大学物理D类-动力学例题

x
dx
0

t
mg k
(1 e

k m
)d t
0
x
（1）当
t
mg k
[t
m k
(1 e

k m
t
)]
讨论
时，
mg k
v vT
终极速度 (terminal velocity)
物体达到终极速度条件是物体加速度为零。
mg kv T 0
（2）若 f kv ，终极速度不同！
g
讨论
（1）当 m A m B 时, （a）从静止开始 A、B加速运动。 （b）从某运动状态开始
N
当 （2） m A m B 时, a A a B 0 。 （a）若A、B 原为静止，则不可能！ 出现上述情况的原因是：
f
mB
mg
T
B
当 m A m B 时, 摩擦力为静摩擦情况。
f T
B
aA aB 0
（b）若A、B 原处运动状态，A、B的运动均为减速运动。
aA aB (m A m B ) (m A m B ) g
[例2] 讨论雨滴下落过程中受到空气粘滞力作用时 的运动规律。雨滴受到空气的阻力f=kv
解：设雨滴初始时刻静止于原点（如图）。
m g f ma
v0 0
O
根据雨滴受力分析（如图），列出牛顿方程：
mg kv m
dv g k m
v
dv dt
f k v （阻力与运动方向相反）
dv g k m v dt

k m v)
0
v
v
0

t
dt
x f
mg
k m t
0

m k
ln( g
t
v
mg k
(1 e
)
v
dx dt

mg k
(1 e

k m
t
)
t

x
dx
0

t
mg k
(1 e

k m
)d t
0
x
mg k
[t
m k
(1 e

k m
t
)]

m k
ln( g
k m
v
v)
0
t
v
mg k
(1 e

k m
t
)
v
dx dt

mg k
(1 e

k m
t
)
t

2
vT
mg k
2 gt 物体运动规律也不相同！ 1 e vT v vT 2 gt vT 1 e

讨论
（1）当
t
时，
mg k
v vT
终极速度 (terminal velocity)
物体达到终极速度条件是物体加速度为零。
mg kv T 0
[例1]研究如图所示系统的运动规律。其中物体B与桌面 的磨擦系数为μ,物体A通过绳及质量可忽略的滑轮与B相 连。 mB 研究对象：A、B，受 解： 力分析如下图。
N
mA
T
A
f
mB
mBg
T
B
mA
mAg
aA
a
B
A: B:
m A g TA m A a A TB f m Ba B
N mBg 0
o
x
当q 继续增大时，会有何结果？ 当 cos q 2/3 时， N < 0, 这可能吗？为什么？ 这是因为：当 cos q ＝ 2/3 时，N 0。此时， 小球将离开圆柱体。
动 力 学 方 程
将不再适用！ 此后，小球将 做抛物运动！
[例P79/习题2-2] 一甲虫在一半球形碗内 非常缓慢地向上爬，已知球面半径为R ， 甲虫和碗的内表面的摩擦系数为 0.25 , 问 它可以爬多高？
N
T
A
f
mB
mBg
T
B
mA
mAg
aA
a
B
A: B:
m A g TA m A a A TB f m Ba B
N mBg 0
N
附 加 方 程
TA TB aA aB f N
f
mB
T
T
B
A
mBg
mA
mAg
aA
aB
aA aB
(m A m B ) (m A m B )
[例3] 一固定光滑圆柱体上的小球（质量为m）由静止从 顶端下滑。求小球下滑到 q 时小球对圆柱体的压力。 y 解：在q 处时，
质点受力如图
o
自 然 坐 标 系
o
x
o
小球对圆柱体的压力为：
o
自 然 坐 标 系
小球对圆柱体的压力为：
小球对圆柱体的压力为：
y
讨论
从上述结果可以看出： 随着小球下滑，q 从 0 开始增大。 cos q 逐渐减小， N 逐渐减小。
[解] 甲虫最多可以爬这么高：
此时它所受的摩擦力为最 大静摩擦力，且合外力为 零
H
q
y
f sin q N co s q 0
x
F
x
因为再高的话 q 变小，则上式不能满足。
f N
代入上式
N s in q N c o s q
c o t q 0 .2 5
s in q 4 17
H
1 4
q
mg
H R R s in q R 1
17 4