第四章《三角函数》题目汇编及详解

普通高等学校招生全国统一测试数学 第四章?三角函数?题目汇编及详解
一、选择题〔共21题〕
1.〔安徽卷〕将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量
,06a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
平移,平移后的图象如下图,那么平移后的图象所
对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π
=+ B ．sin()6
y x π
=- C ．sin(2)3y x π=+
D ．sin(2)3
y x π
=- 解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
平移,平移后的图象所对应的解析式为
sin ()6y x πω=+,由图象知,73()1262
πππ
ω+=
,所以2ω=,因此选C. 2.〔安徽卷〕设0a >,对于函数()sin (0)sin x a
f x x x
π+=
<<,以下结论正确的选项是
A ．有最大值而无最小值
B ．有最小值而无最大值
C ．有最大值且有最小值
D ．既无最大值又无最小值 解：令sin ,(0,1]t x t =∈,那么函数()sin (0)sin x a
f x x x
π+=
<<的值域为函数
1,(0,1]a y t t =+∈的值域,又0a >,所以1,(0,1]a
y t t
=+∈是一个减函减,应选B.
3.〔北京卷〕函数y =1+cos x 的图象 〔A 〕关于x 轴对称 〔B 〕关于y 轴对称 〔C 〕关于原点对称
〔D 〕关于直线x =
2
π
对称 解：函数y =1+cos 是偶函数,应选B 4.〔福建卷〕α∈(
2π,π),sin α=53,那么tan(4
π
α+)等于
A.
71 B.7 C.－ 7
1
D.－7 解：由3(,),sin ,25παπα∈=那么3tan 4α=-,tan()4πα+=1tan 1
1tan 7
αα+=-,选A.
5.〔福建卷〕函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4
π
]上的最小值是－2,那么ϖ的最小值等于
A.32
B.2
3
C.2
D.3 解：函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最小值是2-,那么ωx 的取值范围是,34ωπωπ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
, ∴ 32ωππ--≤或342ωππ≥,∴ ω的最小值等于32,选B. 6.〔湖北卷〕假设ABC ∆的内角A 满足2
sin 23
A =
,那么sin cos A A +=
A.
3 B ．3- C ．53 D ．53
- 解：由
sin2A ＝2sinAcosA >0,可知
A
这锐角,所以
sinA ＋cosA >0,又
25
(sin cos )1sin 23
A A A +=+=,应选A
7.〔湖南卷〕设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中央,假设点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值
4
π
,那么)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C.
2π D . 4
π 解析：设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中央,假设点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值
4
π
,∴ 最小正周期为π,选B. 8.〔江苏卷〕R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,那么a ＝
〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕－1 〔D 〕±1
【思路点拨】此题考查函数的奇偶性,三角函数sin x 的奇偶性的判断,此题是一道送分的概念题 【正确解答】解法1由题意可知,()()f x f x =--得a=0
解法2：函数的定义域为R ,又f (x )为奇函数,故其图象必过原点即f (0)=0,所以得a =0, 解法3由f (x )是奇函数图象法函数画出()R x a x x f ∈-=,sin 的图象选A
【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提
条件是函数的定义域必须关于原点对称.
假设函数f(x)为奇函数()()()f x f x y f x ⇔-=-⇔=的图象关于原点对称. 假设函数f(x)为偶函数()()()f x f x y f x ⇔-=⇔=的图象关于y 轴对称.
9〔江苏卷〕为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像,只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所
有的点
〔A 〕向左平移
6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍〔纵坐标不变〕
〔B 〕向右平移
6π
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍〔纵坐标不变〕
〔C 〕向左平移
6π
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕 〔D 〕向右平移
6
π
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕
【思路点拨】此题主要考三角函数的图象变换,这是一道平时练习的比拟多的一种类型. 【正确解答】先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6
π
个单位长度, 得到函数2sin(),6
y x x R π
=+
∈的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐
标不变〕得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(
2π
的图像,选择C. 【解后反思】由函数sin ,y x x R =∈的图象经过变换得到函数sin(),y A x x R ωφ=+∈ 〔1〕．y=Asinx,x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的
〔2〕函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的
ω
1
倍〔纵坐标不变〕 〔3〕函数y ＝sin(x ＋ϕ),x ∈R (其中ϕ≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左〞“减
右〞),可以先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但注意：先伸缩时,平移的单位把x 前面的系数提取出来.
