 6=，则9S 的值是（ ）。 A ．12 B ．15 C ．11 D ．8

2．等差数列}a {n 前n 项的和为n S ，且8S 7=，7S 8=，则15S 的值是（ ）。 A ．15 B ．15- C ．0 D ．56-

3．在等差数列}a {n 中，若450a a a a a 76543=++++，则82a a +=( )。 A ．45 B ．75 C ．180 D ．320

4．在等差数列}a {n 中，（1）若m a 7=，n a 14=，则21a =_________； （2）若1a a a 531-=++，则521a a a +++ =________； （3）若836a a a +=，则9S =________；

（4）若a ，x ，y ，b ，z 成等差数列，试用a ，b 表示下列各项：x=_______，y=______，z=______. 5．在等差数列}a {n 中，（1）若20a 11=，则21S =________； （2）若20a a a a 131074=+++，则=16S ________。

6．在等差数列}a {n 中，前n 项和为n S ，若1S 3=，5a a a 987=++，则99S =________。

[练习设计]·巩固与掌握

7．在等差数列}a {n 中，0a 1<，n S 为前n 项和，且163S S =，则n S 取得最小值时n 的值为（ ）。 A ．9 B ．10 C ．9或10 D ．10或11

8．在等差数列}a {n 中，)n m (l S S n m ≠==，则n m 1a a ++等于（ ）。 A ．mnl B ．l )n m (∙+ C ．0 D ．l )1n m (∙-+

9．（1）设等差数列共有10项，其中奇数项之和为12.5，偶数项之和为15，则其首项1a =_______，公差d=________；

（2）在项数为)N n (1n 2*∈+的等差数列中，它的奇数项之和与偶数项之和的比=_______。 10．已知等差数列1，4，7，10，…，试求x 的值，使x 分别满足 （1）1+4+7+…+x=477，x=_________；

（2）(x+1)+(x+4)+(x+7)+…+(x+298)=15950，x=_________；

（3）x ·4x ·7x ·10x ·13x =105x ，x=______。

11．已知等差数列}a {n 的前n 项和为n S ，若1S m =，4S m 3=，试求m 6S 的值。

12．等差数列}a {n 的公差为1，102a a a a 99321=++++ ，试求9963a a a +++ 的值。

[练习设计]·拓展与迁移 13．若等差数列}a {n 的前m 项、前n 项的和分别为m S 和n S ，且m S ：n S =2m ：2n （n m ≠），求证n a ：)1n 2(a m -=：)1m 2(-。

14．在等差数列}a {n 中，公差为d ，84a 4=，前n 项和为n S ，且0S 10>，0S 11<。（1）求d 的取值范围；（2）求 使得0a n <的最小自然数的值；（3）设在集合{1S ，2S ，3S ，…，n S }中，元素的最大值为M ，试求M 的取值范围。

答案：1．A 2．B 3．C 4．（1）m n 2-；（2）3

5

-；（3）0；

（4）3b a 2+，3a b 2+，3a b 4- 5．（1）420；（2）80 6．1089 7．C 8．C

9．（1）21，2

1

；（2）(n+1)：n 10．（1）52；（2）10；（3）0，1± 11．11 12．67 13．略

14．（1）42d 56-<<-；（2）6；（3）630<M<700