虚位移原理
虚位移原理的定义
虚位移原理的定义虚位移原理是力学中的一个重要概念，用于描述刚体在平衡状态下受到外力作用时的力学特性。
在物理学中，虚位移原理是一个基本原理，能够帮助我们解决各种力学问题。
虚位移原理的基本概念是，当一个刚体在平衡状态下受到外力作用时，其位移满足虚位移原理。
虚位移是指刚体在平衡状态下的微小位移，它不改变刚体的形状和结构，只是在力学分析中假设的一个方便的概念。
虚位移原理的基本内容是：在平衡状态下，刚体受到的合外力对刚体所作的虚功为零。
虚功是指外力对虚位移所作的功，它是一个力和位移的乘积。
根据虚位移原理，当刚体处于平衡状态时，外力对刚体所作的虚功必须为零。
这意味着，在平衡状态下，刚体受到的合外力的作用线必须通过刚体的重心，否则会产生虚功。
虚位移原理的应用非常广泛。
在静力学中，我们可以利用虚位移原理来求解平衡问题，如悬臂梁的受力分析、杆件的静力平衡等。
在动力学中，虚位移原理也可以用来分析刚体的运动，如刚体的平衡和运动学问题等。
虚位移原理的定义为：在平衡状态下，刚体受到的合外力对刚体所作的虚功为零。
这个定义可以帮助我们理解虚位移原理的基本概念和应用。
通过虚位移原理，我们可以简化力学问题的分析，得到更加简洁和准确的结果。
虚位移原理在力学中有着重要的地位，它是力学分析的基础。
虚位移原理的应用不仅仅局限于静力学和动力学，在其他物理学和工程学的领域也有着广泛的应用。
通过理解和掌握虚位移原理，我们可以更好地理解和解决各种力学问题，为实际工程和科学研究提供有力的支持。
虚位移原理是力学中的一个重要概念，用于描述刚体在平衡状态下受到外力作用时的力学特性。
它的定义是，在平衡状态下，刚体受到的合外力对刚体所作的虚功为零。
虚位移原理的应用广泛，可以帮助我们解决各种力学问题，为实际工程和科学研究提供有力的支持。
对于学习力学的人来说，掌握虚位移原理是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和应用力学知识，提高问题解决能力。
虚位移与虚位移原理
虚位移与虚位移原理虚位移与虚位移原理2010-04-22 10：528.2.1虚位移为了便于理解虚位移的概念，现把虚位移和实位移进行对比阐述。
1实位移--位置函数的微分实位移是质点系在微小的时间间隔内实际发生的位移，可用位置函数的微分表示。
设由n个质点组成的完整约束系统，其自由度为k，选取一组广义坐标，则每个点的位置可用其位置矢径表示。
满足该质点系的约束方程，取其微分(8-4)式(8-4)中，是满足约束条件的增量，是系统受不平衡力系作用而实际发生的微小位移，由动力学方程和运动初始条件确定。
由上式得到的不但是约束许可的，而且其大小和方向还满足运动的初始条件，并有一组惟一的值，称为质点系的一组实位移，而称为质点系的一组广义实位移。
2虚位移--位置函数的变分虚位移是质点系在某瞬时发生的一切为约束允许的微小位移，可用位置函数的变分表示。
(8-5)与实位移不同，虚位移是约束许可的，与主动力和运动初始条件无关的，不需要经历时间的假想微小位移。
在某一时刻，质点的虚位移可以有多个。
系统静平衡时，实位移不可能发生，而虚位移则只要约束允许即可发生。
是质点系的一组虚位移，而称为质点系的一组广义虚位移。
在定常约束下，实位移一定是虚位移中的一个。
如图8.6所示单摆，虚位移可为和，而实位移仅为其一。
但在非定常约束下，实位移一般不可能是虚位移中的一个，如图8.2中所示小球，其实位移中，摆长随时间变化，而虚位移是在固定时刻，摆长不变时的位移，二者显然不同。
思考8-3①试画出思考8-1图(a)中质点B以及图(b)中套筒D的实位移和虚位移。
②试画出图8.5中双摆的虚位移。
3虚位移的计算计算质点系中各点的虚位移以及确定这些虚位移之间的关系涉及质点系的位形变化，内容十分广泛。
这里主要针对定常完整约束的刚体系统，介绍通常采用的几何法与解析法。
例8.1试确定图所示曲柄连杆机构中，A，B两点虚位移之间的关系。
解①几何法。
此处可用求实位移的方法来确定各点虚位移之间的关系。
理论力学教学材料-10虚位移原理
