2019-2020学年安徽省蚌埠二中高三(上)期中数学试卷(文科)

2019-2020学年安徽省蚌埠二中高三（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的A，B，C，D
的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号填涂到答
题卡相应位置.
1. 已知全集U＝R，A＝{x|−1<x<2}，B＝{x|x≤1}，C＝{x|x≥2}，则集合C＝
（）
A.A∩B
B.∁U(A∩B)
C.∁U(A∪B)
D.A∪(∁U B)
【答案】
C
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
先求出A∪B＝{x|x<2}，由此能求出集合C＝∁U(A∪B)．
【解答】
∵全集U＝R，A＝{x|−1<x<2}，
B＝{x|x≤1}，C＝{x|x≥2}，
∴A∪B＝{x|x<2}，
集合C＝∁U(A∪B)．
2. 若复数z满足(1−2i)z＝5，则复数z在复平面上的对应点在第（）象限
A.一
B.二
C.三
D.四
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
由复数z满足(1−2i)z＝5，利用复数除法法则求出复数z，复数z在复平面上的对应点
的坐标为(1, 2)，可得结论．
【解答】
因为复数z满足(1−2i)z＝5，
∴z=5
1−2i =5(1+2i)
(1−2i)(1+2i)
=5(1+2i)
12+22
=1+2i，
∴复数z在复平面上的对应点的坐标为(1, 2)，此点位于第一象限，
3. 已知命题p:∃x∈R，使x2+x+1<0；命题q:∀x∈R，都有e x≥x+1．下列结论中正确的是（）
A.命题“p∧q”是真命题
B.命题“p∧￢q”是真命题
C.命题“￢p∧q”是真命题
D.命题“￢p∨￢q”是假命题
【答案】
C
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
数的图象只需看△，命题q 通过求导得f(x)最小值来确定真假． 【解答】
命题P 是假命题；因为x 2+x +1＝(x +1
2)2+3
4>0，所以∀∈R ，x 2+x +1>0． 命题q 是真命题；令f(x)＝e x −x −1， f′(x)＝e x −1，
当x >0时，f′(x)>0，f(x)递增， 当x <0时，f′(x)<0，f(x)递减， f(x)min ＝f(0)＝0， ∴ f(x)≥0，
∴ e x ≥x +1 (x ∈R)， ∴ “￢p ∧q “是真命题．
4. 公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，若其前n 项和为S n ，则S 10＝（ ） A.130 B.220 C.110 D.170 【答案】 A
【考点】
等差数列与等比数列的综合 【解析】
结合等比数列的性质及等差数列的通项公式可求a 1，d ，然后再代入等差数列的求和公式即可求解． 【解答】
由等差数列{a n }，a 3＝8，可得，a 1+2d ＝8，① ∵ a 1，a 3，a 7成等比数列， ∴ a 32=a 1⋅a 7，
∴ (a 1+2d)2=a 1(a 1+6d)② ①②联立可得，a 1＝4，d ＝2， 则S 10＝10×4+45×2＝130．
5. 直线x +y +√2=0截圆x 2+y 2＝4所得劣弧所对圆心角为（ ） A.π
6
B.π3
C.π2
D.2π3
【答案】 D
【考点】
直线与圆的位置关系 【解析】
先解劣弧所对圆心角的一半，就是利用弦心距和半径之比求之． 【解答】
圆到直线的距离为：
√2|2
=1，又因为半径是2，设劣弧所对圆心角的一半为α，cos α＝
0.5，∴ α＝60∘，劣弧所对圆心角为120∘．
6. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：
长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）
现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输
入A=3，a=1．那么在①处应填（）
A.T>2S？
B.S>2T？
C.S<2T？
D.T<2S？
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，即可得出结论．【解答】
解：由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应
填S>2T？．
故选B．
7. 袋子中有四张卡片，分别写有“祖、国、强、盛”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“祖”“国”两个字都取到记为事件A，用随机模拟的方法估计事件A发
生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“祖、国、强、盛”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下
