江苏省南京师范大学附属实验学校高三第二学期模拟数学试卷

江苏省南京师范大学附属实验学校高三第二学期模拟数学试卷
一．填空题（每题5分，共70分）
1．若(bi
a+)i (R
b
R
a∈
∈,)是实数,则
=
a．
2．命题“对任意R
x∈，都有1
2+
x≥x2”的否定
是．
3．设集合}3
2|)
,
{(=
-
=y
x
y
x
A，}4
2
|)
,
{(=
+
=y
x
y
x
B，则满足B
A
M
⊆的集合M的个数是．
4.若平面向量b
a与
)1
,1(-
=的夹角是180°，且b
b则
,2
2
|
|=等于 .
5．某校有教师200人,男学生1300人,女学生1200人,现用分层抽样的方法从所有师生中取
一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为 .
6．已知函数
3
1
10
log
)
2(
2
-
=
x
x
f，则(5)
f的值
是 .
7.一个正三棱柱的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的
表面积是．
8.下列程序运算后的结果是 .
第7题图第8题
9.若,
6
sin
)
(x
x
f
π
=则=
+
+
+
+)
2009
(
)5(
)3(
)1(f
f
f
f .
10.在数列{}
n
a中，如果对任意*
n N
∈都有21
1
n n
n n
a a
k
a a
++
+
-
=
-
（k为常数），则称{}
n
a为等差比数列，k称为公差比，现给出下列命题：
⑴等差比数列的公差比一定不为0；
⑵等差数列一定是等差比数列；
⑶若32
n
n
a=-+,则数列{}
n
a是等差比数列；
⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比.
其中正确的命题的序号为______________.
11.已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2
，b )，g (x )＞0的解集是(22
a ，2
b )，且b>2a 2,
则f (x )·g (x )＞0的解集是____ _____.
12．设点O 在△ABC 的内部且满足:04=++OC OB OA ，现将
一粒豆子随机撒在△ABC 中，则豆子落在△OBC 中的概率是______________
13.对于非零的自然数n,抛物线1)12()(2
2
++-+=x n x n n y 与x 轴相交于n n B A ,两点,若以|n n B A |表示这两点间的距离,
则|11B A |+|22B A |+|33B A |+ ┅ +|20092009B A | 的值 等于______ ______ 14．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是 边AC 上任一点，连结DE ，F 是线段DE 上一点，连结BF ，设，1λ=DE
DF ，
2λ=AC AE ，且2
1
21=+λλ，记△BDF 的面积为S ＝f (,,21λλ)， 则S 的最大值是
解: 因为△ABC 的面积为1, 2λ=AC
AE ,所以,△ABE 的面积为2λ,因为D 是AB 的中点,所以, △BDE 的
面积为
22λ,因为1λ=DE
DF ,所以△BDF 的面积为321
)2(212122121=+≤λλλλ,当且仅当21λλ=时,
取得最大值.
做到这
二、解答题：
15. 如图A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交
点，A 点的坐标为)5
4,53(，三角形AOB 为正三角形．
（Ⅰ）求COA ∠sin ；
（Ⅱ）求2||BC 的值．（14分）
16.下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面.(14分)
a
a
a
第15题图
O
x
y
B
A C
34(,55
E
D O
C
B
A
（1）请画出四棱锥S-ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA ⊥面ABCD ，E 为AB 中点，求证⊥SEC 面面SCD
17. 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，（15分） （1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积．
18.已知圆C ：224x y +=.（15分）
（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B
两点，若||AB =l 的方程； （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量
OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
a a a a a a A
B
C D
M
N
P
19. 设()2ln q f x px x x
=--，（e 为自然对数的底数）且f （e ）= qe －p
e －2（ 16分） （1）求p 与q 的关系；
（2）若()f x 在其定义域内为单调递增函数，求p 的取值范围； （3）设()2e
g x x
=
且0p >，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x >成立，求实数p 的取值范围。

20. 设不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点（格点即横坐标和纵坐标
皆为整数的点）的个数为f(n)(n ∈N*). （16分） （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；
（2）设b n =2n f(n)，S n 为{b n }的前n 项和，求S n ；
（3）记n
n n f n f T 2
)
1()(+=，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值范围.