弹性力学中的虚位移分析
05
CHAPTER
虚位移原理的扩展与深化
广义虚位移原理
在经典力学中，虚位移是指在平衡状态下，系统内部各质点间的相对位移。广义虚位移原理则将这一概念扩展到整个力学系统，包括外部作用力、约束条件和能量变化等因素。
广义虚位移的求解方法
通过构建广义坐标和广义速度，将问题转化为求解广义动能的变分问题，进而得到系统的平衡条件和运动方程。
理论力学教学材料-10虚位移原理
目录
虚位移原理概述 虚位移原理的基本理论 虚位移原理的推论与结论 虚位移原理的实例分析 虚位移原理的扩展与深化
01
CHAPTER
虚位移原理概述
定义与概念
虚位移原理
在不受外力的情况下，系统的总虚位移为零。
虚位移
系统内各质点在虚设的外力作用下所发生的位移。
虚功
虚位移与实位移的区别与联系
静力学问题
虚位移原理可以用于解决静力学问题，例如求约束反力、分析刚体的平衡等。通过引入虚位移和虚力，可以将静力学问题转化为求解代数方程的问题。
动力学问题
在动力学问题中，虚位移原理可以用于分析系统的运动状态和受力情况。通过引入虚位移和虚力，可以将动力学问题转化为求解微分方程或积分方程的问题。此外，虚位移原理还可以用于求解约束系统的振动问题、稳定性问题等。
虚位移原理在动力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的实例分析
单个刚体的虚位移分析
总结词
在单个刚体的虚位移分析中，我们关注刚体的位置变化和力的作用。
详细描述
首先，我们需要确定刚体的初始位置和最终位置，然后分析在力的作用下刚体的位移变化。这个过程需要考虑到刚体的转动和移动，以及力和位移之间的关系。
第十四章 虚位移原理
xi δxi xi q1 δq1 ,q2 δq2 , ......,qk δqk
利用多元函数的台劳级数展开，并略去二阶以上的微量，
则有：
xi δxi
xq1 ,q2 ,.....,
qk
xi q1
δq1
xi δq2
......
xi δqk
δqk
xi
δxi
xq1 ,q2 ,.....,
约束与约束方程,自由度与广义坐标
1 约束
在静力学中，曾经将限制某物体运动的其它物体称为 约束，约束对被约束物体的作用表现为约束反力。
现在从运动学的观点来看约束的作用，给约束下一广义 的定义：
如一非自由质点系的位置和速度受到某些预定条件的 限制，这种限制条件称为约束。
y 例如，车轮限制在直线轨迹上作无滑动
由此可见，刚体平衡必要充分条件对一般的非自由质点系 统来说就不是充分的。因此，不能只依靠刚体平衡必要充分条 件去解决非自由质点系的平衡问题。
本章介绍虚位移原理，又称为分析静力学。 虚位移原理是非自由质点系平衡的一般规律，它给出了任 一非作自由质点系平衡的必要与充分条件，是解答平衡问题 的最一般的原理。 刚体在力的作用下不变形，在刚体静力学中仅从作用于刚 体上的力系的简化结果就可得出刚体的平衡条件。 由于非自由质点系中各质点间的相对位置可以改变，并且 相对位置的改变又因约束的存在而受到某些限制，问题较为复 杂。必须首先研究约束对质点运动的影响，以及质点系中各质 点所可能发生的位移等。
2 A
yA
2
xB xA
l12 2 yB
yA
2
l22
o
φ 1
L1 A(xA,yA )
L2
约束为完整约束，所以在
理论力学-虚位移原理
第六章 虚位移原理
§6-3 虚位移·自由度
虚位移
虚位移与实位移的区别：
●与实际发生的微小位移（简称实位移）不同，虚位移是纯 粹几何概念，是假想位移，只是用来反映约束在给定瞬时的 性质。它与质点系是否实际发生运动无关，不涉及运动时间、 主动力和运动初始条件。
●虚位移仅与约束条件有关，在不破坏约束情况下，具有任 意性。而实位移是在一定时间内真正实现的位移，具有确定 的方向，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及 运动的初始条件有关。
按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：
1.完整约束和非完整约束