10.〔江西卷〕函数4sin 21y x π⎛⎫
=+
+ ⎪3⎝⎭
的最小正周期为〔 〕 Ａ．
π2 Ｂ．π
Ｃ．2π
Ｄ．4π
解：T ＝22
π
π＝,应选B
11.〔辽宁卷〕函数11
()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =
+--,那么()f x 的值域是 (A)[]1,1-
(B) 2⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦
(C) 1,2⎡-⎢⎣
⎦
(D)
1,2⎡--⎢⎣
⎦
【解析】cos (sin cos )11
()(sin cos )sin cos sin (sin cos )
22x x x f x x x x x x x x ≥⎧=+--=⎨<⎩
即等价于min {sin ,cos }x x ,应选择答案C.
【点评】此题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识,同时考查了简单的转化和估算水平.
12.〔辽宁卷〕函数1sin 32y x ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
的最小正周期是〔 〕 Ａ．
π
2 Ｂ．π Ｃ．2π
Ｄ．4π
解：2412
T π
π==,选D
13.〔全国卷I 〕函数()tan 4f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的单调增区间为 A ．,,2
2k k k Z π
πππ⎛⎫
-
+
∈ ⎪⎝
⎭
B ．()(),1,k k k Z ππ+∈
C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-
+∈ ⎪⎝
⎭ D ．3,,44k k k Z ππππ⎛
⎫
-+∈ ⎪⎝
⎭
解：函数()tan 4f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的单调增区间满足2
4
2
k x k π
π
π
π
π-
<+
<+
,
∴ 单调增区间为3,,44k k k Z ππππ⎛⎫
-
+∈ ⎪⎝
⎭
,选C. 14.〔全国II 〕函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是
〔A 〕2π 〔B 〕4π 〔C 〕π4 〔D 〕π
2
解析: 1sin 2cos 2sin 42y x x x ==
所以最小正周期为242
T ππ
==,应选D 考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式 此题比拟容易. 15.〔全国II 〕假设f (sin x )＝3－cos2x ,那么f (cos x )＝
〔A 〕3－cos2x 〔B 〕3－sin2x 〔C 〕3＋cos2x 〔D 〕3＋sin2x 解析:2
2
(sin )3cos 23(12sin )2sin 2f x x x x =-=--=+
所以2
()22f x x =+,因此2
2
(cos )2cos 2(2cos 1)33cos 2f x x x x =+=-+=+应选C 此题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍角公式,记忆的成分较重,难度一般 16.(陕西卷)"等式sin(α+γ)=sin2β成立"是"α、β、γ成等差数列"的( )
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件 解析：假设等式sin(α+γ)=sin2β成立,那么α+γ=k π+(－1)k ·2β,此时α、β、γ不一定成等差数列,假设α、β、γ成等差数列,那么2β=α+γ,等式sin(α+γ)=sin2β成立,所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立〞是“α、β、γ成等差数列〞的．必要而不充分条件.选A ． 17.〔四川卷〕以下函数中,图象的一局部如右图所示的是 〔A 〕sin 6y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
〔B 〕sin 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
〔C 〕cos 43y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
〔D 〕cos 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
解析：从图象看出,
41T=
1264
πππ
+=,所以函数的最小正周期为π,函数应为y=sin 2x 向左平移了6π个单位,即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236
x x x ππππ
+=-++=-,选D. 18.〔天津卷〕函数x b x a x f cos sin )(-=〔a 、b 为常数,0≠a ,R x ∈〕在4
π
=x 处取得最小
值,那么函数)4
3(x f y -=π
是〔 〕
A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称
B ．偶函数且它的图象关于点)0,2
3(π
对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2
3(
π
对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称
解析：函数()sin cos f x a x b x =-(a 、b 为常数,0,)a x R ≠∈,∴ ())f x x ϕ-的周期为2π,假设函数在4
π
=
x 处取得最小值,不妨设3()sin()4
f x x π
=-
,那么函数3()4y f x π=-=33sin()sin 44x x ππ-+=,所以3()4
y f x π
=-是奇函数且它的图象关于点
(,0)π对称,选D.
