2.2.2椭圆的简单几何性质(最全)

1
即 ： x a和y b
结论：椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成
的矩形里． 即 -a≤x≤a -b ≤y≤b
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5
二、椭圆的对称性
Y
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
关于y轴对称
P2（-x，y）
P（x，y）
关于原点对称
P3（-x，-y）
*
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O
X
P1（x，-y）
关于x轴对称
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
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12
小 结：
由椭圆的范围、对称性和顶点， 再进行描点画图，只须描出较少的 点，就可以得到较正确的图形.
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13
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
y
4 3
B2
2
A1
1
-5 -4 -3 -2 -1-1
A2 123 4 5 x
1 94
2. 长轴的长等于20，离心率等于 3 . 5
注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上，
必须讨论两种情况
x2 y2 1或x2y2 1 10064 64100
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32
练习
2.离心率为
3 2
,且过点(2,0)的椭圆的标准
方程为 多少?
x2y21; x2 y2 1.
4
4 16
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y2 a2
x2 b2
1
a b0
F1(0，c)
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F2(0，-c)
y
F1 o
M
F2 x
a2 b2c2
y
. F1
o
x
. F2
a2 b2c2 3
椭圆的一般方程
Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）
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4
一、椭圆的范围
y
b
-a
a
o
x
-b
由 x2y2 a2 b2
1 a x2 21 和 b y2 2
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10
三、椭圆的顶点
y
B1(0,b)
长轴、短轴：线段A1A2、
B1B2分别叫做椭圆的长 轴和短轴。
A1
o
A2 x
B2(0,-b)
椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？
焦点落在椭圆的长轴上
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11
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长 |A1A2|=2a
短轴：线段B1B2； 短轴长 |B1B2|=2b
注意
焦 距 |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c|2B，2F2|=a；
33
例1.已知椭圆mx2 5y2 5m的
离心率e 10,求m的值。 5
m3或m 25 3
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课本47页例题6
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思考 2:(课本例 7)
已知椭圆 x2 y2 1 ,直线 4x 5 y 40 0 ,椭圆上是 25 9
否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
x2 y2 1
4 16
x2 y2 综上所述，椭圆的标准方程是 1
或
x2 y2 1
41
4 16
*
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26
26
练习2：
已知椭圆 x2 y2 1 的离心率 e 1
k 8 9
2
x 解：当椭圆的焦点在 轴上时，
k ，求 的值
a2 k8 b2 9
c2 k1
y 由
e
1 2
，得： k 4
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴，y轴，原点对称
（ a ,0 ）;(0, b)
( c, 0)
（ b ,0 ）; (0, a) (0, c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c
a2=b2+c2 a＞b>0 a>c>0
c
e a
23
课堂小结用曲线的图形和方程 x
来研究 椭圆的简单几何性质a
2 2
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40 且 x02 y02 1
42 52
41
25 9
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
几何画板显示图形
观察图形,数形结合思考.
36
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36
直线与椭圆的位置关系 ：
直线 y 和椭圆:方 A xy程 B yC 分 0别 ， ax2 2为 by221y
6
6
二、椭圆的对称性
y
F1 O F2 x 结论：椭圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形
对称轴是x轴和y轴，对称中心是原点
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
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7
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中 心对称。
80 。
分析：椭圆方程转化为标准方程为：
16x225y2400x2y21
y
25 16
a=5 b=4 c=3
o
x
*
20
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20
练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
为
2。
2
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则
其离心率为
1
。
2
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率
[2]离心率对椭圆形状的影响：
观察思考：随着c的变化，b是如何变化的？
椭圆的形状有何变化
1) c 越接近 a，e就越接近 1，b就越小，椭圆就越扁
2)c 越接近 0，e就越接近 0，b就越大，椭圆就越圆
3)c=0(即两个焦点重合）e =0，则 b= a，
椭圆方程变为x2+ y2=a2（圆）
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
(D) 9x2 y2 4
2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 e 2 ，长轴长为6， 3
则椭圆的方程 为（ C ）
(A)
x2 y2 1
36 20
(B)
x2 y2 1
95
(C)
x2 y2 1 或 95
y2 x2 1
95
(D)
y2 x2 1 或
x2 y2 1
36 20
36 20
*
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F1 o
F2 x F1 o
F2 x F1 o
F2 x
A xB yC0
则 由 a x2 2b y2 2 1
a/x2b/xc/ 0
若二次方的程判别式为 ，则
0直线和椭圆相交， 个有 公两 共点；
0直线和椭圆相切， 个有 公一 共点；
0202 1/2/4直线和椭圆相离， 共无 点公 。
37
例 1 :当 m 为何 ,直 l值 :y 线 x 时 m 与2 椭 x2y2圆 1 相 ,相 切 ,相 交 ?离
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15
结论：离心率e越大，椭圆越扁； 离心率e越小，椭圆越圆
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16
小试身手：
2
x
y2
2.说出椭圆
9
1 16
的范围,长轴
长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
3x3,4y4
2a8,2b6
(0, 7 )
(0,4),(3,0)
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17
练习：
3.比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁?
y2 b2
1(a
b
0)
y
B2(0,b)
A1 (-a, 0)
A2 (a, 0)
Ｏ
x
B1(0,-b)
一个框，四个点， 注意光滑和圆扁, 莫忘对称要体现．
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24
课前练习1
1．椭圆 9x2 y2 81的长轴长为 1 8 ，短轴 22
长为 6 ，半焦距为 6 2 ，离心率为 3 ， 焦点坐标为 (0, 6 2 ) ，顶点坐标为 (0, 9), ( 3,0) .