其约束方程的一般形式为
fj( x 1 ,y 1 ,z 1 ;..x n , .y n ;,z n ;x 1 ,y 1 ,z 1 ,..x n. ,y n ;,zn;t)0 (j1,2,...s,)
式中n为系统中质点的个数，s为约束方程的数目。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
虚位移原理是质点系静力学的普遍原理，它将 给出任意质点系平衡的充要条件，这和刚体静力学 的平衡条件不同，在那里给出的刚体平衡的充要条 件，对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并 不是充分的（参阅刚化原理）。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的 平衡。约束的作用在于：
fj(x 1 ,y 1 ,z 1 ;.x .n ,.y n ;,z n ;t) 0 (j1,2,..s.),
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
1. 完整约束和非完整约束
y
A
完整约束
约束方程：
x
yA r
虚位移原理的定义
虚位移原理的定义
在物体的运动中，位移可以由许多因素引起，如外力、惯性、重力等。
虚位移原理的主要思想是将这些因素分离开，然后通过分析每个因素对位
移的贡献，来求解物体的运动方程。
1.确定系统的运动状态：首先，要明确系统的物体以及外部力的情况。
这些可以通过建立物体的坐标系和分析作用力得到。
2.定义虚位移：在给定的运动状态下，假设系统从位置A变化到位置B。
定义系统的虚位移为一个无限小的变化，并使其满足运动约束条件。
这个虚位移可以用一个一般的位移矢量δr来表示。
3.计算虚功：通过分析作用在系统上的外部力，计算出每个力对系统
虚位移的贡献。
这个贡献即代表了力对系统产生的虚功。
4.计算虚力：将虚功除以虚位移，得到一个常数，即为虚力。
这个虚
力与系统的其他因素（如惯性、重力）无关，只与外部力有关。
此外，虚位移原理还可以用于解决静力学、动力学和弹性力学等领域
的问题。
在静力学中，可以通过虚位移原理推导出平衡条件；在动力学中，可以用来分析系统的运动方程；在弹性力学中，可以通过虚位移原理推导
出材料的应力应变关系。
总之，虚位移原理是理论力学中一个十分重要的原理，它具有普遍性
和广泛应用性。
通过应用虚位移原理，我们可以更加简洁和有效地描述和
解决各种力学问题。
虚位移原理
1 1 3 2 Q Q M 0 2 2 4 l
FA 850 N
P
Q
Q
M
rE
A B C D
若求 E处支座反力, 则 系统的虚位移分析如 图示.
FE
l 4
E
q=400N/m , P = 200N .
M = 200 m.N . l = 8m
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
第十五章 虚位移原理
虚位移的英文名词是 virtual displacement . 意 思是‘ 可能的位移’. 不管是‘ 虚’ 也好, 还 是‘ 可能 ’ 也好, 它的力学含义是: 仅为约束 条件所允许的位移.
引言
质点被约束在某一平面上, 其 上有力的作用.
显然, 在此平面上有无限多为 约束所允许的 位移.
FBx B F1'yC F1yG FyG 0
式中 F1 = F1'= kδ0
2 FB l sin k 0 l cos 3k 0 l cos 3 Fl cos 0 FB 3 Fctg k 0 ctg 2
F1
y
在图示坐标下 E
D
F1'
k
yG 3l sin yC l sin x B 2 l cos
ix
·C A θ θ B
( F
FB
x
x i Fiy yi ) 0
yG 3l cos yC l cos x B 2l sin
f ( xi , yi , zi ) 0 或
f ( x, y, z ) 0
2. 虚位移
定义: 在给定瞬时, 质点系在约束条件允许下所能实现的任意假想 的无限小的位移.