答案及详解
一．填空题（每题5分，共70分）
1．若(bi a +)i (R b R a ∈∈,)是实数,则=a ．0
2．命题 “对任意R x ∈，都有12
+x ≥x 2”的否定是 ．
答: 存在R x ∈,使12
+x <x 2
3．设集合}3
2|)
,
{(=
-
=y
x
y
x
A，}4
2
|)
,
{(=
+
=y
x
y
x
B，则满足B
A
M
⊆的集合M的个数是．2
解: )}
1,2
{(
}
4
2
3
2
|)
,
{(=
⎩
⎨
⎧
=
+
=
-
=
y
x
y
x
y
x
B
A ∴∅
=
M或)}
1,2
{(
=
M
4.若平面向量b
a与
)1
,1(-
=的夹角是180°，且b
b则
,2
2
|
|=等于 .(-2,2) 解: b
a,的夹角是180°b
a,
∴共线,∴设)
,
(λ
λ-
=
b, ,2
2
|
|=
b
∴2
2
)
(2
2=
-
+λ
λ,2±
=
∴λ,b
a,
的夹角是180°0
<
∴λ=
∴b(-2,2)
5．某校有教师200人,男学生1300人,女学生1200人,现用分层抽样的方法从所有师生中取
一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为 .180
解:(200+1300+1200)÷
80
1200
=180
6．已知函数
3
1
10
log
)
2(
2
-
=
x
x
f，则(5)
f的值是 .
2
3
解1:令
2
5
=
x,得
2
3
8
log
3
1
2
5
10
log
)
2
5
2(
)5(
2
2
=
=
-
⋅
=
⋅
=f
f
解2:
3
1
5
log
)
(
2
-
=
x
x
f
2
3
8
log
3
1
25
log
)5(
2
2
=
=
-
=
∴f
7.一个正三棱柱的三视图如右图所示，则这个正三棱柱的表面积
是
解:3
8
24
2+
=
+
=
底
测
表
S
S
S
8.下列程序运算后的结果是 . 34
第八题 解:2=i 时,3,
2=+==+=b a b b a a ;3=i 时, 8,5=+==+=b a b b a a
4=i 时,21,13=+==+=b a b b a a ；5=i 时, 55,34=+==+=b a b b a a
所以, 5≤i 时, 输出:34=a 9.若,6
sin
)(x x f π
=则=++++)2009()5()3()1(f f f f .2
解: )1(f =f (13)= ┉ =
21;)3(f =f (15)= ┉ =1; )5(f =f (17)= ┉ =21 f (7)=f (19)= ┉=21-; f (9)=f (21)= ┉=-1; f (11)=f (23)= ┉=2
1
-
0)11()9()7()5()3()1(=+++++f f f f f f ，∴)(x f 中每连续六项的和等于0, )
(x f 中共有1005项,316761005 =÷
26
5sin 63sin
6
sin
)5()3()1()(=++=++=∴π
ππ
f f f x f 10. 在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有21
1n n n n
a a k a a +++-=-（k 为常数）
，则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比，现给出下列命题：
⑴等差比数列的公差比一定不为0； ⑵等差数列一定是等差比数列；
⑶若32n n a =-+,则数列{}n a 是等差比数列； ⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为______________. ⑴⑶⑷. 解:(1)若公差比为0,则012=-++n n a a ,故{}n a 为常数列,从而
21
1n n n n
a a k a a +++-=-的分母为0,无意义,
所以公差比一定不为零;(2)当等差数列为常数列时,不能满足题意;(3)是公差比为3的等差比数列;(4)命题正确,所以,正确命题为⑴⑶⑷.
11. ．已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0
的解集是(22
a ，2
b )，且b>2a 2,
则f (x )·g (x )＞0的解集是____ _____.(a 2，
2b )∪(－2
b
，－a 2) 解：由已知b ＞a 2 ∵f (x )，g (x )均为奇函数，∴f (x )＜0的解集是(－b ，－a 2)，g (x )＜0的解集
是(－2
,22
a b -).由f (x )·g (x )＞0可得：
⎪⎩⎪
⎨⎧-
<<--<<-⎪⎩⎪⎨⎧<<<<⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>2222
,0)(0)(0)(0)(22
22a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a 2，
2b )∪(－2
b
，－a 2) 12．设点O 在△ABC 的内部且满足:OC OB OA ++4=0，现将一粒豆子随机撒在△ABC 中，则豆子
落在△OBC 中的概率是______________ 解:如图:04=++OC OB OA
OD OE OC OB 2==+,OA OD 42-=∴
OA OD 2=,且A,O,D,E 共线, 即32
=DA DO
△ABC 与△OBC 共底边BC,3
2
=∴
∆∆ABC OBC S S
即豆子落在△OBC 中的概率是:
3
2
13.对于非零的自然数n,抛物线1)12()(2
2
++-+=x n x n n y 与x 轴相交于n n B A ,两点,若以|n n B A |表示这两点间的距离,则|11B A |+|22B A |+|33B A |+ ┅ +|20092009B A | 的值 等于______ _________ .
