2020高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例(第课时)三角形中的几何计算学案 5

第3课时三角形中的几何计算

学习目标核心素养

1.掌握三角形的面积公式的应用．（重点) 2．掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用．(难点)1.通过三角形面积公式的学习,培养学生的数学运算的素养．2．借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象的素养.

1．三角形的面积公式

（1)S＝错误!a·h a＝错误!b·h b＝错误!c·h c（h a，h b，h c分别表示a，b,c边上的高）；

（2）S＝错误!ab sin C＝错误!bc sin A＝错误!ca sin B；

(3)S＝错误!(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径）．

2．三角形中常用的结论

（1)∠A＋∠B＝π－∠C，错误!＝错误!－错误!；

(2)在三角形中大边对大角，反之亦然;

(3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

(4)三角形的诱导公式

sin（A＋B）＝sin_C，cos（A＋B）＝－cos_C，

tan（A＋B）＝－tan_C错误!，

sin 错误!＝cos 错误!，

cos 错误!＝sin 错误!.

1．在△ABC中，已知a＝2,b＝3,∠C＝120°，则S△ABC＝（) A．错误!B．错误!

C．错误!D．3

B［S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!×2×3×错误!＝错误!.］

2．在△ABC中，a＝6，∠B＝30°，∠C＝120°,则△ABC的面积为________．

9错误!［由题知∠A＝180°－120°－30°＝30°.∴错误!＝错误!，∴b＝6，∴S＝错误!×6×6×sin 120°＝9错误!.]

3．若△ABC的面积为错误!,BC＝2，∠C＝60°，则边AB的长度等于________．

2 ［在△ABC中，由面积公式得S＝错误!BC·AC·sin C＝错误!×2·AC·sin 60°＝错误!AC＝错误!，

∴AC＝2.

∵BC＝2，∠C＝60°,

∴△ABC为等边三角形．

∴AB＝2.]

三角形面积的计

算

【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B＝错误!，cos A＝错误!，b＝错误!。

（1)求sin C的值；

(2)求△ABC的面积．

[解] （1)∵角A,B，C为△ABC的内角,且∠B＝错误!，cos A＝错误!,

∴∠C＝2π

3

－∠A，sin A＝

3

5

.

∴sin C＝sin错误!＝错误!cos A＋错误!sin A＝错误!. (2）由(1)知sin A＝错误!，sin C＝错误!。

又∵∠B＝π

3

，b＝错误!，∴在△ABC中，

由正弦定理得

a＝错误!＝错误!.

∴△ABC的面积S＝错误!ab sin C

＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!。

对于此类问题，一般用公式S＝错误!ab sin C＝错误!bc sin A＝错误! ac sin B进行求解，可分为以下两种情况：

(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．

（2）若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解．

1．在△ABC中，已知∠C＝120°,AB＝2错误!，AC＝2，求△ABC 的面积．

［解] 由正弦定理知错误!＝错误!,

即错误!＝错误!，

所以sin B＝错误!，由于AB〉AC,

所以∠C>∠B,故∠B＝30°.

从而∠A＝180°－120°－30°＝30°。

所以△ABC的面积

S＝错误!AB·AC·sin A

＝错误!×2错误!×2×sin 30°

＝错误!.

三角形中的

计算

【例2】在△ABC中,若c＝4，b＝7，BC边上的中线AD的长为错误!,求边长A．

［解］如图所示，因为AD是BC边上的中线，所以可设CD ＝DB＝x，

则CB＝a＝2x.

因为c＝4,b＝7，AD＝错误!，

在△ACD中，

有cos C＝错误!，

在△ABC中，有cos C＝错误!.

所以错误!＝错误!. 解得x ＝9

2。

所以a ＝2x ＝9。

1．正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．

2．此类问题突破的关键是仔细观察、发现图形中较隐蔽的几何条件．

2．在△ABC 中，已知点D 在BC 边上,满足AD ，→

·错误!＝0，sin ∠BAC ＝错误!，AB ＝3错误!，BD ＝错误!。

(1)求AD 的长； (2)求cos C ．

［解] (1）因为错误!·错误!＝0, 所以AD ⊥AC ，

所以sin ∠BAC ＝sin 错误!＝cos ∠BAD ，

因为sin∠BAC＝错误!，

所以cos∠BAD＝错误!.

在△ABD中，由余弦定理可知BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos ∠BAD,

即AD2－8AD＋15＝0,

解得AD＝5或AD＝3.

由于AB>AD,

所以AD＝3。

（2)在△ABD中，由正弦定理可知，

错误!＝错误!，

又由cos∠BAD＝错误!，

可知sin∠BAD ＝1 3 ,

所以sin∠ADB＝错误!＝错误!，

又∠DAC＝90°，

所以cos C＝sin∠CDA＝sin∠ADB＝错误!.

三角形中的综

合问题