理论力学 第11章 虚位移原理
由rA的任意性，得 PQ tg
16
2、解析法 由于系统为单自由度，
可取为广义坐标。
xB lcos , yA lsin xB lsin , yA lcos
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
P1yC P2yD FxB 0 (a) 而 yC acos , yC asin
yD 2acos bcos , yD 2asin bsin xB 2asin 2bsin , xB 2acos 2bcos
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
M
Fh
sin 2
2用虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
va
vC
h sin 2
代入到
M FvC
0,
M
Fh
sin2
3用建立坐标,取变分的方法,有
M F xC 0
xC h cot BC
xC
h sin 2
解得
M Fh
sin 2
6
(二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
理论力学教学材料-10虚位移原理
虚位移原理的基本假设
虚位移原理假设系统内部的所有约束不受到违反或松弛。这是这一原理应用于求解力学问题的前提条件。
虚位移原理的应用
1
受力分析
通过虚位移原理，我们可以更轻松地进行受力分析，理解并求解力学系统中各个 部分的受力情况。
2
平衡条件
虚位移原理帮助我们建立与求解系统的平衡条件，对于分析平衡或运动过程中的 约束非常有用。
培养分析能力
虚位移原理培养学生分析实际问题的能力，使他们能够从力学的角度独立思考与解决工程问 题。
拓展视野
理论力学教学中的虚位移原理可以帮助学生拓展对力学问题的视野，了解力学规律在实践中 的应用。
虚位移原理的实例分析
梁的弯曲
通过虚位移原理，我们可以推 导出梁的弯曲方程，并求解梁 的挠度与受力分布。
简谐摆动
应用虚位移原理，我们可以分 析简谐摆动的运动特性，并推 导出摆长与周期之间的关系。
弹簧质点系统
虚位移原理可用于分析弹簧质 点系统的受力与变形，推导系 统的运动方程与振动频率。
介绍了虚位移原理的概念、应用及实例分析。继续探索理论力学的更多知识， 可以进一步拓展对虚位移原理的理解与应用。
理论力学教学材料-10虚 位移原理
理论力学中的虚位移原理为我们解决实际问题提供了强有力的工具。本节将 介绍虚位移的概念、基本假设以及其在理论力学教学与实际问题中的应用。
虚位移的概念
虚位移是指系统在力学平衡状态下，对每个可变形约束上的广义坐标作微小的假想位移。通过引入虚位 移，我们可以对系统的平衡条件进行分析与求解。
3
能量方法
虚位移原理也可应用于能量方法中，帮助我们推导系统的稳定性与能量守恒等方 面的结论。
虚位移原理与实际问题的联系
虚位移原理
虚位移原理
虚位移原理是波动理论中的重要概念之一，它用来描述波的传播过程中的位移现象。
根据虚位移原理，当波传播到某一位置时，该位置上的物质并不发生实际的位移，而是被波动所“激发”产生了相对于平衡位置的微弱位移现象。
虚位移原理的提出主要是为了解释波动现象中的一些奇特现象，特别是在波的干涉和衍射现象中的一些观察结果。
在干涉现象中，当两个波相遇时，它们会产生明暗相间的干涉条纹。
根据虚位移原理，这些干涉条纹实际上是由波动所引起的位移造成的，而不是由物质实际的位移所引起的。
因此，虚位移原理解释了为什么在干涉实验中物质并没有发生实际的位移。
在衍射现象中，当波通过一个孔或一个边缘时，波会“弯绕”到非直线传播的路径上。
也是根据虚位移原理，我们可以解释为什么波在通过一个小孔时会扩散开来，形成衍射图样。
根据虚位移原理，通过小孔的波通过“弯绕”的方式传播，使得波的幅度在不同位置上有所变化，从而形成了衍射图样。
总的来说，虚位移原理为我们理解波动现象提供了一个重要的概念和解释框架。
它帮助我们解释了很多波动现象中观察到的奇特现象，并在波动理论的发展中起到了重要的作用。
理论力学13虚位移原理
在分析力学中，拉格朗日方程是描述系统动力学的关键方程。通过应用虚位移原理，可以推导出拉格朗日方程的形式和求解方法。
拉格朗日方程的推导
在分析力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的推导过程
定义
01
虚功是系统在虚位移上所做的功，等于作用力与虚位移的点积。
虚功原理表述
02
对于一个处于平衡状态的力学系统，所有外力在任何虚位移上所做的虚功总和为零。
理论与其他物理场的结合
在多物理场问题中，可以将虚位移原理与热力学、电磁学等领域的基本原理结合起来，以解决更为复杂的工程问题。