2010
2009
解:令01)12()(2
2
=++-+x n x n n ,得11,121+==n x n x 所以n A (0,1n ),n B (0,1
1
+n )
所以|n n B A |=
1
1
1+-
n n , 所以|11B A |+|22B A |+|33B A |+ ┅ +|20092009B A |=(211
1-)+(3
1
21-)+ ┉ +(
2010120091-)=2010
2009
201011=
-
14．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是 边AC 上任一点，连结DE ，F 是线段DE 上一点，连结BF ，设，1λ=DE
DF ，
2λ=AC AE ，且2
1
21=+λλ，记△BDF 的面积为S ＝f (,,21λλ)， 则S 的最大值是 32
1
解: 因为△ABC 的面积为1, 2λ=AC
AE ,所以,△ABE 的面积为2λ,因为D 是AB 的中点,所以, △BDE 的
E
D O
C
B
A
面积为
22λ,因为1λ=DE
DF ,所以△BDF 的面积为321
)2(212122121=+≤λλλλ,当且仅当21λλ=时,
取得最大值.
二、解答题：
15. 如图A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点
的坐标为)5
4
,53(，三角形AOB 为正三角形．
（Ⅰ）求COA ∠sin ；
（Ⅱ）求2||BC 的值．（14分）
解：(Ⅰ)因为A 点的坐标为)54,53(，根据三角函数定义可知5
3
=
x ， 54=y ，
1=r ……2分
所以5
4
sin ==
∠r y COA ……4分 (Ⅱ)因为三角形AOB 为正三角形，所以60AOB ∠=，5
4sin =
∠COA ，5
3
cos =
∠COA ， ……5分 所以cos cos(60)cos cos60sin sin 60COB COB COB COB ∠=∠+=∠-∠
10
3
4323542153-=
⋅-⋅=
……8分 所以222||||||2||||cos BC OC OB OC OB BOC =+-∠
112=+-=
……12分 16.
下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD 的侧面与底面。

（1）请画出四棱锥S-ABCD 的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA ⊥面ABCD ，E 为AB 中点，求证⊥SEC 面面SCD 解：（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图） 证明：,,AD SA AB SA ⊥⊥ 且AB 、
AD 是面ABCD 内的交线∴SA ⊥底面ABCD ………………… a a a a a a
a 2a
2
a 第16题图
（2）分别取SC 、SD 的中点G 、F ，连GE 、GF 、FA ， 则GF//EA,GF=EA,∴AF//EG
而由SA ⊥面ABCD 得SA ⊥CD ，
又AD ⊥CD ，∴CD ⊥面SAD ，AF CD ⊥∴ 又SA=AD,F 是中点，SD AF ⊥∴
⊥∴AF 面SCD,EG ⊥面SCD,⊥∴SEC 面面SCD
17. 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，
（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ （2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积． 解：设AN 的长为x 米（x >2）， ∵
|DN||DC||AN||AM|=，∴|AM |＝32
x
x - ∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝
2
32
x
x - （1）由S AMPN > 32 得 2
32
x x - > 32
∵x >2，∴2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0
∴8283x x <<
> 或 ，即AN 长的取值范围是8
(2)(8)3
∞，，+ （2）2233(2)12(2)12123(2)12222
x x x y x x x x -+-+=
==-++--- 1224≥=
当且仅当12
3(2),2
x x -=-即x=4时，y ＝
232x x -取得最小值． 即S AMPN 取得最小值24（平方米）
S
A B
C
D
E F G
H
A B
C D
M
N
P
18.已知圆C ：224x y +=.