19.〔天津卷〕设ππ22αβ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，，,那么“αβ<〞是“tan tan αβ<〞的〔 〕 Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
解析：在开区间(,)22ππ
-
中,函数tan y x =为单调增函数,所以设,(,),22
ππ
αβ∈-那么""αβ<是"tan tan "αβ<的充分必要条件,选C. 20.〔浙江卷〕函数y=
2
1sin2+4sin 2
x,x R ∈的值域是 (A)［-
21,23］ (B)［-23,2
1
］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］ 【考点分析】此题考查三角函数的性质,根底题. 解析：21
42sin 22212cos 212sin 21sin 2sin 212+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+-=+=
πx x x x x y ,应选择C. 【名师点拔】此题是求有关三角函数的值域的一种通法,即将函数化为
()b x A y ++=ϕωsin 或()b x A y ++=ϕωcos 的模式.
21.(重庆卷)假设,(0,)2π
αβ∈,cos()2βα-
=1sin()22
αβ-=-,那么cos()αβ+的值等于
〔A 〕2-
〔B 〕12- 〔C 〕1
2
〔D 〕2
解：由,(0,
)2π
αβ∈,那么242βππα∈－（－，）,224
αππ
β∈－（－，）
,又
cos()2
β
α-
=
,1sin()22αβ-=-,所以26βπα±－＝,26
απβ－＝－ 解得3παβ＝＝
,所以 cos()αβ+＝1
2
-
,应选B 二、填空题〔共10题〕
22.〔福建卷〕函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最小值是2-,那么ω的最小值是＿＿＿＿.
解：函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最小值是2-,那么ωx 的取值范围是,34ωπωπ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
, ∴ 32ωππ--≤或342ωππ≥,∴ ω的最小值等于32. 23.〔湖南卷〕假设()sin()sin()(0)44
f x a x b x ab π
π
=+
+-≠是偶函数,那么有序实数对(,a b )
可以是 .(注:只要填满足0a b +=的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可).
解析．ab ≠0,()sin()sin()(cos )()442222
f x a x b x a x x b x x ππ=++-=++-是偶函数,只要a +b =0即可,可以取a =1,b =－1.
24.〔湖南卷〕假设)4
sin(3)4
sin()(π
π-++=x x a x f 是偶函数,那么a = .
解析：()sin()3sin()()3(cos )442222
f x a x x a x x x x ππ=+
+-=++-是偶函
数,取a =－3,可得()f x x =-为偶函数.
25.〔江苏卷〕︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝ 【思路点拨】此题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值 【正确解答】：cot20°cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°
＝
︒︒︒
︒+︒︒︒40cos 2cos70sin7010sin 320sin 1020cos －
＝
︒︒︒
︒︒︒2cos40sin20cos10sin103cos1020cos －＋
＝
︒︒
︒︒︒2cos40sin20sin103cos1020cos －）
＋（
＝
︒︒
︒︒︒︒︒2cos40sin2030cos sin1030sin cos1020cos 2－）
＋（
︒
︒
︒︒︒sin2040cos 2sin20sin4020cos 2－
＝2
【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看〞即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化,(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切,(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.
26.〔全国卷I 〕设函数())
()cos
0f x ϕϕπ=+<<.假设()()/f x f x +是奇函数,那么
ϕ=__________.
解析：
'())f x ϕ=+,那么()()/f x f x +=
))2sin()6
π
ϕϕϕ++=--为奇函数,∴ φ=6π
.
27.(陕西卷)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为
解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43cos77sin 43sin77cos120︒︒-︒︒=︒=－2
1
． 28.(上海卷)如果αcos ＝
51,且α是第四象限的角,那么)2
cos(πα+＝ 解：
cos()sin (2παα⇒+=-=-
29.(上海卷)函数sin cos y x x =的最小正周期是_________. 解：函数sin cos y x x ==
2
1
sin2x,它的最小正周期是π.
30.(重庆卷)βα,⎪⎭⎫
⎝⎛∈ππ,43,sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-πβ那么cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=________.
