【人教.高中.数学】选修2-1：第二章2.2-2.2.2第2课时椭圆方程及性质的应用【PPT课件】

m 的取值范围是( )
A．m＞1
B．m＞1 且 m≠3
C．m＞3
D．m＞0 且 m≠3
答案：B

4. 直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系是 ________．
解析：直线 y＝kx－k＋1 过定点(1，1)，且该点在椭 圆内，所以二者相交．
答案：相交

将 b＝ 2a 代入得 a＝13，所以 b＝ 32. 所以，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
x＋y＝1 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ （k2＋1）（x1－x2）2＝

归纳升华 1．解法一利用了设点代入、作差、借助斜率的解题 方法，称作“点差法”，是解析几何中解决直线与圆锥曲 线位置关系的常用技巧，应在理解的基础上进行记忆． 2．解法二是圆锥曲线弦长的基本求法，是利用两点间 的距离公式求得，再者就是结合弦所在直线的斜率 k，利用 弦长＝ （1＋k2）（x2－x1）2与韦达定理结合较简单．

5．椭圆 x2＋4y2＝16 被直线 y＝12x＋1 截得的弦长为 ________．
答案： 35

类型 1 直线与椭圆的位置关系(自主研析)
[典例 1] 已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m.
(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求直线被椭圆截得的最长弦的长度．
当 Δ＝0，即 m＝± 5时，方程③有两个相等的实数 根，代入①得一个公共点的坐标，此时直线与椭圆相切；

当 Δ<0 时，即 m<－ 5或 m> 5，方程③无实根，直 线与椭圆相离．

类型 2 有关弦的中点问题 [典例 2] 椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 x＋y－1＝0 相交 于 A、B 两点，C 是 AB 的中点，若|AB|＝2 2，OC 的斜 率为 22，求椭圆的方程． 解：法一：设 A(x1，y1)B(x2，y2)，代入椭圆方程并
1．求两交点坐标，转化为两点间距离． 2．用公式来求． 设直线斜率为 k，直线与椭圆两交点为 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k12·|y1－y2|.

1．直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭 圆方程得到的一元二次方程，利用“Δ”进行判定，求 弦长时可利用根与系数的关系，中点弦问题考虑，使用 “点差法”．
k＝－12，且满足
Δ＞0.
故所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.

法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为 M(2，1)为 AB 的中点， 所以 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又 A，B 两点在椭圆上， 所以 x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16， 两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，
（x1－x2）2（1＋k2AB）＝
（1＋k2AB）[（x1＋x2）2－4x1x2]
＝
（1＋22）532－4×0＝53 5.

2x－y－2＝0， 法三：由方程组x52＋y42＝1， 消去 x 得 3y2＋2y－8＝0， 因为 Δ＝22＋4×3×8＝100>0， 则 y1＋y2＝－23，y1y2＝－83.
范围是( )
A．－ 2<a< 2 B．a<－ 2或 a> 2
C．－2<a<2
D．－1<a<1
解析：因为点 A(a，1)在椭圆x42＋y22＝1 的内部，所以
a42＋12<1，所以a42<12，则 a2<2，所以－ 2<a< 2.
答案：A

3．直线 y＝x＋2 与椭圆xm2＋y32＝1 有两个公共点，则
Δ＝0
相离
无解
Δ＜0

3.弦长公式 设直线方程为 y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为xa22＋by22＝ 1(a＞b＞0)或ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)，直线与椭圆的两个交点 为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2， ＝ 1＋k2· （x1－x2）2
(2)由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－25m， m2－1
x1·x2＝ 5 ， 则弦长 d＝ 1＋k2·|x1－x2| ＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1·x2]

＝
242m52－4（m25－1）
＝25 10－8m2，
故当 m＝0 时，d 取得最大值为2 510.

(3)正确．可以由弦长公式求得弦长为 5. 也可以用数形结合法：易知直线x2－y＝1 过椭圆x42＋ y2＝1 的下顶点 B1(－1，0)和右顶点 A2(2，0)，故弦长|A2B1| ＝ 5. 答案：(1)× (2)√ (3)√

2．点 A(a，1)在椭圆x42＋y22＝1 的内部，则 a 的取值

[变式训练] 已知椭圆1x62＋y42＝1 的弦 AB 的中点 M 的坐标为(2，1)，求直线 AB 的方程．
解：法一：易知直线的斜率 k 存在．
设所求直线的方程为 y－1＝k(x－2)，
y－1＝k（x－2），
由1x62 ＋y42＝1
得

4x2＋y2＝1，
解：由方程组
消去 y 并整理，得
y＝x＋m，
5x2＋2mx＋m2－1＝0.

(1)因为直线与椭圆有公共点．
所以Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0.
解得－
25≤m≤
5 2.
故实数 m 的取值范围是－ 25， 25.

