虚位移原理
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
根据点电荷系的互能公式可得一个带电体的静电自能可由下式计算。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
由于电荷元 为无限小，所以上式积分号内的 为带电体 上所有电荷在电荷元 所在处的电势。积分号下标 V 表示积分
范围遍及该带电体上所有存在电荷分布的区域。
如果电荷是以面密度 为:
的形式分布在曲面 S 上，则上式变
2.电荷系的静电能
设 个静止的点电荷组成一个电荷系。把各带电点电荷从 无限远分离的状态聚集到现在位置时，外力克服电场力所做的功，
定义为电荷系现在状态的静电能（静电势能），也称为相互作用势 能，简称互势能。下面以两个点电荷的相互作用能为例，推导点电 荷系的互能公式。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
5
设两点电荷相距为 ，令 不动，而 从它所在的位置移 动到无限远时， 所受的电场力 做的功为
这说明当 和 相距 时，它们的相互作用能（互势能） 为
由于
表示 所在点由 所产生的电势，所以
可表示为
。
又由于 以 还可表示为
南昌大学编写
表示 所在点由 所产生的电势，所
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
合并以上两式，可将
虚位移法：假设第i个带电导体在电场力Fi的作用下发生位移 dgi，则电场力做功dA＝Fidgi，系统的静电能量改变为dWe。根据 能量守恒定律，该系统的功能关系为
其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。
具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电
导体的电荷不变。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
12
1. 各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统
提供的能量
系统所改变的静电能量
即 2. 各带电导体的电荷不变
ຫໍສະໝຸດ Baidu
不变
此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS＝0，因此
q不变
式中的“－”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
解： 方法一，利用
计算
根据高斯定理求得电场强度
故
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
10
方法二：利用
计算
先求出电位分布
故
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
11
3.1.5 静电力 已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电
体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库 仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来 计算静电力。
4.电场能量密度
静电场最基本的性质是对静止电荷有作用力，一个静电荷对 另一个静电荷具有作用力，实际上是通过静电场这个媒介来实现的。
这表明静电场具有能量，能量存在于整个电场空间。下面导出用电 场强度矢量表示的计算电场能量的公式，从而说明电荷系之间的互 势能、带电体之间的互势能都等于其间存在电场的区域所具有的电 场能。
由
可求得介质片受到的静电力为
南昌大学编写
由于ε>ε0，所以介质片所
受到的力有将其拉 进电容器的趋势
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
14
此题也可用式
来计算 q不变
设极板上保持总电荷q不变，则
由此可得 由于 同样得到
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
1
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
2
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
8
推证：
由于体积V外的电荷密度ρ＝0，若将上 式中的积分区域扩大到整个场空间，结 果仍然成立。只要电荷分布在有限区域 内，当闭合面S无限扩大时，则有
S ρ＝0
R
ρ
故
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
9
例3.1.7 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电 荷，试求静电场能量。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
3
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
4
3.1.4 静电场的能量 1. 电荷在外电场中的静电势能
电磁场与电磁波
13
例3.1.8 有一平行金属板电容器，
l
极板面积为l×b，板间距离为d，用一块
介质片（宽度为b、厚度为d，介电常数
U0
为ε）部分填充在两极板之间，如图所示。 设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，
x
d b
求介质片所受的静电力。
部分填充介质的平行板电容器
解 平行板电容器的电容为
所以电容器内的电场能量为
任一电荷在静电场中都具有势能,这一势能称为静电势能,简称
电势能。用公式表示为
。即一个电荷在电场中某点的电势
能等于它的电量与电场中该点的电势的乘积。应该指出，一个电荷
在外场中的电势能是属于该电荷与产生电场的电荷系所共有的，是 一种相互作用能，即互势能。所以严格说来，称某个电荷具有多少
电势能是没有意义的，它是一种互势能。
写成对称的形式：
同理可得 3 、4 、 … 、n 个点电荷系的互能为：
其中 为 所在处由 以外的其它电荷所产生的电势。
3.电荷体的静电能
如果只考虑一个电荷连续分布的带电体，它的静电能定义为：
设想把该带电体分割成无限多的电荷元，把所有电荷元从现有的集 合状态分散到彼此相距无限远处时，电场力所做的功叫做原来该带 电体的静电能。一个带电体的静电能有时也称自能（自势能）。因 此，一个带电体的静电自能就是组成它的各个电荷元间的静电互能。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
