2020-2021学年北师大版高一数学上学期期末模拟检测试题及答案解析

（新课标）最新北师大版高中数学必修四
上学期期末考试 高 一 数 学 试 卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．注意事项：
1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效．
2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级’’和“考号”写在答题卷上．
3．考试结束，只交答题卷．
第Ⅰ卷 (选择题共50分)
一、选择题（每小题5分，共10个小题，本题满分50分） 1．已知集合2
1
1{|(),}2
x A y y x R +==∈，则满足A ∩B=B 的集合B 可以是( )
A. {0，
1
2
} B. {x|－1≤x ≤1}
C. {x|0＜x ＜
1
2
} D. {x|x ＞0} 2. 下列函数中既是偶函数，又是区间(－1，0)上的减函数的是( )
A. y=cosx
B. y=－|x －1|
C. y=ln 22x x
-+ D. y=e x +e －x
3. 若两个非零向量a r ，b r 满足|a r +b r |=|a r －b r |=2|a r |，则向量a r +b r 与a r －b r
的夹角为( )
A.
6
π B.
4
π
C. 23π
D. 56π
4. 要得到函数y=cos(24x π-)的图像，只需将y=sin 2x
的图像( )
A. 向左平移2π个单位长度
B. 向右平移2π
个单位长度
C. 向左平移4π个单位长度
D. 向右平移4
π
个单位长度
5. 已知(2,2),(4,1),(,0),OA OB OP x AP BP ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
g 则当最小时x 的值是( )
A. -3
B. 3
C. -1
D.1
6. 函数y=sin(πx+ϕ)(ϕ＞0)的部分图象如图所示，设P 是 图像的最高点，A ，B 是图像与x 轴的交点，记∠APB=θ， 则sin2θ的值是( ) A.
1665
B.
6365
C.－
1663 D. －1665
7. 对于幂函数f(x)=45
x ，若0＜x 1＜x 2，则12(
)2x x f +，
12()()
2
f x f x +的大小关系是( ) A. 12(
)2x x f +＞
12()()
2f x f x + B. 12(
)2x x f +＜
12()()
2
f x f x + C. 12()2x x f +=
12()()
2
f x f x +
D. 无法确定
8. 一高为H 、满缸水量为V 0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸
水深为h 时水的体积为V ，则函数的大致图象可能是( )
9. 函数f(x)的定义域为D ，满足：①f(x)在D 内是单调函数；②存在[
,22a b ]⊆D ，使得f(x)在[,22
a b
]上的值域为[a ，b]，那么就称函数y=f(x)为“优美函数”，若函数f(x)=log c (c x
－t)(c ＞0，c ≠1)是“优美函数”，
则t 的取值范围为( ) A. (0，1)
B. (0，
12
) C. (－∞，
14) D. (0，14
) 10. 函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0)(|φ|＜2
π
，x ∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为( ) A. y=－4sin(8
4
x π
π
-
) B. y=－4sin(
8
4
x π
π
+
)
C. y=4sin(
8
4
x π
π
-
)
D. y=4sin(
8
4
x π
π
+
)
第Ⅱ卷 (非选择题共100分)
二、填空题（每小题5分，共5小题，满分25分）
11．已知扇形的圆心角为2rad ，扇形的周长为8cm ，则扇形的面积为___________cm 2。

12. 若向量a r =(x ，2x)，b r =(－3x ，2)，且a r ，b r
的夹角为钝角，则x 的取值范围是____________。

13.若函数2
(2)3,[,]y x a x x a b =+++∈的图像关于直线x=1对称，则b=__________。

14. 曲线2sin cos 44y x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
和直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3…，则|P 2P 4|等于______________。

15．已知函数111,0,22()12,,22x x x f x x -⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭
=⎨⎡⎫
⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩
，若存在1212,,02x x x x ≤<<时，12()()f x f x =，则12()
x f x ⋅的取值范围是________________。

三、解答题（本大题共6小题，75分，解答时应写出解答过程或证明步骤） 16.（本小题满分12分）
已知向量1
(sin ,1),(3,)2
a x
b x =-=-r r ，函数()()2f x a b a =+-r r r g
求函数()f x 的最小正周期T 及值域
17．(本小题12分)正三角形ABC 的边长为1，且,,BC a CA b AB c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，求|2|a b c -+r r r
的值。

18．(本小题12分)已知2
()2sin 3sin cos f x a x a x x a b =-++定义域为0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，值域为 [-5,1]，求实数,a b 的值。

19．(本小题12分)为了绿化城市，准备在如图所示的区域DFEBC 内修建一个矩形PQRC 的草坪，且PQ ∥
BC ，RQ ⊥BC ，另外△AEF 的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m ，BC=80m ，AE=30m ，AF=20m 。

应如何设计才能使草坪的占地面积最大？
20．(本小题13分)已知函数()f x 定义在(―1，1)上，对于任
意
的
,(1,1)x y ∈-，有
()()()1x y
f x f y f xy
++=+，且当0x <时，()0f x >。

(Ⅰ)验证．．
函数1()11x
f x n x
-=+是否满足这些条件； (Ⅱ)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明； (Ⅲ)若1()12
f -=，求方程1
()02
f x +=的解。