解： ()33,,,sin ,45παβπαβ⎛⎫
∈+=-
⎪⎝⎭
12sin()413πβ-=,3(,2)2παβπ+∈,
3(,)424π
ππβ-
∈,∴ 4cos()5αβ+=,5
cos()413
πβ-=-, 那么cos()4π
α+
=cos[()()]4παββ+--=cos()cos()sin()sin()44
ππ
αββαββ+-++- =4531256()()51351365
⋅-+-⋅=- 31.(重庆卷
)sin α=
2
π
απ≤≤,那么tan α= .
解：由sin α=
,2παπ≤≤⇒cos α
所以tan α=－2 三、解做题〔共16题〕 32.〔安徽卷〕
310,tan cot 43
παπαα<<+=- 〔Ⅰ〕求tan α的值；
〔Ⅱ〕求
2
2
5sin 8sin
cos
11cos 8
2
2
2
2
2α
α
α
α
πα++-⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭的值.
解：(Ⅰ)由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=,即1tan 3tan 3
αα=-=-或,又
34παπ<<,所以1
tan 3
α=-为所求.
〔Ⅱ〕
2
2
5sin 8sin
cos
11cos 82
2
2
2
2α
α
α
α
πα++-⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭
1-cos 1+cos 5
4sin 118αα
α++-
=
=6-.
33.〔安徽卷〕4
0,sin 2
5
π
αα<<
=
〔Ⅰ〕求22
sin sin 2cos cos 2αα
αα
++的值； 〔Ⅱ〕求5tan()4
π
α-
的值. 解：(Ⅰ)由40,sin 25π
αα<<=,得3
cos 5
α=,所以22
sin sin 2cos cos 2αααα++＝22
sin 2sin cos 203cos 1
ααα
α+=-. 〔Ⅱ〕∵sin 4tan cos 3ααα=
=,∴5tan 11
tan()41tan 7
πααα--==+. 34.〔北京卷〕
函数1)
4()cos x f x x
π
-=
, 〔Ⅰ〕求()f x 的定义域；
〔Ⅱ〕设α是第四象限的角,且4
tan 3
α=-
,求()f α的值. 解：〔1〕依题意,有cosx ≠0,解得x ≠k π＋2π, 即()f x 的定义域为｛x|x ∈R,且x ≠k π＋2
π
,k ∈Z ｝
〔2
〕1)
4()cos x f x x
π
-=
＝－2sinx ＋2cosx ∴()f α＝－2sin α＋2cos α 由α是第四象限的角,且4tan 3α=-可得sin α＝－45,cos α＝3
5
∴()f α＝－2sin α＋2cos α＝14
5
35.〔北京卷〕函数f (x )=
x
x
cos 2sin 1-
(Ⅰ)求f (x )的定义域；
(Ⅱ)设α是第四象限的角,且tan α=3
4
-,求f (α)的值. 解：(Ⅰ)由cos x ≠0得x ≠k π+
2
π
〔k ∈Z ), 故f (x )的定义域为｛|x |x ≠k π+2
π
,k ∈Z ｝.
(Ⅱ)由于tan α=34-
,且α是第四象限的角, 所以sin α=54-,cos α=5
3, 故f(α)=ααcos 2sin 1- =12sin cos cos ααα- =
43
125535
⎛⎫-⨯-⨯
⎪⎝⎭ =1549.
36.〔福建卷〕函数f (x )=sin 2x +3x cos x +2cos 2x ,x ∈R. 〔I 〕求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；
〔Ⅱ〕函数f (x )的图象可以由函数y =sin2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？
本小题主要考查三角函数的根本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等根本知识,以及推理和运算水平.总分值12分.
解：〔I
〕1cos 2()2(1cos 2)2x f x x x -=
+++
132cos 22223
sin(2).
62
x x x π=
++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2
T π
π=
=
由题意得222,,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈ 即 ,.3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦
〔II 〕方法一：
先把sin 2y x =图象上所有点向左平移
12
π
个单位长度,得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移3
2个单位长度,就得到
3
sin(2)62
y x π=++的图象.