18组随机数：
A.2
9B.5
18
C.1
3
D.7
18
【答案】
C
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
18组随机数中，利用列举法求出事件A发生的随机数有共6个，由此能估计事件A发生的概率．
210，021，001，130，031，103，共6个，
∴估计事件A发生的概率为p=6
18=1
3
．
8. 已知与椭圆x2
18+y2
2
=1焦点相同的双曲线x2
a
−y2
b
=1(a>0, b>0)的左、右焦点分
别为F1，F2，离心率为e=4
3
，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为12，N 为MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）
A.2
3
B.2
C.3
D.4
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
可得|NO|=1
2|MF1|=1
2
(|MF2|−2a)＝6−a，
由椭圆x 2
18+y2
2
=1与双曲线x2
a2
−y2
b2
=1焦点相同，离心率为e=4
3
，可得a即可．
【解答】
如图，可得|NO|=1
2|MF1|=1
2
(|MF2|−2a)＝6−a，
∵双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0, b>0)的离心率为e=4
3
，
∴c
a =4
3
．
∵椭圆x2
18+y2
2
=1与双曲线x2
a2
−y2
b2
=1焦点相同，
∴c=√18−2=4，
∴a＝3，6−a＝3，
9. 已知直线y＝1与函数f(x)＝sin(ωx−π
3
)(ω>0)的相邻两交点间的距离为π，则函数f(x)的单调递增区间为（）
A.[kπ−π
6, kπ+5π
6
](k∈Z) B.[kπ−π
12
, kπ+5π
12
](k∈Z)
C.[kπ+5π
6, kπ+11π
6
](k∈Z) D.[kπ+5π
12
, kπ+11π
12
](k∈Z)
【答案】
B
【考点】
正弦函数的单调性
【解析】
首先求出函数的关系式，进一步利用整体思想的应用求出函数的单调区间．
直线y＝1与函数f(x)＝sin(ωx−π
3
)(ω>0)的相邻两交点间的距离为π，所以函数的最小正周期为π，
所以2π
ω
=π，解得ω＝2，
所以f(x)＝sin(2x−π
3
)，
令−π
2+2kπ≤2x−π
3
≤2kπ+π
2
(k∈Z)，
解得−π
12+kπ≤x≤5π
12
+kπ(k∈Z)，
所以函数的单调递增区间为[−π
12+kπ,5π
12
+kπ](k∈Z)．
10. 函数y=x2ln|x|
|x|
的图像大致是()
A. B.
C. D.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
【解析】
根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．【解答】
解：当x>0时，y=x ln x，y′=1+ln x，
即0<x<1
e 时，函数y单调递减，当x>1
e
，函数y单调递增.
由偶函数的定义可知函数y为偶函数，
观察四个图像，只有D符合.
故选D.
11. 正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧棱长是底面边长的2倍，体积为V1，其外接球的体积为V2，则V2
V1
=()
A.9 4π
B.√6π
C.5√5
12
π D.√6
2
π
【答案】
【考点】
球的体积和表面积
柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】
根据题意设底面边长，进而表示出所有长度，求出长方体体积与外接球半径，即可求出答案． 【解答】
正四棱柱底面是正方形，设边长为a ，则高为2a ，设其外接球半径为R ， 则2R =√a 2+a 2+4a 2=√6a ， ∴ R =
√6
2
a ， ∴ V 1=a ⋅a ⋅2a =2a 3，V 2=4
3πR 3=4
3π⋅6√68
a 3
=√6πa 3，
∴ V
2V 1=
√6π
2
，
12. 已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0 ，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)
x 1−x 2<0
成立，则a 的取值范围是（ ） A.a ∈(0, 1)
B.a ∈[3
4, 1)
C.a ∈(0, 1
3] D.a ∈[3
4, 2)
【答案】
C
【考点】
函数单调性的性质与判断 【解析】
根据条件可知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1
a −2<03a ≤1 ，解出a 的范围即可．
【解答】