对理论的发展和推广
THANKS
感谢您的观看。
理论力学13虚位移原理
目录
虚位移原理的概述 虚位移原理的基本概念 虚位移原理的应用 虚位移原理的推导过程 虚位移原理的限制和推广
01
CHAPTER
虚位移原理的概述
虚位移
在理想约束条件下，系统发生的微小位移。
虚位移原理
在平衡状态下，系统所受的外力对任意虚位移所做的总虚功为零。
虚功
在虚位移过程中，作用力对机构所做的功称为虚功。
虚速度和虚加速度的推导
05
CHAPTER
虚位移原理的限制和推广
VS
虚位移原理主要适用于分析力学中，特别是对刚体和弹性体的平衡问题进行分析。
限制条件
虚位移原理仅适用于保守系统，即系统中不存在非保守力（如摩擦力）的情况。同时，该原理假定系统处于平衡状态，对于动态问题不适用。
适用范围
适用范围和限制条件
虚位移原理在工程领域中也有广泛应用，如机构分析、机器人学、车辆动力学等领域。
01
02
虚位移原理——精选推荐
虚位移原理虚位移原理提供了静力学问题的一种全新的解法，它还是分析力学的基础。
虚位移原理是设计用来消除平衡方程中的约束力，主要是用来求解平衡系统的主动力之间的关系或平衡位置。
另外，通过解除约束，将内力或约束力转化为主动力，则虚位移原理也可用来求解内力和约束力，而且这比以前的列平衡方程的常规方法更有效。
一、力的功元功：力在微小位移上所做的功称为元功。
其数学表达式为：t d W v F ∙=δ或r F d W ∙=δ，其中v 和r d 分别为力F 作用点的速度和微小位移。
变力在曲线路径上做的功可以用曲线积分计算。
等效力系做功定理: 等效力系在刚体的位移上所做的功相等。
即：若},,{},,{11m P P F F n =，则∑∑===mj jn i i P W F W 11)()(。
在计算力的功时，为计算方便，可以利用上述定理。
例如：图4-1(a)所示鼓轮上缠绕有柔索，在力F （大小和方向不变）作用下在地面上纯滚动。
计算在轮心沿直线移动S 距离过程中力F 所做的功。
(a) (b) 图4-1由于力F 的作用点的位移不易计算，我们可将F 平移到轮心，同时附加一力偶M (其力偶矩的大小为=M Fr ,如图4－1b 所示）以保持力系等效，即},{}{M F F =。
新的力系},{M F 在轮心沿直线移动S 距离过程中所作的功较易计算：ϕθM FS W +=cos ，其中：ϕ为圆盘轮心移动S 距离时，圆盘转动的角度，即RS ＝ϕ，于是上式可写成cos SW FS Fr R θ=+⋅ 它等于在轮心沿直线位移S 距离过程中力F 所做的功。
返回主目录二、约束及其分类约束：对质点或质点系运动所加的限制。
如某质点被限制在固定曲面上运动,则该质点就是受到了约束。
约束体对被约束体的运动是通过力的作用(称为约束力)来加以限制的,但是约束与受力是应区别对待的两个不同概念,这可以通过下面的例子来区分.(a)(b) (c)图4-2对图4-2中所示的系统：在(a)中，质点A 被固定在刚性杆上并球铰链连接接在固定点o 。
第9章-虚位移原理资料
2. 虚位移关系分析
在非自由质点系中，不同点的虚位移不是完全独立的。独立虚位移的数目与系统的自由度相等。分析不同点的虚位移之间的关系，用独立的虚位移表示各点的虚位移，是运用虚位移原理的关键环节。 常用的方法有几何法、虚速度法与解析法。
解： （1）主动力与相应虚位移的确定：主动力为操纵杆的拉力F与被夹持物体的对夹钳的压力FN与FN′,二者大小相等，方向相反，如图所示。其余皆为理想约束力。
由于操纵杆EO只能水平平移，所以F的作用点O的虚位移为与F的力线一致的dr。由于夹板AD只能绕点D定轴转动，所以FN的作用点的虚位移为与AD垂直的drN。同理可定drN′ 。由对称性可知
物理坐标： x1,y1,z1 ; x2,y2,z2 ; 约束方程： x12+y12 = a2 z1 = 0 z2 = 0 (x2－x1)2+(y2－y1)2 = b2
广义坐标： a , b 坐标变换： x1 = asina , y1 = acosb , x2 = asina+bsinb , y2 = acosa+bcosb
例9-3 图示机构，在力F和力偶M作用下在图示位置平衡，求力F和力偶M对应的虚位移的关系。
解：此机构是一个自由度的系统，所以只有一个独立的虚位移。
dra、dre、drr分别视为点B的va、ve、vr。由速度合成定理，有
即为
而有
所以所求的虚位移关系为
（2）使用虚位移原理：由虚位移原理，有
系统只有一个独立的虚位移，需分析虚位移的关系。
(a)
（3）虚位移关系的分析： 操纵杆EO只能水平平移，所以铰C的虚位移
夹板AD只能绕点D定轴转动，所以夹板上铰B的虚位移
《动力学》第十五章节 虚位移原理