（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程；
（2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量
OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()
3,1和()3,1-，其距离为32，满足题意
②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，
即02=+--k y kx
设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1|
2|12++-=k k ，34
k =， 故所求直线方程为3450x y -+=
综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x
（Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x ，Q 点坐标为()y x ,
则N 点坐标是()0,0y
∵OQ OM ON =+，
∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，
20y y = 又∵4202
0=+y x ，∴4422
=+y x 由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，
∴Q 点的轨迹方程是22
1(0)164
y x y +=≠，
轨迹是焦点坐标为12(0,F F -，长轴为8的椭圆，并去掉(2,0)±两
点。

…………………… 14分
19. 设()2ln q f x px x x
=--，（e 为自然对数的底数）且f （e ） = = qe －p e －2 （ 自编
题）
（1）求p 与q 的关系； （2）若()f x 在其定义域内为单调递增函数，求p 的取值范围；
（3）设()2e g x x
=且0p >，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得()()00f x g x >成立，求实数p 的取值范围。

本题运用导数知识来解决函数单调性问题,
渗透含参的二次函数在给定区间上取值问题,需要分类
讨论,数形结合等思想方法.在处理不等式有解性问题时,
考察学生化归能力,合理应用放缩法,构造法等手段,综合
应用函数等有关知识来进行分析,解决实际问题.
19、解析：（1） 由题意得 f （e ） = pe －q e －2ln e = qe －p e
－2 ⇒ （p －q ） （e + 1e ） = 0. 而 e + 1e
≠0 ， ∴ p = q ， （2） 由 （1） 知 f （x ） = px －p x －2ln x ，f 1（x ） = p + p x 2 －2x = px 2－2x + p x 2
， 要使 f （x ） 在其定义域 （0,+∞） 内为单调增函数，只需 f 1（x ） 在 （0,+∞） 内满足：f 1（x )0(022
>≥+-p p x px 对（0,+∞） 恒成立,因此 .104)2(22≥⇒≤--p p
（3） ∵
g （x ） = 2e x 在 [1,e ] 上是减函数 ∴ x = e 时，g （x ）min = 2，x = 1 时，g （x ）max = 2e 即 g （x ） ∈ [2,2e ]
①0 < p < 1 时，由x ∈ [1,e ] ⇒ x －1x
≥0 ∴f （x ） = p （x －1x ）－2ln x <x －1x
－2ln x 当 p = 1 时，f （x ）= x －1x
－2ln x 在 [1,e ] 递增 ∴ f （x ）<x －1x －2ln x ≤e －1e －2ln e = e －1e
－2 < 2，不合题意。

② p ≥1 时，由 （2） 知 f （x ） 在 [1,e ] 连续递增，f （1） = 0 < 2，又g （x ） 在 [1,e ] 上是减函数.∴本命题 ⇔ f （x ）max > g （x ）min = 2，x ∈ [1,e ]
⇒ f （x ）max = f （e ） = p （e －1e ）－2ln e > 2 ⇒ p > 4e e 2－1
综上，p 的取值范围是 （4e e 2－1
,+∞）.
20. 设不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点（格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点）的个数为f(n)(n ∈N*).
（1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；
（2）设b n =2n f(n)，S n 为{b n }的前n 项和，求S n ；
（3）记n
n n f n f T 2)1()(+=
，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m 成立，求实数m 的取值 范围.
（1）f(1)=3
f(2)=6
当x=1时，y=2n ，可取格点2n 个；当x=2时,y=n ，可取格点n 个 ∴f(n)=3n
（2）由题意知:b n =3n ·2n
S n =3·21+6·22+9·23+…+3(n －1)·2n －1+3n ·2n
∴2S n =3·22+6·23+…+3(n －1)·2n +3n ·2n+1
∴－S n =3·21+3·22+3·23+…3·2n －3n ·2n+1
=3（2+22+…+2n ）－3n ·2n+1 =3·11
232
122++---n n n =3(2n+1－2)－3n n+1
∴－S n =(3－3n)2n+1－6
S n =6+(3n －3)2n+1
（3）n n n n n n f n f T 2
)33(32)1()(+=+=
11(33)(36)
223(33)22
21,1222,1223,12n n n n n n T n n n T n
n n n
n n n
n n n
+++++==++=>+==+≥<当时当时当时 ∴T 1<T 2=T 3>T 4>…>T n
故T n 的最大值是T 2=T 3=227 ∴m ≥
2
27。