北师大版初三数学9年级下册 第1章(直角三角形的边角关系)单元测试卷(含答案)

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
A卷(共100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)
题号12345678910
答案
1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝( )
A.
3
2
B.
1
2
C.3
D.
3
3
2．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是( )
A.3
5
B.
4
5
C.
3
4
D.
4
3
3．在△ABC中，若tanA＝1，sinB＝
2
2
，你认为最确切的判断是( )
A．△ABC是等腰三角形 B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形 D．△ABC是一般锐角三角形
4．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cosα＝3
5
，AB＝4，则AD
的长为( )
A．3 B.16
3
C.
20
3
D.
16
5
5．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝( )
A ．2 B.12 C.22 D.32
6．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35
，则坡面AC 的长度为( )A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m
7．下列不等式不成立的是( )
A ．sin20°＜sin40°＜sin70°
B ．cos20°＜cos40°＜cos70°
C ．tan20°＜tan40°＜tan70°
D ．sin30°＜cos45°＜tan60°
8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是( )
A ．10 m B.10
33 m C ．53 m D ．5 m
9．如图，直线y ＝－43
x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠AON ＝( )
A.45
B.35
C.43
D.34
10．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是( )
A ．3
B ．5
C ．52 D.5
22
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)
11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝23
，则a ∶b ＝____________．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝
3b ，则tanA ＝33，∠B ＝
____________．
13．如图，在△ABC 中，cosB ＝
22，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为____________．
14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝____________．
三、解答题(本大题共6个小题，共54分) 15．(本小题满分6分)计算：
(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；
(2)
2
4
sin45°＋cos230°－
1
2tan60°
＋2sin60°.
16．(本小题满分8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA.
17．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝6，求AB的长．
18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24 m，小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8 m到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6 m，求教学楼AB的高度．(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；
(3)求点C到直线AB的距离．
20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM，DN.
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB＝2，AD＝4，求sin∠AMB的值．
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)
21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA=_____．
22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为3
2
，则sin∠CAB＝
_____．
23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为_____米．
24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝1
3
，则BE的长为_____．
25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝_____．
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan15°的值．
27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．
(1)求∠CAE的度数；
(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)
28．(本小题满分12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°.
(1)当DF∥AB时，连接EF，求tan∠DEF的值；
(2)当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
参考答案
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
A卷(共100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)
题号12345678910
答案A A B B B A B B C D
1.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则cosA＝(A)
A.
3
2
B.
1
2
C.3
D.
3
3
2．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A)
A.3
5
B.
4
5
C.
3
4
D.
4
3
3．在△ABC 中，若tanA ＝1，sinB ＝22，你认为最确切的判断是(B)
A ．△ABC 是等腰三角形
B ．△AB
C 是等腰直角三角形
C ．△ABC 是直角三角形
D ．△ABC 是一般锐角三角形
4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，
则AD 的长为(B)
A ．3 B.16
3 C.20
3 D.16
5
5．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿DE 折起，使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，DE ＝8，则sin ∠C ′ED ＝(B)
A ．2 B.12 C.2
2 D.3
2
6．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35
，则坡面AC 的长度为(A)A ．10 m B ．8 m C ．6 m D ．63 m
7．下列不等式不成立的是(B)
A ．sin20°＜sin40°＜sin70°
B ．cos20°＜cos40°＜cos70°
C ．tan20°＜tan40°＜tan70°
D ．sin30°＜cos45°＜tan60°
8．如图，在离地面高5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC 的长是(B)
A ．10 m
B.103
3 m
C ．5
3 m
D ．5 m
9．如图，直线y ＝－4
3
x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，作OA ⊥MN 于点A ，则tan ∠
AON ＝(C)
A.4
5 B.3
5 C.4
3 D.34
10．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于点E ，∠EDC ∶∠EDA ＝1∶3，且AC ＝10，则DE 的长度是(D)
A ．3
B ．5
C ．5
2
D.52
2
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)
11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosB ＝2
3，则a ∶b ＝2∶
5．12．已知，在△ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝3b ，则tanA ＝
33
，∠B ＝60°．
13．如图，在△ABC 中，cosB ＝
2
2
，sinC ＝35，AC ＝10，则△ABC 的面积为42．
14．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均落在格点上，则tanC ＝2．
三、解答题(本大题共6个小题，共54分)15．(本小题满分6分)计算：
(1)sin45°＋cos45°－tan30°×sin60°；解：原式＝
22＋
22－
33×
32
＝
2－1
2
.(2)
24
sin45°＋cos 230°－
12tan60°
＋2sin60°.