§15–1 约束• 虚位移• 虚功§15–2 虚位移原理第十五章虚位移原理在这本章，将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它应用功的概念分析系统的平衡问题。
从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。
该原理叫做虚位移原理。
它是研究平衡问题的最一般的原理，是解决静力学平衡问题的另一途径；不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，组成了动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍方法，构成了分析力学的基础。
§15-1约束• 虚位移• 虚功平面单摆222lyx=+曲柄连杆机构222ryx AA=+,)()(222==-+-BABABylyyxx例如：即限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。
表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。
（1）几何约束和运动约束1．约束及其分类下面从不同角度对约束分类。
如图所示，质点M 在固定曲面上运动，其曲面方程就是该质点的约束方程，即o),,( z y x f 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
如前述的平面单摆和曲柄连杆机构中的限制条件都是几何约束。
当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束 。
如图所示，车轮作纯滚动。
几何约束r y A = 运动约束 00=-=-ϕω r xr v A A 或 当约束条件与时间有关，并随时间变化时，这类约束称为非定常约束。
（2）定常约束和非定常约束约束条件不随时间改变的约束为定常约束。
定常约束方程中不显含时间，前面的例子中约束条件都是定常约束。
2022)(vt l y x -=+ 例如右图，重物M 由一条穿过固定圆环的细绳系住。
初始时摆长 l 0 , 匀速v 拉动绳子。
约束方程为动力学第十五章虚位移原理非定常约束（3）其他约束若约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束），而且方程不可能积分为有限形式，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，这类约束称为非完整约束。
虚位移原理
虚位移原理
虚位移原理是指在分析物体的运动时，可以把物体的位移看作是由两个独立的分量相互叠加得到的。
这两个分量分别是平移位移和旋转位移。
虚位移原理的应用十分广泛，不仅在物理学中有着重要的地位，而且在工程领域也有着重要的应用。
下面将从物理学和工程领域两个方面来介绍虚位移原理的相关内容。
在物理学中，虚位移原理是描述物体运动的一个重要概念。
在分析物体的运动时，我们可以把物体的位移分解为平移位移和旋转位移。
平移位移是指物体整体上的位移，而旋转位移则是指物体围绕某一点的旋转运动所产生的位移。
通过虚位移原理，我们可以将物体的复杂运动分解为简单的平移和旋转运动，从而更加清晰地理解物体的运动规律。
虚位移原理在刚体力学、动力学等领域有着广泛的应用，为研究物体的运动提供了重要的理论基础。
在工程领域，虚位移原理同样具有重要的应用价值。
例如，在机械设计中，我们经常需要分析机械零件的运动规律，虚位移原理可以帮助我们更好地理解机械零件的运动特性，从而指导设计工作。
此外，在结构分析和材料力学中，虚位移原理也是一个重要的工具，可以帮助工程师们分析结构的受力情况，指导工程设计和施工。
总的来说，虚位移原理是一个十分重要的物理概念，在物理学和工程领域都有着广泛的应用。
通过虚位移原理，我们可以更加深入地理解物体的运动规律，为科学研究和工程实践提供重要的理论支持。
希望本文的介绍能够帮助读者更加深入地理解虚位移原理，并在学习和工作中加以应用。
虚位移原理
例4-6 试求图示组合梁中支座A的约束反力。
F1 A
3m
B M
F2
4m
N
F3
4m
C D
解
8m
8m
11m
7m
11m
1）解除约束 2）虚设位移
sA
d sA A FA
1 Fs 1
a)
B
sM
F2 M
F3 N C D
s2
d s2
3）列虚功方程
ds1
FA sA F1 s1 F2 s2 F3 0 0
静 力 学
第四章 虚位移原理
盐城工学院力学课程组
第四章 虚位移原理
静
力
学
第一节
虚位移与虚功的概念
第四章 虚位移原理
第二节 虚位移原理
第四章
虚位移原理
虚位移原理是分析静力学的理论基础。