作差得 a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
y1－y2
y1＋y2
2
又x1－x2＝－1，x1＋x2＝kO C＝ 2 ，
代入上式可得 b＝ 2a.
|AB|＝ 2|x2－x1|＝2 2， 其中 x1，x2 是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0 的两根， 故a2＋bb2－4×ba－ ＋1b＝4.
法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2x－y－2＝0，
由方程组x52＋y42＝1. 消去 y 得 3x2－5x＝0，因为 Δ＝(－5)2＝25>0，则 x1 ＋x2＝53，x1·x2＝0.

所 以 |AB| ＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝

归纳升华 1．直线和椭圆有公共点包含相切和相交两种情况， Δ≥0. 2．弦长公式的另一种形式：d＝ 1＋k12·|y1－y2|. 3．若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时， 弦长最大．

[变式训练] 对不同的实数值 m，讨论直线 y＝x＋m 与椭圆x42＋y2＝1 的位置关系．
解：联立方程组得：
y＝x＋m，① x42＋y2＝1，②将①代入②得： x42＋(x＋m)2＝1，
整理得：5x2＋8mx＋4m2－4＝0.③

Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当 Δ>0，即－ 5<m< 5时，方程③有两个不同的实 数根，代入①可得两个公共点的坐标，此时直线与椭圆相 交；

4b2－4（a＋b）（b－1）
2·
，
a＋b
a＋b－ab
因为|AB|＝2 2，所以
＝1.①
a＋b
设 C(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝a＋b b，

y＝1－x＝ a ， a＋b
因为 OC 的斜率为 22，所以ab＝ 22. 代入①，得 a＝13，b＝ 32. 所以椭圆方程为x32＋ 32y2＝1.

[知识提炼·梳理]
1．点
x2 y2 P(x0，y0)与椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的位置关系
(1)点 P 在椭圆上⇔_ax_220_＋__by_022＝__1_；
(2)点 P 在椭圆内部⇔_ax_220_＋__by_022＜__1_；
(3)点 P 在椭圆外部⇔__ax_220＋__by_022_＞__1_．
第二章 圆锥曲线与方程
2.2 椭圆 2. 2.2 椭圆的简单几何性质 第 2 课时 椭圆方程及性质的应用

[学习目标] 1.进一步熟练掌握椭圆的标准方程和几 何性质． 2.掌握直线和椭圆的位置关系的判断方法，能 利用直线和椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问 题(重点、难点)．

2．直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的位置关
y＝kx＋m， 系判断方法：联立ax22＋by22＝1，消去 y 得一个一元二次方 程.

位置关系 解的个数 Δ的取值
相交
两解
Δ＞0
相切
一解

2x－y－2＝0， 法一：解方程组x52＋y42＝1， 得交点 A(0，－2)，B53，43.
所 以 |AB| ＝ （xA－xB）2＋（yA－yB）2 ＝
0－532＋－2－432＝
1295＝5 3
5 .

(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1，x2 是上述方程的两 根，
8（2k2－k） 于是 x1＋x2＝ 4k2＋1 .

又 M 为 AB 的中点，
x1＋x2 4（2k2－k） 所以 2 ＝ 4k2＋1 ＝2，解得

于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 所以xy11－－yx22＝－4（xy11＋＋xy22）＝－4×4 2＝－12，即 kAB＝ －12. 故所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.

类型 3 直线被椭圆截得的弦长问题 [典例 3] 已知斜率为 2 的直线经过椭圆x52＋y42＝1 的右焦点 F1，与椭圆相交于 A，B 两点，求弦 AB 的长． 解：因为直线 l 过椭圆x52＋y42＝1 的右焦点 F1(1，0)， 又直线的斜率为 2，所以直线 l 的方程为 y＝2(x－1)， 即 2x－y－2＝0.

＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2，
或|AB|＝ 1＋k12· （y1－y2）2
＝
1＋k12· （y1＋y2）2－4y1y2.

[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知椭圆xa22＋by22＝1 与点 P(b，0)，过点 P 可作出 该椭圆的一条切线．( ) (2)直线 y＝k(x－a)与椭圆xa22＋by22＝1 的位置关系是相 交．( )

(3) 直 线 x2 － y ＝ 1
被
椭
圆
x2 4
＋
y2
＝
1
截得的弦长为
5.( ) 解析：(1)不正确．易知 P(b，0)在椭圆xa22＋by22＝1 内
部，过 P 作不出椭圆的切线．
(2)正确．因为直线 y＝k(x－a)过点(a，0)，此点为椭
圆右顶点，且直线斜率存在，故相交．
[迁移探究] (变换条件，改变问法)典例 3 中，若椭 圆的左焦点为 F，求△ABF 的面积．
解：由椭圆方程知左焦点 F(－1，0)，又直线方程为 2x－y－2＝0，所以△ABF 的高为|－222－＋21|＝455，所以 △ABF 的面积为12×535×455＝130.

归纳升华 直线被椭圆截得的弦长的求法思路

所以|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2 1
＝ （y1－y2）2·k2AB＋1 ＝ 1＋k21AB[（y1＋y2）2－4y1y2] ＝ 1＋14·－232－4×－38 ＝5 3 5.