高考数学二轮仿真模拟专练一理 试题

2021高考数学二轮仿真模拟专练〔一〕理
一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)
1．[2021·诊断]集合A ＝{x ∈N |－1<x <4}，B ⊆A ，那么集合B 中的元素个数至多是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B
解析：因为A ＝{x ∈N |－1<x <4}＝{0，1，2，3}，且B ⊆A ，所以集合B 中的元素个数至多是4，应选B.
2．[2021·九校联考]假设复数z ＝a ＋3i 1－2i
(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，那么复数z
的虚部为( )
A ．3
B ．3i
C ．－3
D ．－3i 答案：C
解析：由题意可得z ＝a ＋3i 1－2i ＝(a ＋3i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝a －65＋3＋2a
5i ，那么⎩⎪⎨⎪⎧
a －65＝0，3＋2a
5≠0，
解得a ＝6，那么z ＝3i ，由一共轭复数的定义可得z ＝－3i ，故复数z 的虚部为－3，应选C.
3．[2021·模拟]设集合A ＝{x |－2<－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .假设p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么实数a 的取值范围是( )
A ．(0，1)∪(2，＋∞) B．(0，1)∪[2，＋∞)
C ．(0，1)
D ．(1，2) 答案：D
解析：由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，那么p 与q 中有且只有一个真命题．因为－2<－a ，那么a <2，所以命题q ：2∈A 为假命题，所以命题p 为真，可得a >1，所以1<a <2，应选D.
4．[2021·实验中学模拟]假设函数f (x )的定义域为[1，8]，那么函数f (2x )
x －3
的定义域为
( )
A ．(0，3)
B ．[1，3)∪(3，8]
C ．[1，3)
D ．[0，3) 答案：D
解析：因为f (x )的定义域为[1，8]，所以假设函数f (2x )
x －3有意义，那么⎩⎪⎨
⎪⎧
1≤2x
≤8，x －3≠0，
得
0≤x <3，应选D.
5．[2021·一模]两个单位向量a ，b 的夹角为60°，那么以下向量是单位向量的是( ) A ．a ＋b B ．a ＋1
2b
C ．a －b
D ．a －1
2b
答案：C
解析：通解 ∵a ，b 均是单位向量且夹角为60°，∴a ·b ＝1
2
，
∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2
＝1－2×12＋1＝1，即|a －b |＝1，∴a －b 是单位向量．应选
C.
优解 如图，令OA →＝a ，OB →
＝b ，∵a ，b 均是单位向量且夹角为60°，∴△OAB 为等边三角形，∴|BA →
|＝|a －b |＝|a |＝|b |＝1，∴a －b 是单位向量．应选C.
6．[2021·摸底调研，逻辑推理]设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l ⊂α，m ⊂β.以下结论正确的选项是( )
A ．假设α⊥β，那么l ⊥β
B ．假设l ⊥m ，那么α⊥β
C ．假设α∥β，那么l ∥β
D ．假设l ∥m ，那么α∥β 答案：C
解析：α⊥β，l ⊂α，加上l 垂直于α与β的交线，才有l ⊥β，所以A 项错误；假设l ⊥m ，l ⊂α，m ⊂β，那么α与β平行或者相交，所以B 项错误；假设α∥β，l ⊂α，那么l ∥β，所以C 项正确；假设l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β，那么α与β平行或者相交，所以D 项错误．应选C.
7．[2021·期中]函数y ＝(3x 2
＋2x )e x
的图象大致是( )
答案：A
解析：令y ＝(3x 2＋2x )e x ＝0，得x ＝－23或者x ＝0，所以函数有－23y ′＝(3x 2＋8x ＋2)e
x
分析知函数有2个极值点，排除C.选A.
8．[2021·六校教育研究会联考]如图，第1个图形由正三角形扩展而成，一共12个顶点，第2个图形由正方形扩展而来，一共20个顶点，…，第n 个图形由正(n ＋2)边形扩展而来，n ∈N *
，那么第n 个图形的顶点个数是( )
A ．(2n ＋1)(2n ＋2)
B ．3(2n ＋2)
C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)
答案：D
解析：方法一由题中所给图形我们可以得到：
当n＝1时，第1个图形的顶点个数12＝3×4；
当n＝2时，第2个图形的顶点个数20＝4×5；
当n＝3时，第3个图形的顶点个数30＝5×6；
当n＝4时，第4个图形的顶点个数42＝6×7；
…；
以此类推，可得第n个图形的顶点个数是(n＋2)(n＋3)．应选D.
方法二(排除法)由题知，当n＝1时，第1个图形的顶点个数是12；当n＝2时，第2个图形的顶点个数是20，选项A，B，C都不满足题意，均可排除，选D.