它应用功的概念建立任意质点系平衡的充要条件， 是解决质点系平衡问题的最一般的原理。 虚位移原理是研究静力学问题的另一途径。 对于具有理想约束的物体系统，由于未知的约束反 力不作功，应用虚位移原理求解常比列平衡方程 更方便。
B C
(2) 解除B处约束，代之以反力 FB ，并将其视为主动力。 A 由虚功方程，得
q
M
D
PsB FBsB 2qlsE M
其中
s E
l
A
0
l
l
2l q
C
sB sE
P
B
M
D
代入虚功方程，得
sB
FB
M ( P FB 2ql )sB 0 l
解得
sC
sE
工程力学 第四版 第8章 虚位移原理
n
n
Fi + FNi = 0
i 1
i 1
由于质点系受有理想约束，即
n
FNi δri = 0
i 1
n
则有 δWF = Fi δri = 0 i 1
虚位移原理的充分性证明：
假设质点系受到力系作用时，不处于平衡状态，则作用在
质点系上的某一个主动力 和Fi约束力 在其FNi 相应的虚位
移上所做的虚功必有
第8章 虚位移原理
第8章 虚位移原理
在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体 在力的作用下的平衡问题，但对有许多约束的刚体系而 言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多 的平衡方程，才能求出所要求的未知力。这样做是非常 繁杂的，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必要和 充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必 要条件不是充分条件。
其独立坐标为 ，自由度为 (x,；y)作平面运动yA ,)
k 3
一般情况，设由n个质点组成的质点系，受有s个几何约束，
此完整系统的自由度数为
空间运动的自由度数： k 3n s
平面运动的自由度数： k 2n s
8.1.3 广义坐标
一般情况，设具有理想、双侧约束的质点系，由n个质
f j (x1, y1, z1, , xn , yn , zn ) 0 ( j 1, 2, , s)
式中n为质点系中质点的数目，s为约束方程的数目。
8.1.2 自由度
确定具有完整约束的质点系位置所需独立坐标的数目称为质
点系的自由度数，简称自由度，用k表示。例如，在空间运动
的质点，其独立坐标为 ，(x,自y, z由) 度为 ；在平面k 运 3动的质点，
例如变长度摆，如图所示，绳的约束力在实位移上作
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
任一电荷在静电场中都具有势能,这一势能称为静电势能,简称
电势能。用公式表示为
。即一个电荷在电场中某点的电势
能等于它的电量与电场中该点的电势的乘积。应该指出，一个电荷
在外场中的电势能是属于该电荷与产生电场的电荷系所共有的，是 一种相互作用能，即互势能。所以严格说来，称某个电荷具有多少
电势能是没有意义的，它是一种互势能。
2.电荷系的静电能
设 个静止的点电荷组成一个电荷系。把各带电点电荷从 无限远分离的状态聚集到现在位置时，外力克服电场力所做的功，
定义为电荷系现在状态的静电能（静电势能），也称为相互作用势 能，简称互势能。下面以两个点电荷的相互作用能为例，推导点电 荷系的互能公式。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
解： 方法一，利用
计算
根据高斯定理求得电场强度
故
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
10
方法二：利用
计算
先求出电位分布
故
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
11
3.1.5 静电力 已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电
体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库 仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来 计算静电力。
电磁场与电磁波
1
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
2
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法
