等差数列有关性质

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等差数列的性质
[概念与规律]
1.等差数列}a{n具有如下性质:

(1)通项公式:dnaan)1(1,)Nm,n(d)mn(aamn;
(2)若qpmn,则qpmnaaaa(其中m、n、p、Nq)。反之未必成立;

(3)公差d的计算方法:
① d=na-1na ② d=11naan ③ d=mnaamn

2.在等差数列}a{n中,序号成等差的项又组成一个等差数列,即la,kla,kla2,…,1)k-(mla,
mkla
,…是等差数列,公差为kd。
3.在等差数列}a{n中,依次k个项之和仍组成一个等差数列。即kS,kkSS2,kkSS23,…,

k)l(lkSS1

,…(2k,Nk)成等差数列。

4.等差数列的判断方法:①定义法:
1na-n
a
=d(d为常数),②),(为常数qpqpnan数列

}a{

n

是首项为p+q,公差为p的等差数列;
③等差中项的定义;④前n 项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)数列

}a{

n

是首项为A+B,公差为2A的等差数列。 (附:求na和nS都可用待定系数法)

[讲解设计]·重点与难点
例1 (1)已知}a{n是等差数列,且21512841aaaaa,求133aa的值。
(2)已知在等差数列}a{n中,若80a49,100a59,求79a。
解 :

点评 若由已知去求首项1a与公差d,则运算量较大。
例2 已知等差数列}a{n的前n项和为nS,且100S10,10100S,试求110S。
解法一 因为10S,1020SS,2030SS,…,90100SS,100110SS成等差数列,设公差为d,前

10项的和为:10291010010d,∴22d。

∴前11项的和110)22(21011100112101110011110dS。
解法二 设等差数列}a{n的公差为d,
则1)1(2andnSn, ∴数列}nS{n成等差数列。

∴100110100S110S1010010S100S10011010100, 即1010010110S101001010010010110。 ∴110S110。
解法三 设等差数列}a{n的公差为d,
则11012111021110aaaaaaS
)]d10a()d10a()d10a[()aaa(100211021
d10010SS10010
d10010110

又100d2910a10S110, 10d299100a100S1100。

由10100S10S得 1001010d29100d299100,
∴22d100。 ∴1101022110S10。
点评 解法一是依据等差数列均匀分段求和后组成的数列仍为等差数列;解法二是依据等差数列的前
n项的算术平均数组成的数列仍为等差数列;解法三是利用数列的求和定义及等差数列中两项的关系。熟
记等差数列的这些性质常可达到简化解题的目的。
[讲解设计]·思路与方法
例3 已知}a{n是等差数列,前m项和为mS=30,前2m项和为mS2=100,求前3m项和mS3。
例4 在等差数列}a{n中,12a3,0S12,0S13。(1)求公差d的取值范围;(2)指出在1S,
2S,…,12
S
中,哪个值最大,并说明理由。

[练习设计]·识记与理解
1.等差数列}a{n前n项的和为nS,且3S3,7S6,则9S的值是( )。
A.12 B.15 C.11 D.8
2.等差数列}a{n前n项的和为nS,且8S7,7S8,则15S的值是( )。
A.15 B.15 C.0 D.56
3.在等差数列}a{n中,若450aaaaa76543,则82aa=( )。
A.45 B.75 C.180 D.320
4.在等差数列}a{n中,(1)若ma7,na14,则21a=_________;
(2)若1aaa531,则521aaa=________;
(3)若836aaa,则9S=________;
(4)若a,x,y,b,z成等差数列,试用a,b表示下列各项:x=_______,y=______,z=______.
5.在等差数列}a{n中,(1)若20a11,则21S=________;
(2)若20aaaa131074,则16S________。
6.在等差数列}a{n中,前n项和为nS,若1S3,5aaa987,则99S=________。

[练习设计]·巩固与掌握
7.在等差数列}a{n中,0a1,nS为前n项和,且163SS,则nS取得最小值时n的值为( )。
A.9 B.10 C.9或10 D.10或11
8.在等差数列}a{n中,)nm(lSSnm,则nm1aa等于( )。
A.mnl B.l)nm( C.0 D.l)1nm(
9.(1)设等差数列共有10项,其中奇数项之和为12.5,偶数项之和为15,则其首项1a=_______,
公差d=________;
(2)在项数为)Nn(1n2的等差数列中,它的奇数项之和与偶数项之和的比=_______。
10.已知等差数列1,4,7,10,…,试求x的值,使x分别满足
(1)1+4+7+…+x=477,x=_________;
(2)(x+1)+(x+4)+(x+7)+…+(x+298)=15950,x=_________;

(3)x·4x·7x·10x·13x=105x,x=______。
11.已知等差数列}a{n的前n项和为nS,若1Sm,4Sm3,试求m6S的值。
12.等差数列}a{n的公差为1,102aaaa99321,试求9963aaa的值。

[练习设计]·拓展与迁移
13.若等差数列}a{n的前m项、前n项的和分别为mS和nS,且mS:nS=2m:2n(nm),求
证na:)1n2(am:)1m2(。
14.在等差数列}a{n中,公差为d,84a4,前n项和为nS,且0S10,0S11。(1)求d的取
值范围;(2)求 使得0an的最小自然数的值;(3)设在集合{1S,2S,3S,…,nS}中,元素的最
大值为M,试求M的取值范围。

答案:1.A 2.B 3.C 4.(1)mn2;(2)35;(3)0;
(4)3ba2,3ab2,3ab4 5.(1)420;(2)80 6.1089 7.C 8.C
9.(1)21,21;(2)(n+1):n 10.(1)52;(2)10;(3)0,1 11.11 12.67 13.略
14.(1)42d56;(2)6;(3)63043. 等差数列的定义与性质

定义:为常数,aaddaandnnn111()

等差中项:,,成等差数列xAyAxy2



前项和nSaannanndnn
1121

2

性质:是等差数列a

n

()若,则;1mnpqaaaamnpq


()数列,,仍为等差数列;2212aakabnnn

SSSSSnnnnn,,……仍为等差数列;232
()若三个数成等差数列,可设为,,;3adaad

()若,是等差数列,为前项和,则;42121abSTnabSTnnnnmmmm



()为等差数列(,为常数,是关于的常数项为52aSanbnabnnn

0的二次函数)

SSanbnannn的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界
2

项,即:

当,,解不等式组可得达到最大值时的值。adaaSnnnn110000




当,,由可得达到最小值时的值。adaaSnnnn110000





如:等差数列,,,,则aSaaaSnnnnnn1831

123

(由,∴aaaaannnnn12113331

又·,∴Saaaa31322233113


∴·Saanaannnnn12122131218

n27)
44. 等比数列的定义与性质

定义:(为常数,),aaqqqaaqnnnn1110

等比中项:、、成等比数列,或xGyGxyGxy
2


前项和:(要注意)nSnaqaqqqnn111111()()!


性质:是等比数列a

n

()若,则··1mnpqaaaamnpq

(),,……仍为等比数列2232SSSSSnnnnn
45.由求时应注意什么?Sa
nn

(时,,时,)naSnaSSnnn12
111
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?

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