9．[2021·彬州第一次质监，数据分析]如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，执行程序框图，输出的结果是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案：B
解析：该程序框图的作用是求14次考试成绩大于等于90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为8，应选B.
10．[2021·期中]中国古代数学名著?九章算术?中有这样一个问题：今有牛、马、羊食
人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．〞马主曰：“我马食半牛．〞今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．〞马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．〞打算按此比例归还，他们各应归还多少？牛、马、羊的主人应分别归还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，那么以下判断正确的选项是( )
A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝50
7
B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝50
7
C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝50
7
D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝50
7
答案：D
解析：由题意得a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＋2c ＋4c ＝50，即c ＝50
7，应
选D.
11．[2021·尖子生联考，数学运算]双曲线x 2t －y 23
＝1(t >0)的一个焦点与抛物线y 2
＝8x
的焦点重合，那么该双曲线的离心率为( )
A. 2 B ．2 C ．4 D.10 答案：B
解析：由题意，知双曲线的右焦点(c ，0)与抛物线的焦点(2，0)重合，所以c ＝2，所以该双曲线的离心率为e ＝2，应选B.
12．[2021·远东一中检测]△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，当内角C 最大时，△ABC 的面积等于( )
A.
9＋334 B.6＋32
4
C.
326－24 D.36－32
4
答案：A
解析：∵sin A ＋2sin B ＝2sin C ，∴a ＋2b ＝2c ，∵b ＝3，∴c ＝
a ＋32
2
，由余弦
定理得cos C ＝a 2＋b 2－c
2
2ab
＝
a 2－
()
a ＋322
4＋96a
＝3a 2
－62a ＋1824a ＝a 8＋34a －24
≥2
a
8×3
4a
－
24＝6－24，当且仅当a 8＝34a
，即a ＝6时取等号，∴内角C 最大时，a ＝6，sin C ＝2＋64，∴△ABC 的面积为12ab sin C ＝9＋33
4
，应选A. 二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．将正确答案填在题中的横线上．)
13．[2021·一诊](x －2y ＋y 2)6
的展开式中x 2y 5
的系数为________． 答案：－480
解析：(x －2y ＋y 2)6
＝[x ＋(y 2
－2y )]6
的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x
6－r
(y 2－2y )r
，令6
－r ＝2，解得r ＝4，所以T 5＝C 46x 2
(y 2
－2y )4
.又(y 2
－2y )4
＝(y 2)4
－C 1
4(y 2)3
·2y ＋C 2
4(y 2)2
·(2y )
2
－C 34y 2
·(2y )3
＋C 4
4(2y )4
，所以(x －2y ＋y 2)6
的展开式中x 2y 5
的系数为C 4
6×(－C 3
4×23
)＝－480.
14．[2021·期中]在平面直角坐标系中，劣弧AB ，CD ，EF ，GH 是圆x 2
＋y 2
＝1
上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．假设tan α<cos
α<sin α，那么P 所在的圆弧是________．
答案：EF
解析：∵tan α<cos α，∴P 所在的圆弧不是GH ，∵tan α<sin α，∴P 所在的圆弧不是CD ，又cos α<sin α，∴P 所在的圆弧不是AB ，∴P 所在的圆弧是EF .
15．[2021·二中调研]直线y ＝x ＋1与椭圆mx 2
＋ny 2
＝1(m >n >0)相交于A ，B 两点，假设弦AB 中点的横坐标为－13，那么双曲线x 2
m 2－y
2
n
2＝1的两条渐近线夹角的正切值是________．
答案：4
3
解析：把直线方程与椭圆方程联立，得⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋1，
mx 2＋ny 2
＝1，消去y 得(m ＋n )x 2
＋2nx ＋n －
1＝0，∴x A ＋x B ＝－2n m ＋n ＝－23，∴n m ＝12，∴双曲线x 2
m 2－y
2
n
2＝1的两条渐近线夹角的正切值为
2·
n
m 1－n 2m
2
＝43. 16．[2021·二检]半径为4的球面上有两点A ，B ，AB ＝42，球心为O ，假设球面上的动点C 满足二面角C －AB －O 的大小为60°，那么四面体OABC 的外接球的半径为________．
答案：46
3
解析：如下图，设△ABC 的外接圆的圆心为O 1，取AB 的中点D ，连接OD ，O 1D ，O 1O ，那么OD ⊥AB ，O 1D ⊥AB ，所以∠ODO 1为二面角C －AB －O 的平面角，所以∠ODO 1＝60°.由题意，知OA ＝OB ＝4，AB ＝42，满足OA 2
＋OB 2
＝AB 2
，所以∠AOB 为直角，所以OD ＝2 2.四面体
OABC 外接球的球心在过△ABC 的外心O 1且与平面ABC 垂直的直线OO 1上，同时在过Rt△OAB
的外心D 且与平面OAB 垂直的直线上，如图中的点E 就是四面体OABC 外接球的球心，EO 为
四面体OABC 外接球的半径．在Rt△ODE 中，∠DOE ＝90°－∠ODO 1＝30°，那么EO ＝OD
cos 30°
＝2232
＝463.