21．(本小题14分)已知2()()21
x x
a
f x a R -=∈+的图象关于坐标原点对称。

(Ⅰ)求a 的值，并求出函数4
()()2121
x x F x f x =+--+的零点； (Ⅱ)若函数()()221
x x
b
h x f x =+-
+在[0，1]内存在零点，求实数b 的取值范围； (Ⅲ)设4()log 1k x g x x +=-，已知()f x 的反函数1
()f x -=21log 1x x
+-，若不等式1()()f x g x -≤在
12,23x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立，求满足条件的最小整数k 的值。

上学期期末考试 高一数学试卷参考答案
一、选择题（每小题5分，共10个小题，本题满分50分）
1.C
2.D
3.C
4.A
5.B
6. A
7.A
8.B
9.D 10.B 二、填空题（每小题5分，共5小题，满分25分） 11.4
12. 1140333
x x x <--
<<>或或
13. 6
14.π
15.12⎫
⎪⎪⎣⎭ 三．解答题（需要写出解答过程或证明步骤）(共75分)
16. 解：3
()(sin )sin 22
f x x x x =⋅+
-
1cos 23
2222
x x -=
+- sin(2)6
x π
=-……………… 8分 T=π
值域为[-1，1] ……………………12分
17. 解：23
a C π
π-∠=
r r u u r u u r 与b 的夹角即向量BC 与CA 的夹角为…………………………4分 所以21
||cos 32
a b a b π⋅==-r r r r P ，
同理11
,22
b c a c ⋅=-⋅=-r r r r ，…………………………8分
所以2222|2|42447a b c a b c a b ac bc -+=++-+-=r r r r r r r r r r r r
g
|2|a b c -+=r r r
12分
18. 解：因为2
()2sin sin cos f x a x x x a b =-++
(1cos 2)sin 2a x x a b =--++
2cos 2)2a x x a b =-+++
2sin(2)26
a x a
b π
=-+++………………………3分
因为70,
,2,,2666x x ππππ⎡⎤
⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
所以 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤
+
∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
………………………6分
min 03,(),a a b f x b >=+=max 当时,f(x)
31,2,55
a b a b b +=⎧==-⎨=-⎩所以即
min 0,()3,a b f x a b <==+max 当时,f(x)
35,2,11a b a b b +=-⎧=-=⎨=⎩
所以即
故符合条件的a, b 的值为a=2, b=－5或a=－2, b=1. ………………………12分
19. 解：如图MQ ⊥AD 于M ，NQ ⊥AB 于N 设MQ=x ∴NQ=y=20－23
x 则长方形的面积
2
(100)[80(20)]3S x x =--- （0≤x ≤30）………6分
化简，得2220
600033
S x x =-++ （0≤x ≤30）
配方，易得50
5,3
x y ==2时,S 最大,其最大值为6017m ………………………12分
20. 解：①101x
x
->+Q
∴－1<x<1即定义域为(－1,1) 111()()ln ln 111x y x y xy
f x f y x y x y xy ----++=⋅=+++++又
111()ln ln
1111x y x y xy x y xy
f x y xy xy x y xy
+-
++--+==++++++
+ ∴成立
0110x x x <->+>且时 111x x ->+1ln 01x
x
-∴>+符合条件 ………………………4分
②令x=y=0，则f(0)=0，令y=－x 则f(x)+f(－x)=0
∴f(－x)=－f(x)为奇函数
任取1x 、212(1,1)x x x ∈-<且
12
121212
()()()()(
)1x x f x f x f x f x f x x --=+-=-
1211x x -<<<Q
120x x ∴-<1211x x -<< 121201x x x x -∴<-121212
()0()()1x x
f f x f x x x ->>-即
()(1,1)f x ∴-是上的减函数………………………8分
③∵f(x)为奇函数 ∴1
()12
f =-2
22()()()(
)1x
f x f x f x f x
=+=+ 由1()02f x +=2()10f x ∴+=2()1f x =-221
()()12
x f f x ∴=+
∵f(x)为(－1，1)上单调函数 2
21
,22)12
x x x x ∴===+为所求 ………………………13分
21. 解：（1）由题意知f(x)是R 上的奇函数，
(0)0,1,f a ∴==得
2214(2)26
()21212121x x x x x x x
F x -+-∴=+--=+++ 2(2)260,22,1,x x x x +-==∴=由得
即F(x)的零点为x=1.
………………………4分
（2）2121(2)21()2,212121
x x x x x
x x b b
h x +-+--=+-=+++ 由题设知h(x)=0在[0,1]内有解，
21(2)210[0,1]x x b ++--=即方程在内有解.
212(2)21(21)2[0,1]x x x b +∴=+-=+-在内单调递增,
27,27b b ∴≤≤≤≤故当时,
()()221
x x
b
h x f x =+-
+函数在[0，1]内存在零点………………………8分
（3）1
()(),f
x g x -≤由
2
241(1)log log ,,111x k x x k x x x x
+++≤+≥---得
显然21221
[,],0,.231x x x k x k x ++∈+>≥
-时即 1211
1,[,],[,],2332
m x x m =-∈∴∈设由于
2221254423
25[4,],13x x m m m x m m ++-+==+-∈-于是
23
,8.3
k k ∴≥
故满足条件的最小整数的值是………………………14分。