∵ f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
<0成立，
∴ f(x)在R 上是减函数，
∴ {0<a <1
a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0 ，解得0<a ≤1
3， ∴ a 的取值范围是(0,1
3]．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
若向量a →
=(2, x)，b →
=(1, 3)，c →
=(4, 2)满足条件(a →
−b →
)⊥c →
，则x ＝________． 【答案】 1
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
根据平面向量的坐标运算与数量积运算，由(a →
−b →
)⊥c →
得出(a →
−b →
)⋅c →
=0，列方程求出x 的值． 【解答】
向量a →
=(2, x)，b →
=(1, 3)，c →
=(4, 2)， 则a →
−b →=(1, x −3)； 又(a →
−b →
)⊥c →
， 所以(a →
−b →
)⋅c →
=0，
即1×4+2(x −3)＝0，解得x ＝1．
函数f(x)＝2x 3+x 在点（1, f(1)）处的切线方程为________． 【答案】
7x −y −4＝0 【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】
求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程； 【解答】
故答案为：7x −y −4＝0．
某校高三年级共有25个班，学校心理咨询室为了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到25，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为60，则抽到的最小编号为________． 【答案】 2
【考点】 系统抽样方法 【解析】
求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号为x ，根据编号和列方程求出x 的值． 【解答】
根据题意知系统抽样的抽取间隔为25÷5＝5； 设抽到的最小编号为x ，
则x +(5+x)+(10+x)+(15+x)+(20+x)＝60， 解得x ＝2．
幂函数f (x )=x a 的图像经过点(2,1
2)，则f (3)=________. 【答案】
13
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
根据题意，由f(1+x)＝f(1−x)结合函数的奇偶性分析可得f(x+4)＝f[(x+2)+2]＝−f(x+2)＝f(x)，即可得函数y＝f(x)为周期为4的周期函数，据此可得f(2019)＝f(−1+2020)＝f(−1)＝−f(1)，结合函数的解析式以及f(1+x)＝f(1−x)，计算可得答案．
【解答】
解：∵f(x)=x a的图像经过点(2,1
2
)，
∴1
2
=2a，
解得a=−1，
∴f(x)=x−1，
∴f(3)=3−1=1
3
.
故答案为：1
3
.
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答；第22，23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必做题：每小题12分，共计60分.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b cos A＝2c−a．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=√3，a＝1，求△ABC的面积．
【答案】
∵2b cos A＝2c−a，
∴由正弦定理得2sin B cos A＝2sin C−sin A，
∴2sin B cos A＝2sin(A+B)−sin A，
∴2sin B cos A＝2sin A cos B+2cos A sin B−sin A，
∴2sin A cos B−sin A＝0，
∵sin A≠0，
∴cos B=1
2
，
又∵角B为三角形的内角，
∴B=π
3
．
根据正弦定理，知a
sin A =b
sin B
，即1
sin A
=√3
sinπ
3
，
∴sin A=1
2
，
又B=π
3
，
∴A∈(0,2π
3
)，
∴A=π
6
，
∴△ABC的面积=1
2ab=√3
2
．
【考点】
正弦定理
【解析】
（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式化简已知等式，可得(2cos B−1)sin A＝0，结合sin A>0得到cos B=1
2
，从而解出B的值．
（2）由已知利用正弦定理可求sin A=1
2