三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．)
17．(12分)[2021·高三质检]函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2
＋2cos 2
x －2. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4时，求函数f (x )的最大值，最小值．
解析：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，
令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8，k ∈Z .
故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .
(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4，
∴－1≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.
18．(12分)[2021·湘东六校联考]如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形．
(1)证明：直线BC ∥平面OEF ；
(2)在线段DF 上是否存在一点M ，使得二面角M －OE －D 的余弦值是313
13
？假设不存在，
请说明理由；假设存在，恳求出M 点所在的位置．
解析：(1)证明：依题意知，在平面ADFC 中，∠CAO ＝∠FOD ＝60°，∴AC ∥OF ， 又AC ⊄平面OEF ，OF ⊂平面OEF ，∴AC ∥平面OEF . 在平面ABED 中，∠BAO ＝∠EOD ＝60°，
∴AB ∥OE ，又AB ⊄平面OEF ，OE ⊂平面OEF ，∴AB ∥平面OEF .
∵AB ∩AC ＝A ，AB ⊄平面OEF ，AC ⊄平面OEF ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ∥平面OEF .
又BC ⊂平面ABC ，∴直线BC ∥平面OEF .
(2)设OD 的中点为G ，如图，连接GE ，GF ，由题意可得GE ，GD ，GF 两两垂直，以G 为坐标原点，GE ，GD ，GF 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系G ­xyz .易知，
O (0，－1，0)，E (3，0，0)，F (0，0，3)，D (0，1，0)．
假设在线段DF 上存在一点M ，使得二面角M －OE －D 的余弦值是31313
.设DM →＝λDF →
，
λ∈[0，1]，那么M (0，1－λ，3λ)，OM →
＝(0，2－λ，3λ)．
设n ＝(x ，y ，z )为平面MOE 的法向量， 由⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·OM →＝0，
n ·OE →＝0，
得⎩⎨
⎧
(2－λ)·y ＋3λ·z ＝0，
3x ＋y ＝0，
可取x ＝－λ，那么y ＝3λ，z ＝λ－2，n ＝(－λ，3λ，λ－2)． 又平面 OED 的一个法向量m ＝(0，0，1)， ∴31313＝|cos 〈m ，n 〉|＝|λ－2|4λ2＋(λ－2)
2
，
∴(2λ－1)(λ＋1)＝0，又λ∈[0，1]，∴λ＝1
2.
∴存在满足条件的点M ，M 为DF 的中点．
19．(12分)[2021·高三毕业班开学调研卷]某商场进展有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或者参加一次抽奖，抽奖规那么如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果互相HY ．
(1)假设顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；
(2)某顾客已购物1 500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；
(3)假设顾客参加10次抽奖，那么最有可能获得多少现金奖励？
解析：(1)因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果一共有C 1
10种，摸到红球的结果一共有C 14
种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是C 14C 110＝410＝2
5
.
(2)设X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是互相HY 的，那么X ～B (3，0.4)，
所以E (X )＝3×0.4＝1.2.
由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2×100＝120元．
因为顾客参加三次抽奖获得的现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖．
(3)设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y .
由于顾客每次抽奖的结果是互相HY 的，那么Y ～B (10，0.4)， 于是恰好k 次中奖的概率P (Y ＝k )＝C k 10k 10－k
，k ＝0，1， (10)
从而
P (Y ＝k )P (Y ＝k －1)＝2×(11－k )
3k
，k ＝1，2， (10)
当k <4.4时，P (Y ＝k －1)<P (Y ＝k )；
当k >4.4时，P (Y ＝k －1)>P (Y ＝k )， 那么P (Y ＝4)最大，
所以最有可能获得的现金奖励为4×100＝400元．
综上，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．
20．(12分)[2021·百校联考]F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点，点P (2，3)在C
上，且PF ⊥x 轴．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，交直线x ＝8于点M .直线PA ，PM ，PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．
解析：(1)因为点P (2，3)在C 上，且PF ⊥x 轴，所以c ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧
4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4
得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝16，
b 2
＝12.
故椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12
＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，令
x ＝8，得M 的坐标为(8，6k )．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
16＋y 2
12＝1，y ＝k (x －2)，
得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16(k 2
－3)＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有x 1＋x 2＝16k 24k 2＋3，x 1x 2＝16(k 2
－3)4k 2
＋3.① 设直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，从而k 1＝y 1－3x 1－2，k 2＝y 2－3x 2－2，k 3＝6k －3
8－2
＝k －1
2
.
