电磁学一3

q q 1 1 4πε 0 r+ U = U+ + U− = − P 4πε 0 r+ r− 1 (−q) U− = 4πε 0 r− l l r+ ≈ r − cos θ , r− ≈ r + cos θ 2 2 r− q 1 1 r r+ U = U+ + U− = r − l cos θ − r + l cos θ 4πε 0 2 2 C q l cos θ O = 2 2 l 4πε 0 r − ( 2 cos θ ) −q θ +q D q l cos θ 1 p cos θ ≈ 4πε 0 r 2 = 4πε 0 r 2 r r ˆ 1 p⋅r r = (p= ql) 2 4πε 0 r U+ = 1
P P Q P
= q0 ∫
r r r r Q r Q r E1 ⋅ d l + q 0 ∫ E 2 ⋅ d l + L + q 0 ∫ E n ⋅ d l
P P
q1 q1 q0 q1 q1 q1 q1 = r − r + r − r + L + r − r 4πε 0 P 1 Q1 P 2 Q 2 Pn Qn
q1 , q2 , L , qn
r r r r E = E1 + E 2 + L + E n
在电场中把试探电荷从P移至 电场力所做的功 在电场中把试探电荷从 移至Q电场力所做的功 移至
APQ = ∫
Q P
r r r r r r Q r Q r F ⋅ d l = q 0 ∫ E ⋅ d l = q 0 ∫ ( E1 + E 2 + L + E n ) ⋅ d l
1eV = 1.60 × 10 −19 C × 1V = 1.60 × 10 −19 J
1keV = 10 3 eV 千 1GeV = 109 eV 吉 1 MeV = 106 eV 兆 1TeV = 1012 eV 太
3. 电位叠加原理
点电荷组
U(P) = ∫ =∫
∞ P
r r r r r ∞ r E ⋅ dl = ∫ ( E 1 + E 2 + L + E k ) ⋅ dl
q
R
U
0 R
r
由电位差计算电场力所作的功
W PQ = APQ = qU PQ = q[U ( P ) − U (Q )]
电位能 的减少 电场力所 做的功
一示波器中阳极A和阴极 之间的电压是3000V， 和阴极K之间的电压是 例: 一示波器中阳极 和阴极 之间的电压是 ， 试求阴极发射的电子到达阳极时的速度， 试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，设电子从阴 极出发时初速为零。 极出发时初速为零。
r ∞ r AP∞ ∞ U ( p ) = U P∞ = = ∫ E ⋅ dl P q0
两点之间电势差可表为两点电势值之差 r ∞ r r Q r r ∞ r r ∞ r r Q r U PQ = ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl P
电位能的减少 W PQ定义为此过程中静电场力对它作的功 r r Q r E W PQ ≡ APQ = q0 ∫ E ⋅ dl
P
P
电位能 的减少
定义
电场力所 做的功
⋅
⋅Q
W PQ 无关， 反映电场本身在P, 两点的性质 与 q0 无关， 反映电场本身在 Q两点的性质 q0
P, Q两点间电位差 两点间电位差 两点间 (电势差、电压 电势差、 电势差 电压)
P P P
∞
P
r ∞r r r r ∞ r E 1 ⋅ dl + ∫ E 2 ⋅ d l + L + ∫ E k ⋅ dl
i
= U1 ( P ) + U 2 ( P ) + L + U k ( P ) = ∑ U i ( P )
Ui (P) = ∫
∞
P
r r E i ⋅ dl =
4πε 0 ri
qi
E=
0
q 4πε 0 r
2
(r < R) (r > R)
U ( r ) = ∫ E dr =
r
∞
∫ ∫
R
r ∞
0 ⋅ dr + ∫ q 4πε 0 r
2
∞
q 4πε 0 r
R
dr = 2 q ,
q 4πε 0 R
,
( r ≤ R)
r
dr =
4πε 0 r
(r ≥ R)
内等电势,等于球壳 球壳内等电势,等于球壳上的 电势。 电势 。 球 壳 外点的电势等于 处于球心的“ 点电荷” 处于球心的 “ 点电荷 ” 在该 点的电势。 点的电势。
电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动， 解: 电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极 K出发到达阳极 A. 静电场力是保守力，按能量守恒 出发到达阳极 静电场力是保守力， 电子到达阳极时获得的动能为
1 m e v 2 = − e U KA = (− 1.60×10 −19 )×(− 3 000) J = 4 .80 × 10 −16 J 2
U PQ