，可求A的值，利用三角形内角和定理可求C的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】
∵2b cos A＝2c−a，
∴由正弦定理得2sin B cos A＝2sin C−sin A，
∴2sin B cos A＝2sin(A+B)−sin A，
∴2sin B cos A＝2sin A cos B+2cos A sin B−sin A，
∴2sin A cos B−sin A＝0，
∵sin A≠0，
∴cos B=1
2
，
又∵角B为三角形的内角，
∴B=π
3
．
根据正弦定理，知a
sin A =b
sin B
，即1
sin A
=√3
sinπ
3
，
∴sin A=1
2
，
又B=π
3
，
∴A∈(0,2π
3
)，
∴A=π
6
，
故C=π
2
，
∴△ABC的面积=1
2ab=√3
2
．
如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2．
（2）求三棱锥B1−ADC1的体积．
【答案】
证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE．∵ABC−A1B1C1是正三棱柱，且AA1＝AB，∴四边形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，
∴DE // A1C．
∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
∴A1C // 平面AB1D；
∵正三棱柱ABC−A1B1C1中，D是BC的中点，∴平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，
∴AD⊥平面B1BCC1，
∴V B
1−ADC1=V A−B
1DC1
=1
3
S△B
1DC1
⋅AD=1
3
×1
2
×2×2×√3=2√3
3
．
【考点】
直线与平面平行
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）连接A1B，交B1A于E，连接DE，证明A1C // DE，进而根据线面平行的判定定理可得结论；
（2）证明AD⊥平面B1DC1，将要求三棱锥条件V B
1−ADC1转化为三棱锥A−B1DC1的体
积V A−B
1DC1
即可．
【解答】
证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE．∵ABC−A1B1C1是正三棱柱，且AA1＝AB，∴四边形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，
∴DE // A1C．
∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
∴A1C // 平面AB1D；
∵正三棱柱ABC−A1B1C1中，D是BC的中点，∴平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，
∴AD⊥平面B1BCC1，
∴V B
1−ADC1=V A−B
1DC1
=1
3
S△B
1DC1
⋅AD=1
3
×1
2
×2×2×√3=2√3
3
．
某地方教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了100名学生进行检测，实行百分制，其中80分以上（包括8认定阅读素养优良，现将得到的成绩按照[50, 60）,[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，图中a＝4b．
（1）求a，b的值；
（2）若本次抽取的样本数据中有40名女生，其中阅读素养成绩优良的有11人，完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为该校阅读素养成绩优良与性别有关？
附：K2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n＝a+b+c+d．
【答案】
由频率分布直方图得：{a=4b
(0.008+a+0.035+0.027+b)×10=1，解得a＝0.024，b＝0.006．
根据题意填写列联表如下，
由表中数据，计算K2=100×(22×29−11×38)2
60×40×33×67
≈0.912<2.706，
所以不能有90%的把握认为该校阅读素养成绩优良与性别有关．
【考点】
独立性检验
【解析】
（1）由频率分布直方图列出关于a、b的方程组，求解即可；
（2）根据题意填写列联表，由表中数据计算K2，对照临界值得出结论．【解答】
由频率分布直方图得：{a=4b
(0.008+a+0.035+0.027+b)×10=1，解得a＝0.024，b＝0.006．
根据题意填写列联表如下，
由表中数据，计算K2=100×(22×29−11×38)2
60×40×33×67
≈0.912<2.706，
所以不能有90%的把握认为该校阅读素养成绩优良与性别有关．