方法二：把sin 2y x =图象上所有的点按向量3
(,)122
a π=-平移,就得到
3
sin(2)62
y x π=++的图象.
37.〔广东卷〕函数()sin sin(),2
f x x x x R π
=++∈.
(I)求()f x 的最小正周期； (II)求()f x 的的最大值和最小值； (III)假设3
()4
f α=
,求sin2α的值. 解：)4
sin(2cos sin )2
sin(sin )(π
π
+=+=+
+=x x x x x x f
〔Ⅰ〕)(x f 的最小正周期为ππ
21
2==
T ; 〔Ⅱ〕)(x f 的最大值为2和最小值2-；
〔Ⅲ〕由于43)(=
αf ,即167cos sin 2①43cos sin -=⇒⋅⋅⋅=+αααα,即 16
72sin -=α 38.〔湖南卷〕),,0(,1cos )
cos()
22sin(
sin 3πθθθπθπ
θ∈=⋅+--
求θ的值. 解析： 由条件得1cos cos 2cos sin 3=⋅--
θθ
θ
θ. 即0sin 2sin 32=-θθ. 解得0sin 2
3
sin ==
θθ或. 由0＜θ＜π知23sin =
θ,从而3
23πθπθ==或. 39.〔辽宁卷〕函数2
2
()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++,x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间. 【解析】(I) 解法一:
1cos 23(1cos 2)
()sin 21sin 2cos 22)224
x x f x x x x x π-+=
++=++=++
∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即()8
x k k Z π
π=+
∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+∈.
解法二:
2222()(sin cos )2sin cos 2cos 2sin cos 12cos sin 2cos 22
f x x x x x x x x x x x =+++=++=++
2)4x π
=++
∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即()8
x k k Z π
π=+
∈时, ()f x 取得最大值2函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8
x x R x k k Z π
π∈=+∈.
(II)解: ()2)4
f x x π
=++由题意得: 222()2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈
即: 3()88k x k k Z ππππ-
≤≤+∈因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88
k k k Z ππππ-+∈. 【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及三角函数值求角等根底知识,考查综合运用三角有关知识的水平.
40.〔山东卷〕函数f (x )=A 2
sin ()x ωϕ+(A >0,ω>0,0<ϕ<2
π
函数,且y =f (x )的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点〔1,2〕. 〔1〕求ϕ;
〔2〕计算f (1)+f (2)+… +f (2 008).
解：〔I 〕2
sin ()cos(22).22
A A
y A x x ωϕωϕ=+=
-+ ()y f x =的最大值为2,0A >.2, 2.22
A A
A ∴+==
又其图象相邻两对称轴间的距离为2,0ω>,12()2,.224
ππ
ωω∴==
22()cos(2)1cos(2)2222
f x x x ππ
ϕϕ∴=-+=-+.
()y f x =过(1,2)点,cos(2) 1.2
π
ϕ∴+=-
22,,2
k k Z π
ϕππ∴
+=+∈22,,2
k k Z π
ϕπ∴=+∈,,4
k k Z π
ϕπ∴=+
∈
又
0,
2
π
ϕ<<
4
π
ϕ∴=
.
〔II 〕解法一：
4
π
ϕ=
,1cos(
)1sin .222
y x x π
ππ
∴=-+=+ (1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=.
又
()y f x =的周期为4,20084502=⨯,
(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=
解法二：
2()2sin ()4f x x πϕ=+223(1)(3)2sin ()2sin ()2,44
f f ππ
ϕϕ∴+=+++=
22(2)(4)2sin ()2sin ()2,2
f f π
ϕπϕ+=+++=(1)(2)(3)(4) 4.f f f f ∴+++= 又()y f x =的周期为4,20084502=⨯,(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯= 41(陕西卷)函数f(x)=3sin(2x －
π6)+2sin 2(x －π
12
) (x ∈R) (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合. 解:(Ⅰ) f (x )=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π
12)
= 2[
32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π
12
)]+1 =2sin[2(x －π12)－π
6]+1
= 2sin(2x －π
3
) +1
∴ T =2π2
=π
(Ⅱ)当f (x )取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π
2
即x =k π+
5π12 (k ∈Z ) ∴所求x 的集合为{x ∈R |x = k π+ 5π
12
, (k ∈Z )}． 42.(上海卷)求函数y ＝2)4
cos()4
cos(π
π
-+
x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期．
[解]
2cos()cos()4
4
y x x x ππ=+-
22112(cos sin )22
cos22sin(2)
6x x x
x x x π=-==+
∴
函数2cos()cos()44
y x x x ππ=+-的值域是[2,2]-,最小正周期是π； 43.(上海卷)α是第一象限的角,且5cos 13α=,求()
sin 4cos 24πααπ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭+的值.