解：原式＝24
×22＋(32
)2－
12×
3
＋2×
32
＝14＋34－36
＋3
＝1＋
53
6
.
16．(本小题满分8分)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sinA ，cosA ，tanA.
解：由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12，∴sinA ＝
BC AB ＝513，cosA ＝
AC AB
＝1213
，tanA ＝
BC AC ＝512.
17．(本小题满分8分)如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6，求AB 的
长．
解：过点C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠B ＝45°，∴CD ＝BD.∵BC ＝
6，∴CD ＝BD ＝
3.
∵∠A ＝30°，tan30°＝CD AD
，∴AD ＝CD tan30°
＝333
＝3.
∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋
3.
18．(本小题满分10分)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24 m ，小明在点E(B ，E ，D 在一条直线上)处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8 m 到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6 m ，求教学楼AB 的高度．(精确到0.1 m ，参考数据：
2≈1.41，
3≈1.73)
解：延长HF 交CD 于点N ，延长FH 交AB 于点M ，由题意，得
MB ＝HG ＝FE ＝ND ＝1.6 m ，HF ＝GE ＝8 m ，MF ＝BE ，HN ＝GD ，MN ＝BD ＝24 m.
设
AM ＝x m ，则CN ＝x m.
在Rt△AFM中，MF＝
AM
tan45°
＝
x
1
＝x，在Rt△CNH中，HN＝
CN
tan30°
＝
x
3
3
＝3x，
∴HF＝MF＋HN－MN＝x＋3x－24，即8＝x＋3x－24，解得x≈11.7.
∴AB＝11.7＋1.6＝13.3(m)．
答：教学楼AB的高度约为13.3 m.
19．(本小题满分10分)如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2，3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC.
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)若△ABC的面积为6，求sin∠ABC的值；
(3)求点C到直线AB的距离．
解：(1)设反比例函数的表达式为y＝k x ，
由题意，得k＝xy＝2×3＝6.∴反比例函数的表达式为y＝6 x .
(2)设B点坐标为(a，b)，过点A作AD⊥BC于点D，则D(2，b)．
∵反比例函数y＝6
x
的图象经过点B(a，b)，∴b＝
6
a
.∴AD＝3－
6
a
.
∴S△ABC＝1
2
BC·AD＝
1
2
a(3－
6
a
)＝6，解得a＝6.
∴b＝6
a
＝1，AD＝3－
6
a
＝2.∴B(6，1)．∴AB＝（2－6）2＋（3－1）2＝25.
∴sin∠ABC＝
2
25
＝
5
5
.
(3)过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，在Rt△BCE中，sin∠ABC＝CE BC
＝
5
5
，BC＝
6，∴CE ＝
65
5
.
∴点C 到直线AB 的距离为65
5.
20．(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连接BM ，DN.
(1)求证：四边形BMDN 是菱形；
(2)若AB ＝2，AD ＝4，求sin ∠AMB 的值．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠A ＝90°.∴∠MDO ＝∠NBO.
∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，MN ⊥BD.在△DMO 和△BNO 中，{
∠MDO ＝∠NBO ，
DO ＝BO ，
∠MOD ＝∠NOB ，
∴△DMO ≌△BNO(ASA)．∴OM ＝ON.∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴四边形BMDN 是菱形．(2)∵四边形BMDN 是菱形，∴MB ＝MD.设MD ＝x ，则AM ＝4－x ，MB ＝DM ＝x.在Rt △AMB 中，BM 2＝AM 2＋AB 2，即x 2＝(4－x)2＋22，解得x ＝5
2.
∴sin ∠AMB ＝
AB BM ＝45
.
