等差数列有关性质

等差数列的性质
[概念与规律]
1．等差数列}a{n具有如下性质：

（1）通项公式：dnaan)1(1，)Nm,n(d)mn(aamn；
（2）若qpmn，则qpmnaaaa（其中m、n、p、Nq）。反之未必成立；

（3）公差d的计算方法：
① d=na－1na ② d=11naan ③ d=mnaamn

2．在等差数列}a{n中，序号成等差的项又组成一个等差数列，即la，kla，kla2，…，1)k-(mla，
mkla
，…是等差数列，公差为kd。
3．在等差数列}a{n中，依次k个项之和仍组成一个等差数列。即kS，kkSS2，kkSS23，…，

k)l(lkSS1

，…（2k，Nk）成等差数列。

4．等差数列的判断方法：①定义法：
1na－n
a
=d（d为常数），②),(为常数qpqpnan数列

}a{

n

是首项为p+q，公差为p的等差数列；
③等差中项的定义；④前n 项和Sn=An2+Bn（A，B为常数）数列

}a{

n

是首项为A+B，公差为2A的等差数列。 （附：求na和nS都可用待定系数法）

[讲解设计]·重点与难点
例1 （1）已知}a{n是等差数列，且21512841aaaaa，求133aa的值。
（2）已知在等差数列}a{n中，若80a49，100a59，求79a。
解 ：

点评 若由已知去求首项1a与公差d，则运算量较大。
例2 已知等差数列}a{n的前n项和为nS，且100S10，10100S，试求110S。
解法一 因为10S，1020SS，2030SS，…，90100SS，100110SS成等差数列，设公差为d，前

10项的和为：10291010010d，∴22d。

∴前11项的和110)22(21011100112101110011110dS。
解法二 设等差数列}a{n的公差为d，
则1)1(2andnSn， ∴数列}nS{n成等差数列。

∴100110100S110S1010010S100S10011010100， 即1010010110S101001010010010110。 ∴110S110。
解法三 设等差数列}a{n的公差为d，
则11012111021110aaaaaaS
)]d10a()d10a()d10a[()aaa(100211021
d10010SS10010
d10010110
。

又100d2910a10S110， 10d299100a100S1100。

由10100S10S得 1001010d29100d299100，
∴22d100。 ∴1101022110S10。
点评 解法一是依据等差数列均匀分段求和后组成的数列仍为等差数列；解法二是依据等差数列的前
n项的算术平均数组成的数列仍为等差数列；解法三是利用数列的求和定义及等差数列中两项的关系。熟
记等差数列的这些性质常可达到简化解题的目的。
[讲解设计]·思路与方法
例3 已知}a{n是等差数列，前m项和为mS=30，前2m项和为mS2=100，求前3m项和mS3。
例4 在等差数列}a{n中，12a3，0S12，0S13。（1）求公差d的取值范围；（2）指出在1S，
2S，…，12
S
中，哪个值最大，并说明理由。

[练习设计]·识记与理解
1．等差数列}a{n前n项的和为nS，且3S3，7S6，则9S的值是（ ）。
A．12 B．15 C．11 D．8
2．等差数列}a{n前n项的和为nS，且8S7，7S8，则15S的值是（ ）。
A．15 B．15 C．0 D．56
3．在等差数列}a{n中，若450aaaaa76543，则82aa=( )。
A．45 B．75 C．180 D．320
4．在等差数列}a{n中，（1）若ma7，na14，则21a=_________；
（2）若1aaa531，则521aaa=________；
（3）若836aaa，则9S=________；
（4）若a，x，y，b，z成等差数列，试用a，b表示下列各项：x=_______，y=______，z=______.
5．在等差数列}a{n中，（1）若20a11，则21S=________；
（2）若20aaaa131074，则16S________。
6．在等差数列}a{n中，前n项和为nS，若1S3，5aaa987，则99S=________。

[练习设计]·巩固与掌握
7．在等差数列}a{n中，0a1，nS为前n项和，且163SS，则nS取得最小值时n的值为（ ）。
A．9 B．10 C．9或10 D．10或11
8．在等差数列}a{n中，)nm(lSSnm，则nm1aa等于（ ）。
A．mnl B．l)nm( C．0 D．l)1nm(
9．（1）设等差数列共有10项，其中奇数项之和为12.5，偶数项之和为15，则其首项1a=_______，
公差d=________；
（2）在项数为)Nn(1n2的等差数列中，它的奇数项之和与偶数项之和的比=_______。
10．已知等差数列1，4，7，10，…，试求x的值，使x分别满足
（1）1+4+7+…+x=477，x=_________；
（2）(x+1)+(x+4)+(x+7)+…+(x+298)=15950，x=_________；

（3）x·4x·7x·10x·13x=105x，x=______。
11．已知等差数列}a{n的前n项和为nS，若1Sm，4Sm3，试求m6S的值。
12．等差数列}a{n的公差为1，102aaaa99321，试求9963aaa的值。

[练习设计]·拓展与迁移
13．若等差数列}a{n的前m项、前n项的和分别为mS和nS，且mS：nS=2m：2n（nm），求
证na：)1n2(am：)1m2(。
14．在等差数列}a{n中，公差为d，84a4，前n项和为nS，且0S10，0S11。（1）求d的取
值范围；（2）求 使得0an的最小自然数的值；（3）设在集合{1S，2S，3S，…，nS}中，元素的最
大值为M，试求M的取值范围。

答案：1．A 2．B 3．C 4．（1）mn2；（2）35；（3）0；
（4）3ba2，3ab2，3ab4 5．（1）420；（2）80 6．1089 7．C 8．C
9．（1）21，21；（2）(n+1)：n 10．（1）52；（2）10；（3）0，1 11．11 12．67 13．略
14．（1）42d56；（2）6；（3）63043. 等差数列的定义与性质

定义：为常数，aaddaandnnn111()

等差中项：，，成等差数列xAyAxy2



前项和nSaannanndnn
1121

2

性质：是等差数列a

n

（）若，则；1mnpqaaaamnpq


（）数列，，仍为等差数列；2212aakabnnn

SSSSSnnnnn，，……仍为等差数列；232
（）若三个数成等差数列，可设为，，；3adaad

（）若，是等差数列，为前项和，则；42121abSTnabSTnnnnmmmm



（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52aSanbnabnnn

0的二次函数）

SSanbnannn的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界
2

项，即：

当，，解不等式组可得达到最大值时的值。adaaSnnnn110000








当，，由可得达到最小值时的值。adaaSnnnn110000










如：等差数列，，，，则aSaaaSnnnnnn1831

123

（由，∴aaaaannnnn12113331

又·，∴Saaaa31322233113


∴·Saanaannnnn12122131218

n27）
44. 等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），aaqqqaaqnnnn1110

等比中项：、、成等比数列，或xGyGxyGxy
2


前项和：（要注意）nSnaqaqqqnn111111()()!


性质：是等比数列a

n

（）若，则··1mnpqaaaamnpq

（），，……仍为等比数列2232SSSSSnnnnn
45.由求时应注意什么？Sa
nn

（时，，时，）naSnaSSnnn12
111
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？