r W PQ APQ Q r ≡ = = ∫ E ⋅ dl P q0 q0
U PQ = ∫
Q
P
r r E ⋅ dl
P, Q两点间电位差：从P点到 点移动单位正电荷时电 两点间电位差 点到Q点移动单位正电荷时电 两点间电位差： 点到 场力所做的功； 场力所做的功；或单位正电荷的电位能差 空间某点的电位数值？ 空间某点的电位数值？ •为了确定某点的值，还需要选择零点 •如带电体系局限在有限大小的空间里，通常选择无 穷远为势能零点, 空间中任一点 P 的电位
r r
3
2 Qa Qb 1 Ra Rb
Q 1 1 Q + Qb 1 Qa Qb ( + ) = a ( − )+ a = 4πε 0 r Rb 4πε 0 Rb 4πε 0 r Rb 1 : r < Ra
Rb
U1 = ∫
∞
r
r r ∞ r r r r Ra r Rb r E ⋅ dl = ∫ E1 ⋅ dl + ∫ E 2 ⋅ dl + ∫ E 3 ⋅ dl
外壳单独存在时
r < Rb : U b内 = r > Rb : U b外 4πε 0 Rb Qb = 4πε 0 r Qb
各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的 电势的叠加
3 : r > Rb 2 : Rb > r > Ra 1 : r < Ra
0, Qa , 2 4πε 0 r Qa + Qb , 2 4πε 0 r
0 < r < Ra Ra < r < Rb r > Rb
∞
3
2 Qa Qb 1 Ra Rb
E=
3 : r > Rb
U3 = ∫
r
r r 1 Qa + Qb E 3 ⋅ dl = 4πε 0 r
2 : Ra < r < Rb r r ∞ r r Rb r ∞ r U 2 = ∫ E ⋅ dl = ∫ E 2 ⋅ dl + ∫ E 3 ⋅ dl
每项均与路径无关，只与位置有关
任意有限大的带电体产生的电场： 任意有限大的带电体产生的电场： 可以将带电体无限分割成微元， 可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点 电荷 ——点电荷组 点电荷组 结论：试探电荷在任何静电场中移动时， 结论：试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所 做的功，只与试探电荷电量的大小及其起点、 做的功，只与试探电荷电量的大小及其起点、终点 的位置有关， 的位置有关，与路径无关 等价表述 Q L1 在静电场中取任意闭合环路L， 在静电场中取任意闭合环路 ，将试 探电荷沿L转一圈回到原地，电场力 探电荷沿 转一圈回到原地， 转一圈回到原地 所做的功为 P
L
静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零 静电场的环路定理 在证明Gauss定理中，说电力必须与 r2 成反比，那么 定理中， 成反比， 在证明 定理中 成反比？ 在环路定理的证明中是否也必须要求与 r2 成反比？ 答：不一定 如弹性力 f=kr 也有类似性质 高斯定理与环路定理完备描述静电场 高斯定理与环路定理完备描述静电场
P ∞
P Q
= U ( P ) − U (Q )
单位： 单位： 1V (伏特）＝ J/C (焦耳 库仑 伏特）＝ 焦耳/库仑 伏特）＝1 焦耳 库仑) 电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与 电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 试探电荷无关， 标量。电势叠加是标量叠加。 试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。 电势零点的选取：无穷远处、大地、 电势零点的选取：无穷远处、大地、电器外壳 地与无穷远的电势差 •实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场，是地 实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场， 实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场 球所带的负电荷和大气中的等离子体产生的 •若以无穷远为势能零点，则地球的电势为U 地 ≈ −5.4 × 108V 若以无穷远为势能零点， 若以无穷远为势能零点
点电荷组的电场中某点的电位，是各个点电荷单独存在 点电荷组的电场中某点的电位， 时的电场在该点的电位的代数和。 时的电场在该点的电位的代数和。 连续带电体
U P = ∫ dU = ∫
dq 4πε 0 r
例：求距电偶极子相当远的地方任一点的电位。已知 求距电偶极子相当远的地方任一点的电位。 电偶极子中两电荷 –q, +q 的距离为 l