28
练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解： 若焦点在x轴上，设椭圆方程为:
x2 +y2 =1(a>b>0)， a2 b2
依题意有：
a 1
6
2b 1
a 2 b 2
1
得 ：a b
2 5 5
故 椭 圆 方 程 为:x2 +y2 =1. 20 5
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为
1。
3
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 则其离心率e=_______5 ___
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21
回顾
[1]椭圆标准方程
x2 y2 1(ab0) a2 b2
所表示的椭圆的存在范围是什么？
[2]上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？
[3]椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？
即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴Leabharlann Baidu坐标原点为对 称中心。
8
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8
练习：1.已知点P(3，6)在
x2 a2
y2 b2
1
上,则(
)
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上
(B) 点(3,-6)不在椭圆上
C
(C) 点(-3,6)在椭圆上 (D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上
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25
例2 椭圆的一个顶点为 A2， 0 ,其长轴长是短轴
长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
解：（1）当 A2， 0为长轴端点时，a 2，b 1，
椭圆的标准方程为：
x2 y；2 1
41
（2）当 A2， 0为短轴端点时，b2 , a ，4
椭圆的标准方程为：
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9
三、椭圆的顶点
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭
圆的顶点。
y
x2 +y2 =1(a>b>0) a2 b2
令x=0,得y=？说明椭圆 A1(-a,0)
B1(0,b)
o
A2(a,0x)
与y轴的交点为(0,b)、(0,-b)
B2(0,-b)
令y=0,得x=？说明椭圆 与x轴的交点为(a,0)、(-a,0)
（2）x2 9y2 36与x2 y2 1。 6 10
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例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是： 10。短轴长是： 8 。
焦距是 6
3
。 离心率等于： 5 。
焦点坐标是： ( 3, 0 ) 。顶点坐标是：( 5 , 0 ) (0, 4。)
外切矩形的面积等于：
的标准方程为（ C）
x2 y2 A. 1.
9 16
x2 y2 B. 1.
25 16
x2 C.
y2
1或x2
y2
1.
x2 y2 D. 1
25 16 16 25
16 25
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31
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1. 经过点P（－3,0）、Q（0，－2）；
x2 y2
注意：焦点落在椭圆的长轴上
当椭圆的焦点在 轴上时，
a2 9 b2 k8 c2 1k
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k ．5
2
94
4
∴满足条件的 k 4或 k ．5
4
*
27
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27
测试
1、在下列方程所表示的曲线中,关于x轴,y轴都对称的是( D)
(A) x2 4y
(B) x22xyy0
(C) x2 4y2 5x
[4]对称轴与长轴、短轴是什么关系？
[5]2a 和 2b是什么量？ a和 b是什么量？
[6]关于离心率讲了几点？
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标准方程 图象
x2 y2 1(ab0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(ab0)
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长
焦距
a,b,c关系 离心率
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|x|≤ a,|y|≤ b
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练习 求经过点P (4, 1)，且长轴长是短轴
长的2倍的椭圆的标准方程.
解：若焦点在y轴上，
同 理 求 得 椭 圆 方 程 为 ： 6y52
4x 2
65
1.
所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ：
x2 y2
20 5
1或6y52
x2
65
1.
4
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30
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆
2.2.2椭圆的简单几何性质(最全)
复习： 1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点
的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
3.椭圆中a,b,c的关系是
a2=b2+c2
*
2
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2
椭圆的标准方程
焦点在x 轴上
x2 a2
y2 b2
1
a b0
F1(-c，0) F2(c，0) 焦点在y 轴上
(1)
x2 9
+
y2 5
=1与 x2 16
y2 12
1；
（2）x2 +
y2 2
=1与
x2 6
y2 10
1。
根据：离心率e越大，椭圆越扁； 离心率e越小，椭圆越圆
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练习1： 比较下列每组椭圆的形状，哪一个 更圆，哪一个更扁？为什么？
(1)9x2 y2 36与x2 y2 1； 16 12
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5. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）,点B，C是
短轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭
圆的标准方程。 x 2
y2
1
48 12
6、已知椭圆Gx的中心在坐标原点，长轴在 x轴上，
离心率为 ，且3 G上一点到G的两个焦点
-2
-3
-4
B1
（2） x2 y 2 1 25 4
y
4
3 2
B2
A1
1
-5 -4 -3 -2 -1-1
A2 123 4 5 x
-2
-3 B1
-4
*
14
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四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e = c ,叫做
椭圆的离心率．
a
[1]离心率的取值范围：因为 a > c > 0，所以0<e<1