因为直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，所以y 1＝k (x 1－2)，y 2＝k (x 2－2)， 所以k 1＋k 2＝
y 1－3x 1－2＋y 2－3
x 2－2
＝
y 1
x 1－2＋y 2x 2－2－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 1－2＋1x 2－2 ＝2k －3×
x 1＋x 2－4
x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4
.②
把①代入②，得k 1＋k 2＝2k －3×16k
2
4k 2
＋3
－416(k 2－3)4k 2
＋3－32k
2
4k 2＋3＋4＝2k －1. 又k 3＝k －1
2
，所以k 1＋k 2＝2k 3.
故直线PA ，PM ，PB 的斜率依次构成等差数列．
21．(12分)[2021·一中期中]函数f (x )＝e x
＋x 2
－x ，g (x )＝x 2
＋ax ＋b ，a ，b ∈R . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)假设f (x )≥g (x )恒成立，求a ＋b 的最大值．
解析：(1)因为f ′(x )＝e x
＋2x －1，所以ff (0)＝1，所以该切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －(a ＋1)x －b ，那么h (x )≥0恒成立． 易得h ′(x )＝e x
－(a ＋1)． (ⅰ)当a ＋1≤0时，
h ′(x )>0，此时h (x )在R 上单调递增．
①假设a ＋1＝0，那么当b ≤0时满足h (x )≥0恒成立，此时a ＋b ≤－1； ②假设a ＋1<0，取x 0<0且x 0<1－b
a ＋1
，
此时h (x 0)＝e x 0－(a ＋1)x 0－b <1－(a ＋1)1－b
a ＋1－
b ＝0，所以h (x )≥0不恒成立，不满足
条件．
(ⅱ)当a ＋1>0时，
令h ′(x )＝0，得x ＝ln(a ＋1)．由h ′(x )>0，得x >ln(a ＋1)； 由h ′(x )<0，得x <ln(a ＋1)．
所以h (x )在(－∞，ln(a ＋1))上单调递减，在 (ln(a ＋1)，＋∞)上单调递增．
要使h (x )＝e x
－(a ＋1)x －b ≥0恒成立，必须有
当x ＝ln(a ＋1)时，h (ln(a ＋1))＝(a ＋1)－(a ＋1)ln(a ＋1)－b ≥0恒成立． 所以b ≤(a ＋1)－(a ＋1)ln(a ＋1)． 故a ＋b ≤2(a ＋1)－(a ＋1)ln(a ＋1)－1.
令G (x )＝2x －x ln x －1，x >0，那么G ′(x )＝1－ln x . 令G ′(x )＝0，得xG ′(x )>0，得0<x <e ；
由G ′(x )<0，得xG (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝e 时，G (x )的值最大，G (x )max ＝e －1.
从而，当a ＝e －1，b ＝0时，a ＋b 的值最大，为e －1.综上，a ＋b 的最大值为e －1. 选考题(请考生在第22、23题中任选一题答题，多答、不答按本选考题的首题进展评分．) 22．(10分)[2021·六校教育研究会第二次联考][选修4－4：坐标系与参数方程]
曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋2cos α，y ＝1－2sin α
(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C 的极坐标方程；
(2)假设直线l 的极坐标方程为sin θ－2cos θ＝1
ρ
，求曲线C 上的点到直线l 的最
大间隔 ．
解析：(1)由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3＋2cos α，
y ＝1－2sin α，消去α得(x －3)2＋(y －1)2
＝4，
将⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ
代入得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－1)2
＝4，
化简得ρ2
－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0.
故曲线C 的极坐标方程为ρ2
－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0.
(2)由sin θ－2cos θ＝1
ρ
，得ρsin θ－2ρcos θ＝1，即2x －y ＋1＝0.
由 (1)知曲线C 的圆心为C (3，1)，半径r ＝2，点C (3，1)到直线2x －y ＋1＝0的间隔
d ＝
|2×3－1＋1|5
＝65
5，
所以曲线C 上的点到直线l 的最大间隔 为d ＋r ＝65
5＋2.
23．(10分)[2021·五中测评][选修4－5：不等式选讲]
f (x )＝|2x －3|＋ax －6(a ∈R )．
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；
(2)假如函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －3|＋x －6＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x －9，x ≥3
2
，－x －3，x <3
2，
那么原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥32
，
3x －9≥0
或者⎩⎪⎨⎪⎧
x <32
，
－x －3≥0，
解得x ≥3或者x ≤－3，
那么原不等式的解集为{x |x ≤－3或者x ≥3}．
(2)由f (x )＝0，得|2x －3|＝－ax ＋6，
令y ＝|2x －3|，y ＝－ax ＋6，作出它们的图象，如下图， 可以知道，当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点， 所以函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点时，a 的取值范围是(－2，2)．
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日。