由于电荷元 为无限小，所以上式积分号内的 为带电体 上所有电荷在电荷元 所在处的电势。积分号下标 V 表示积分
范围遍及该带电体上所有存在电荷分布的区域。
如果电荷是以面密度 为:
的形式分布在曲面 S 上，则上式变
2.电荷系的静电能
设 个静止的点电荷组成一个电荷系。把各带电点电荷从 无限远分离的状态聚集到现在位置时，外力克服电场力所做的功，
定义为电荷系现在状态的静电能（静电势能），也称为相互作用势 能，简称互势能。下面以两个点电荷的相互作用能为例，推导点电 荷系的互能公式。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
5
设两点电荷相距为 ，令 不动，而 从它所在的位置移 动到无限远时， 所受的电场力 做的功为
这说明当 和 相距 时，它们的相互作用能（互势能） 为
由于
表示 所在点由 所产生的电势，所以
可表示为
。
又由于 以 还可表示为
南昌大学编写
表示 所在点由 所产生的电势，所
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
合并以上两式，可将
虚位移法：假设第i个带电导体在电场力Fi的作用下发生位移 dgi，则电场力做功dA＝Fidgi，系统的静电能量改变为dWe。根据 能量守恒定律，该系统的功能关系为
其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。
具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电
导体的电荷不变。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
12
1. 各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统
提供的能量
系统所改变的静电能量
即 2. 各带电导体的电荷不变
ຫໍສະໝຸດ Baidu
不变
此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS＝0，因此
q不变
式中的“－”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
解： 方法一，利用
计算
根据高斯定理求得电场强度
故
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
10
方法二：利用
计算
先求出电位分布
故
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
11
3.1.5 静电力 已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电
体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库 仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来 计算静电力。
4.电场能量密度
静电场最基本的性质是对静止电荷有作用力，一个静电荷对 另一个静电荷具有作用力，实际上是通过静电场这个媒介来实现的。
这表明静电场具有能量，能量存在于整个电场空间。下面导出用电 场强度矢量表示的计算电场能量的公式，从而说明电荷系之间的互 势能、带电体之间的互势能都等于其间存在电场的区域所具有的电 场能。
由
可求得介质片受到的静电力为
南昌大学编写
由于ε>ε0，所以介质片所
受到的力有将其拉 进电容器的趋势
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
14
此题也可用式
来计算 q不变
设极板上保持总电荷q不变，则
由此可得 由于 同样得到
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
1
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
2
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
8
推证：
由于体积V外的电荷密度ρ＝0，若将上 式中的积分区域扩大到整个场空间，结 果仍然成立。只要电荷分布在有限区域 内，当闭合面S无限扩大时，则有
S ρ＝0
R
ρ
故
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
9
例3.1.7 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电 荷，试求静电场能量。
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
3
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
南昌大学编写
高等教育出版社出版
电磁场与电磁波
4
3.1.4 静电场的能量 1. 电荷在外电场中的静电势能
电磁场与电磁波
13
例3.1.8 有一平行金属板电容器，
l
极板面积为l×b，板间距离为d，用一块
介质片（宽度为b、厚度为d，介电常数
U0
为ε）部分填充在两极板之间，如图所示。 设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，
x
d b
求介质片所受的静电力。
部分填充介质的平行板电容器
解 平行板电容器的电容为
所以电容器内的电场能量为
任一电荷在静电场中都具有势能,这一势能称为静电势能,简称
电势能。用公式表示为
。即一个电荷在电场中某点的电势
能等于它的电量与电场中该点的电势的乘积。应该指出，一个电荷
在外场中的电势能是属于该电荷与产生电场的电荷系所共有的，是 一种相互作用能，即互势能。所以严格说来，称某个电荷具有多少
电势能是没有意义的，它是一种互势能。
写成对称的形式：
同理可得 3 、4 、 … 、n 个点电荷系的互能为：
其中 为 所在处由 以外的其它电荷所产生的电势。
3.电荷体的静电能
如果只考虑一个电荷连续分布的带电体，它的静电能定义为：
设想把该带电体分割成无限多的电荷元，把所有电荷元从现有的集 合状态分散到彼此相距无限远处时，电场力所做的功叫做原来该带 电体的静电能。一个带电体的静电能有时也称自能（自势能）。因 此，一个带电体的静电自能就是组成它的各个电荷元间的静电互能。