解：)42cos()
4sin(παπ
α++
=ααα
ααααααsin cos 122sin cos )
sin (cos 222cos )sin (cos 222
2-⋅=-+=+ 由可得sin 13
12=
α, ∴原式=
1421313
12135122-=-⨯. 44. 〔天津卷〕5tan cot 2αα+=
,ππ42α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，．求cos2α和πsin(2)4α+的值． 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等根底知识,考查根本运算水平. 解法一：由5tan cot ,2αα+=得sin cos 5,cos sin 2αααα+=那么254,sin 2.sin 25
αα==
由于(,),42ππα∈所以2(,),2παπ∈ 23
cos 21sin 2,5
αα=--=
sin(2)sin 2.cos cos 2.sin 444
πππ
ααα+=+ 4232255== 解法二：由5tan cot ,2
αα+=
得
15tan ,tan 2
αα+
=
解得tan 2α=或1tan .2α=由(,),42ππα∈故舍去1
tan ,2
α=得
tan 2.α=
因此,255
sin αα=
=那么
223
cos 2cos sin ,5
ααα=-=-
且4sin 22sin cos ,5
ααα==
故sin(2)sin 2.cos
cos 2.sin
4
4
4π
π
π
ααα+
=+423225252
10=⨯-⨯=
45.〔浙江卷〕如图,函数y=2sin(πx φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2
π
) 的图象与y 轴交于点〔0,1〕.
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P 是图象上的最高点,M 、N 是图象与x 轴的交点,
求.的夹角与PN PM
此题主要考查三角函数的图像,三角函数求角,向量夹角的计算等根底知识和根本的运算水平.
解：〔I 〕由于函数图像过点(0,1),所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ=由于02πϕ≤≤,所以6
πϕ=. 〔II 〕由函数2sin()6y x ππ=+及其图像,得115
(,0),(,2),(,0),636
M P N --
所以11(,2),(,2),22PM PN =-
=-从而cos ,||||
PM PN
PM PN PM PN ⋅<>=
⋅ 1517=, 故,PM PN <>=15
arccos
17
. 46.(重庆卷)设函数f (x )=3cos 2cos+sin ωrcos ωx+a(其中ω＞0,a ∈R ),且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6
x . 〔Ⅰ〕求ω的值； 〔Ⅱ〕如果f (x )在区间⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
65,3ππ
上的最小值为3,求a
的值.
1
()cos 2sin 22
sin 23 2,
6
3
2
1
.2
f x x x x ωωαπωαπ
π
π
ωω=
+++⎛⎫=+++ ⎪
⎝
⎭⋅+
=
=
解：（
I ）依题意得解之得
)57 ,0,,36361 sin()1,
23
51 (),3621
2
x x x f x π
α
πππππ
ππαα+
+⎡⎤⎡
⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
-≤+≤⎡⎤
--++⎢⎥⎣
⎦-
++=（II)由（I
）知,f(x)=sin(x+
3又当时，故从而在上取得最小值因此，由题设知α=
47.〔上海春〕函数⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=πππ,2,
cos 26sin 2)(x x x x f .
〔1〕假设54
sin =
x ,求函数)(x f 的值； 〔2〕求函数)(x f 的值域. 19. 解：〔1〕53cos ,,2,5
4sin -=∴⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=
x x x ππ , ……2分
x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+= ……4分
x x cos sin 3-=
5
3
354+=
. ……8分 〔2〕⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=6sin 2)(πx x f , ……10分
ππ
≤≤x 2
, 656
3
ππ
π
≤
-
≤∴
x , 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-≤πx ,
∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. ……14分。