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)
21．在△ABC中，∠C＝90°，边a，c满足c2－5ac＋6a2＝0，则cosA＝
3
2
或
22
3
．
22．如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积为3
2
，则sin∠CAB＝
3
5
．
23．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影子长2米，则树的高度为(6＋3)米．
24．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC＝1
3
，则BE的长为3或5．
25．如图，正方形ABCD的边长为22，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tanE＝2
3
．
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
26．(本小题满分8分)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝1 8 .
(1)求BC的长；
(2)利用此图形求tan15°的值．
解：(1)过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°.
∴AD＝1
2
AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×
3
2
＝23.
在Rt△ABD中，tanB＝AD
BD
＝
2
BD
＝
1
8
，∴BD＝16.∴BC＝BD－CD＝16－23.
(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°.
∴tan15°＝tan∠AMD＝AD
MD
＝
2
4＋23
＝
1
2＋3
＝2－3.
27．(本小题满分10分)如图，坡上有一棵与水平面EF垂直的大树AB，台风过后，大树倾斜后折断倒在山坡上，大树顶部B接触到坡面上的D点．已知山坡的坡角∠AEF＝30°，量得树干倾斜角∠BAC＝45°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°且AD＝4米．
(1)求∠CAE的度数；
(2)求这棵大树折断前的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)
解：(1)延长BA交EF于点H，则∠AHE＝90°，∠HAE＝60°.
∵∠BAC＝45°，∴∠CAE＝180°－∠EAH－∠BAC＝75°.
(2)过点A作AM⊥CD于点M，则∠CAM＝90°－45°＝45°，∠DAM＝75°－45°＝30°，
∴AM＝AD·cos30°＝4×
3
2
＝23，MD＝
1
2
AD＝2，
∵∠C ＝∠CAM ＝45°，∴CM ＝AM ＝23，AC ＝2AM ＝2×23＝26.
∴AB ＝AC ＋CM ＋MD ＝2
6＋2
3＋2≈2×2.4＋2×1.7＋2＝10.2≈10.
∴这棵大树折断前的高度约为10米．
28．(本小题满分12分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 为AC 中点，点E 为边AB 上一动点，点F 为射线BC 上一动点，且∠FDE ＝90°.
(1)当DF ∥AB 时，连接EF ，求tan ∠DEF 的值；
(2)当点F 在线段BC 上时，设AE ＝x ，BF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
(3)连接CE ，若△CDE 为等腰三角形，求BF 的长．
解：(1)∵AC ＝BC ＝6，∠ACB ＝90°，∴AB ＝6
2.
∵DF ∥AB ，点D 为AC 中点，∴AD ＝CD ＝1
2AC ＝3，DF ＝1
2AB ＝3
2.∴DE ＝
322.
在Rt △DEF 中，tan ∠DEF ＝
DF DE ＝32322＝2.
(2)过点E 作EH ⊥AC 于点H ，设AE ＝x ，∵BC ⊥AC ，∴EH ∥BC.∴∠AEH ＝∠B.∵∠B ＝∠A ，∴∠AEH ＝∠A.∴HE ＝HA ＝
22x.∴HD ＝3－22x.
易证△HDE ∽△CFD ，∴HD
CF ＝HE
DC ，即3－
22x
6－y ＝2
2
x 3.∴y ＝9－92x
(
2≤x ≤32)．
(3)∵CE ≥1
2
AB ＝3
2＞3，CD ＝3，∴CE ＞CD.
∴若△DCE 为等腰三角形，只有DC ＝DE 或ED ＝EC 两种可能．当DC ＝DE 时，点F 在边
BC 上，过点D 作DG ⊥AE 于点G(如图1)，
可得AE＝2AG＝32，即点E在AB中点．∴此时F与C重合．∴BF＝6.
当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M(如图2)，
∵EM⊥CD，ED＝EC，∴DM＝CM＝1
2
CD＝
3
2
.
易证EM＝AM＝AD＋DM＝3＋3
2
＝
9
2
.
∵DE⊥DF，∴∠EDM＋∠FDC＝90°.∵∠FDC＋∠F＝90°，∴∠F＝∠EDM.
∴△DFC∽△EDM.∴CF
DM
＝
CD
EM
，即
CF
3
2
＝
3
9
2
.∴CF＝1.∴BF＝7.
综上所述，BF的长为6或
7.。