虚位移法：假设第i个带电导体在电场力Fi的作用下发生位移 dgi，则电场力做功dA＝Fidgi，系统的静电能量改变为dWe。根据 能量守恒定律，该系统的功能关系为
其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。
具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电
导体的电荷不变。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
由
可求得介质片受到的静电力为
南昌大学编写
由于ε>ε0，所以介质片所
受到的力有将其拉 进电容器的趋势
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
14
此题也可用式
来计算 q不变
设极板上保持总电荷q不变，则
由此可得 由于 同样得到
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
13
例3.1.8 有一平行金属板电容器，
l
极板面积为l×b，板间距离为d，用一块
介质片（宽度为b、厚度为d，介电常数
U0
为ε）部分填充在两极板之间，如图所示。 设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，
x
d b
求介质片所受的静电力。
部分填充介质的平行板电容器
解 平行板电容器的电容为
所以电容器内的电场能量为
4.电场能量密度
静电场最基本的性质是对静止电荷有作用力，一个静电荷对 另一个静电荷具有作用力，实际上是通过静电场这个媒介来实现的。
这表明静电场具有能量，能量存在于整个电场空间。下面导出用电 场强度矢量表示的计算电场能量的公式，从而说明电荷系之间的互 势能、带电体之间的互势能都等于其间存在电场的区域所具有的电 场能。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
8
推证：
由于体积V外的电荷密度ρ＝0，若将上 式中的积分区域扩大到整个场空间，结 果仍然成立。只要电荷分布在有限区域 内，当闭合面S无限扩大时，则有
S ρ＝0
R
ρ
故
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
9
例3.1.7 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电 荷，试求静电场能量。
根据点电荷系的互能公式可得一个带电体的静电自能可由下式计算。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
由于电荷元 为无限小，所以上式积分号内的 为带电体 上所有电荷在电荷元 所在处的电势。积分号下标 V 表示积分
范围遍及该带电体上所有存在电荷分布的区域。
如果电荷是以面密度 为:
的形式分布在曲面 S 上，则上式变
电磁场与电磁波
12
1. 各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统
提供的能量
系统所改变的静电能量
即 2. 各带电导体的电荷不变
不变
此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS＝0，因此
q不变
式中的“－”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
5
设两点电荷相距为 ，令 不动，而 从它所在的位置移 动到无限远时， 所受的电场力 做的功为
这说明当 和 相距 时，它们的相互作用能（互势能） 为
由于
表示 所在点由 所产生的电势，所以
昌大学编写
表示 所在点由 所产生的电势，所
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
合并以上两式，可将
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
3
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
4
3.1.4 静电场的能量 1. 电荷在外电场中的静电势能
写成对称的形式：
同理可得 3 、4 、 … 、n 个点电荷系的互能为：
其中 为 所在处由 以外的其它电荷所产生的电势。
3.电荷体的静电能
如果只考虑一个电荷连续分布的带电体，它的静电能定义为：
设想把该带电体分割成无限多的电荷元，把所有电荷元从现有的集 合状态分散到彼此相距无限远处时，电场力所做的功叫做原来该带 电体的静电能。一个带电体的静电能有时也称自能（自势能）。因 此，一个带电体的静电自能就是组成它的各个电荷元间的静电互能。