已知椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√6
3
，一个顶点是(0, 1)．
（1）求椭圆的方程；
（2）若坐标原点为O，直线l:y＝x+m交椭圆C于不同的两点A，B，求△AOB面积的最大值．
【答案】
设椭圆的半焦距为c，由题意知b＝1，
且e2=c2
a2=a2−b2
a2
=a2−1
a2
=(√6
3
)2=2
3
，解得a2＝3，
所以所求椭圆方程为x 2
3
+y2=1；
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立{y=x+m
x2
3
+y2=1
，整理得4x2+6mx+3m2−3＝0，
所以x1+x2=−3m
2，x1x2=3m2−3
4
，△＝(6m)2−4×4(3m2−3)>0，即−2<m<2，
又|AB|=√1+1√(−3m
2)2−4×3m2−3
4
=√6
2
√4−m2，
且O到直线l的距离d=
√2
，
所以S=1
2|AB|d=1
2
√6
2
√4−m2⋅
√2
=√3
4
√m2(4−m2)≤√3
4
⋅m2+4−m2
2
=√3
2
，
当仅当m2＝4−m2时，即m＝±√2取“＝”，
所以△AOB 的面积最大值为√32
．
【考点】
直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】
（1）由题意得b ＝1，再结合离心率可求得a 即可；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用根与系数关系表示出△AOB 的面积，再利用重要不等式即可得到最大值． 【解答】
设椭圆的半焦距为c ，由题意知b ＝1， 且e 2=c 2
a 2=
a 2−
b 2a 2
=
a 2−1a 2=(√63)2=2
3，解得a 2＝3，
所以所求椭圆方程为x 2
3+y 2=1； 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =x +m x 2
3
+y 2
=1
，整理得4x 2+6mx +3m 2−3＝0，
所以x 1+x 2=−
3m 2
，x 1x 2=
3m 2−34
，△＝(6m)2−4×4(3m 2−3)>0，即−2<m <2，
又|AB|=√1+1√(−3m 2)2
−4×
3m 2−34
=
√6
2
√4−m 2，
且O 到直线l 的距离d =√2
，
所以S =1
2|AB|d =
12√62
√4−m 2⋅√2
=
√3
4
√m 2(4−m 2)≤
√3
4
⋅
m 2+4−m 2
2
=
√32
， 当仅当m 2＝4−m 2时，即m ＝±√2取“＝”， 所以△AOB 的面积最大值为√3
2．
已知定义在R 上的函数f(x)＝ax 3−e x ，其中a 为大于零的常数．
（1）当a =1
3时，令ℎ(x)＝f ′(x)+e x ，求证：当x ∈(0, +∞)时，ℎ(x)≥2e ln x （e 为自然对数的底数）；
（2）若函数f(x)≤0对x ∈(0, +∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】
证明：当a =1
3
时，f(x)=1
3
x 3−e x ，
∴ f ′(x)＝x 2−e x ，∴ ℎ(x)＝f ′(x)+e x ＝x 2． 令F(x)＝x 2−2e ln x(x >0)，则F ′(x)=2x −
2e x
=
2(x−√e)(x+√e)
x
，
∴ 当0<x <√e 时，F ′(x)<0；当x >√e 时，F ′(x)>0， ∴ F(x)在(0, √e)上单调递减，在(√e, +∞)单调递增， ∴ F(x)min ＝F(√e)＝0，∴ F(x)≥0， ∴ 当x ∈(0, +∞)时，ℎ(x)≥2e ln x ；
∵ 函数f(x)＝ax 3−e x ≤0对x ∈(0, +∞)恒成立，
即a ≤
e x x 对x ∈(0, +∞)恒成立．
令g(x)=e x
x 3(x >0)，则g ′
(x)=
(x−3)e x
x 4
，
∴ 当0<x <3时，g ′(x)<0，g(x)在(0, 3)单调递减； 当x >3时，g ′(x)>0，g(x)在(3, +∞)单调递增， ∴ g(x)min =g(3)=
e 327
，∴ a ≤
e 3
27
，
∴ a 的取值范围为(−∞, e 3
27]．
【考点】
函数恒成立问题 【解析】
（1）根据条件求出ℎ(x)＝x 2，然后构造函数F(x)＝x 2−2e ln x(x >0)，再证明F(x)≥0即可；
（2）函数f(x)≤0对x ∈(0, +∞)恒成立，即a ≤e x
x 3对x ∈(0, +∞)恒成立，构造函数g(x)=
e x x 3
(x >0)，然后求出g(x)的最小值即可得到a 的取值范围．
【解答】
证明：当a =1
3时，f(x)=1
3x 3−e x ，
∴ f ′(x)＝x 2−e x ，∴ ℎ(x)＝f ′(x)+e x ＝x 2． 令F(x)＝x 2−2e ln x(x >0)，则F ′(x)=2x −
2e x
=
2(x−√e)(x+√e)
x
，
