函数的基本性质

函数的基本性质
⏹1。

函数的奇偶性
⏹（1）函数的奇偶性的定义。

⏹（2）函数的奇偶性的判断与证明。

⏹（3）奇、偶函数图象的特征。

⏹2。

函数的单调性
⏹（1）函数的单调性的定义。

⏹（2）函数的单调性的判断与证明。

⏹复合函数的单调性
⏹（3）求函数的单调区间。

3．函数的周期性
(1)定义:设函数的定义域是D，若存在非零常数T，使得对任何x∈D，都有x+T ∈D且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期。

定理:设函数的定义域是D，a,b为不相等的常数，若对任何x∈D，都有x+a∈D,x+b∈D,且f(x+a)=f(x+b)，则函数f(x)为周期函数，a-b为f(x)的一个周期。

(2)最小正周期:
(3)定理:若T是函数f(X)的一个周期,则nT也是函数f(x)的一个周期.(n为非零整数.)
4．函数图象的对称性
⏹一·中心对称：
⏹(1) 奇函数的图象关于原点对称；
⏹一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,-y)，则曲线f(x,y)=0关于原点对称（2）函数y=f(x)的图象关于点（a,b）对称的充要条件为：对函数定义域中的任意x均满足2b-y=f(2a-x)
(3)函数的图象关于点(a,0)对称的充要条件为: f(x) =- f(2a-x) ⇔f(a+x)=- f(a-x)
(4)设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点((a+b)/2,0)成中心对称.
二．轴对称：
（1）偶函数的图象关于Y轴对称；
一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于Y轴对称
（2）设a是非零常数，如果对函数定义域中的任意值x均满足f(x)=f(2a-x)
⇔f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。

一般地，如果方程f(x,y)=0满足f(x,y)=f(2a-x,y)，则曲线f(x,y)=0关于直线x=a对称设函数f(x)对其定义域中的任意值x均满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称．
(3)反函数的图象
⏹函数y=f(x)的图象与y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称；
⏹函数y=f(x)的图象与y=-f-1 (-x)的图象关于直线y= - x对称；
⏹设函数y=f(x)有反函数y=f– 1(x)，则其图象关于直线y=X对称的充要条件是：
f(x)=f– 1(x).
5．函数图象的对称性与函数的周期性有着密切的内在联系，我们有下面的结论：
⏹命题1：如果函数的图象关于直线x=a和直线x=b(a ≠b)对称，那么函数是以2(a-b)
为周期的周期函数。

⏹命题2：如果函数的图象关于点(a,0)和直线x=b (a ≠b)对称，那么函数是周期函数，
4(a-b)为函数的一个周期。

⏹命题：如果函数的图象关于点(a,m)和直线x=b对称，那么函数是周期函数，4(a-b)
为函数的一个周期。

命题3：如果函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，那么函数y＝f(x)是周期函数，2(a-b)为函数的一个周期。

(a>b)
命题：如果函数f(x)的图象关于两点(a,b)和(c,d)对称，那么：当a ≠c，b=d时，f(x)是周期函数，2(a-c)为函数的一个周期。

当a ≠c，b≠d时，f(x)不是周期函数。

高考题例
1.（95）已知y=log a(2-ax)在[0,1]上是x的减
函数，则a的取值范围是（ B ）
(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0.2) (D) [2,+∞)
⏹ 2.(96）设f(x)是R上的奇函数，f(x+2)=
⏹-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)等于（B ）
⏹(A) 0.5 (B)-0,.5 (C)1.5 (D)-1.5
⏹3，（97）定义在R的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)
的图象重合。

设a>b>0，给出下列不等式：
⏹① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ② f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)
⏹③ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)
⏹其中成立的是（）
⏹(A)①④(B)②③(C)①③(D)②④
⏹竞赛试题
⏹4．（第九届希望杯）f(x)是定义域为R的奇函数，方程f(x)=0的解集为M，且M中
有有限个元素，则M（）
⏹(A)可能是Φ (B)元素的个数是偶数
⏹(C)元素的个数是奇数
⏹(D)元素的个数可以是奇数，也可以是偶数
⏹ 5.（第十届希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2，f(a)=0，则f(-a)的值为（ C ）
⏹(A) -a-4 (B)-2 (C)-4 (D)-2a
6．（92全国联赛）设f(x)是定义在实数集上的函数，且满足下列关系：
f(10+x)=f(10-x),f(20-x)= -f(20+x)。

则f(x)是（ C ）
(A)偶函数，又是周期函数
(B)偶函数，但不是周期函数
(C)奇函数，又是周期函数
(D)奇函数，但不是周期函数
更上一层楼
⏹例１（２00０高考理）设函数 f(x)=(x2+1)1/2-ax，其中a>0。

⏹（Ⅰ）解不等式f(x)≤1；
⏹（Ⅱ）求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数。

例２（02高考理）设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R。

（Ⅰ）讨论f(x)的奇偶性；
（Ⅱ）求f(x)的最小值。

例３．设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0,1/2]，都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，且f(1)=a>0。

（Ⅰ）求f(1/2)及f(1/4)；
（Ⅱ）证明f(x)是周期函数。

（01高考）
⏹ 分析（１）由已知条件：f(1)=f(1/2+1/2)=…并应注意证明f(1/2)>0. ⏹ (2)由命题１得函数的周期为２．由周期性的定义证明． 例４．22.（2004.江苏）已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有
)]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤-和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.
设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=
(Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；
(Ⅱ)证明2
0220))(λ1()(a a a b --≤-；
(Ⅲ)证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.
解：（1）不妨设12x x >，由[]2
121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-
可知12()()0f x f x ->，
()f x ∴是R 上的增函数
∴不存在00b a ≠，使得0()0f b =
又[]22
12121212()()()()()x x x x f x f x x x λ-≤-⋅-≤-
1λ∴≤
（2）要证：222
000()(1)()b a a a λ-≤--
即证：22
00()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦
(*) 不妨设0a a >，
由[]2
121212()()()()x x x x f x f x λ-≤-⋅-
得00()()()f a f a a a λ-≥-，
即0()()f a a a λ≥-，
则2
002()()2()f a a a a a λ-≥- （1） 由1212()()f x f x x x -≤-得00()()f a f a a a -≤- 即0()f a a a ≤-，
则22200()()2()a a f a a a λλ⎡⎤-+≤-⎣⎦
（2） 由（1）（2）可得2200()()2()()a a f a f a a a λ⎡⎤-+≤-⎣⎦
222000()(1)()b a a a λ∴-≤--
（3）220[()]()f a a a ≤-,
2222
0(1)[()](1)()
f a a a λλ∴-≤-- 220[()]()f b b a ≤-
又由（2）中结论222000()(1)()b a a a λ-≤-- 222[()](1)[()]f b f a λ∴≤-。