∴ 当0<x <√e 时，F ′(x)<0；当x >√e 时，F ′(x)>0， ∴ F(x)在(0, √e)上单调递减，在(√e, +∞)单调递增， ∴ F(x)min ＝F(√e)＝0，∴ F(x)≥0， ∴ 当x ∈(0, +∞)时，ℎ(x)≥2e ln x ；
∵ 函数f(x)＝ax 3−e x ≤0对x ∈(0, +∞)恒成立， 即a ≤e x
x 3对x ∈(0, +∞)恒成立． 令g(x)=e x
x 3(x >0)，则g ′(x)=
(x−3)e x
x 4
，
∴ 当0<x <3时，g ′(x)<0，g(x)在(0, 3)单调递减； 当x >3时，g ′(x)>0，g(x)在(3, +∞)单调递增， ∴ g(x)min =g(3)=e 3
27，∴ a ≤e 3
27， ∴ a 的取值范围为(−∞, e 327]．
（二）选做题：共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =1+mt
y =1−t （m ∈R ，t 为参
数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝−2cos θ．
(Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)若曲线C 上的点到直线l 的最大距离为√5+1，求实数m 的值． 【答案】
（1）由直线l 的参数方程为{x =1+mt
y =1−t （m ∈R ，t 为参数）消去t ，整理得x −1＝
m(1−y)，
得x +my −m −1＝0，
所以直线l 的普通方程为x +my −m −1＝0．
由曲线C 的极坐标方程为ρ＝−2cos θ．整理得x 2+y 2＝−2x ， 转换为(x +1)2+y 2＝1．
（2）曲线C ：(x +1)2+y 2＝1的圆心为C(−1, 0)，半径为r ＝1， 圆心C(−1, 0)到直线l:x +my −m −1＝0的距离为d =√m 2+1
，
若曲线C 上的点到直线l 的最大距离为√5+1， 则d +r =√5+1， 即d +1=
√m 2+1
+1=√5+1，
解得m =1
2．
【考点】
圆的极坐标方程 【解析】
(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用求出结果． 【解答】
（1）由直线l 的参数方程为{x =1+mt
y =1−t （m ∈R ，t 为参数）消去t ，整理得x −1＝
m(1−y)，
得x +my −m −1＝0，
所以直线l 的普通方程为x +my −m −1＝0．
由曲线C 的极坐标方程为ρ＝−2cos θ．整理得x 2+y 2＝−2x ， 转换为(x +1)2+y 2＝1．
（2）曲线C ：(x +1)2+y 2＝1的圆心为C(−1, 0)，半径为r ＝1， 圆心C(−1, 0)到直线l:x +my −m −1＝0的距离为d =√m 2+1
，
若曲线C 上的点到直线l 的最大距离为√5+1， 则d +r =√5+1， 即d +1=
2+1=√5+1，
解得m =1
2．
[选修4-5：不等式选讲]
已知函数f(x)＝|2x +a|+|x −2|（其中a ∈R ）． （1）当a ＝−4时，求不等式f(x)≥6的解集；
（2）若关于x 的不等式f(x)≥5a 2−|2−x|恒成立，求a 的取值范围．
【答案】
当a＝−4时，求不等式f(x)≥6，即为|2x−4|+|x−2|≥6，
∴|x−2|≥2，即x−2≤−2或x−2≥2，
原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．
不等式f(x)≥5a2−|2−x|，即|2x+a|+|x−2|≥5a2−|2−x|，
即关于x的不等式|2x+a|+|4−2x|≥5a2恒成立．
∵|2x+a|+|4−2x|≥|a+4|，
∴|a+4|≥5a2，
∴a+4≥5a2或a+4≤−5a2，
∴−4
≤a≤1或a∈⌀．
5
∴a的取值范围是[−4
,1]．
5
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
（1）将a＝−4代入f(x)中，然后由f(x)≥6，可得|x−2|≥2，解出不等式即可；（2）不等式f(x)≥5a2−|2−x|恒成立，即不等式|2x+a|+|4−2x|≥5a2恒成立，根据|2x+a|+|4−2x|≥|a+4，得到|a+4|≥5a2，然后解关于a的不等式可得a取值范围．
【解答】
当a＝−4时，求不等式f(x)≥6，即为|2x−4|+|x−2|≥6，
∴|x−2|≥2，即x−2≤−2或x−2≥2，
原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．
不等式f(x)≥5a2−|2−x|，即|2x+a|+|x−2|≥5a2−|2−x|，
即关于x的不等式|2x+a|+|4−2x|≥5a2恒成立．
∵|2x+a|+|4−2x|≥|a+4|，
∴|a+4|≥5a2，
∴a+4≥5a2或a+4≤−5a2，
∴−4
≤a≤1或a∈⌀．
5
∴a的取值范围是[−4
,1]．
5。