2019年高考数学一轮复习课时分层训练29等比数列及其前n项和文北师大版_96

课时分层训练(二十九)　等比数列及其前n 项和
A 组　基础达标(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )
A ．a 1，a 3，a 9成等比数列
B ．a 2，a 3，a 6成等比数列
C ．a 2，a 4，a 8成等比数列
D ．a 3，a 6，a 9成等比数列
D [由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a ≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D ．]2
62．(2018·三湘名校联盟模拟)在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有( )
【导学号：00090171】A ．3盏灯B ．192盏灯C ．195盏灯
D ．200盏灯
C [由题意设顶层的灯盏数为a 1，
则有S 7＝＝381，解得a 1＝3，∴a 7＝a 1×26＝3×26＝192，∴a 1＋a 7＝195.
a 1 1－27
1－2
故选C ．]
3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
D [两式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得＝3，即q ＝3.]
a 4
a 34．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )
1
4A ．2B ．1C ．D ．12
18
C [法一：∵a 3a 5＝a ，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a ＝4(a 4－1)，2
424∴a －4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝＝＝8，2
4a 4a 12
1
4∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝×2＝，故选C ．
141
2法二：∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，
将a 1＝代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，1
4解得q ＝2，
∴a 2＝a 1q ＝，故选C ．]
1
25．(2017·合肥二次质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，a 3·a 5＝4，则下列说法正确的是( )A ．{a n }是单调递减数列B ．{S n }是单调递减数列C ．{a 2n }是单调递减数列D ．{S 2n }是单调递减数列
C [设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3·a 5＝a 2q ·a 2q 3＝4，又因为a 2＝12，所以q 4＝，则q 2＝，所以数列{a 2n }是首项为12，公比为的等比数列，则数列{a 2n }为单调递136161
6减数列，故选C ．]二、填空题
6．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋2，c ＝5－2，则b ＝__________.
661　[∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝a ·c ＝(5＋2)(5－2)＝1.又b >0，∴b ＝1.]667．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则
a 1＝________，S 5＝________.
1　121　[∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋＝3，12(Sn ＋
1
2)
∴数列
是公比为3的等比数列，
{
Sn ＋
1
2}
∴
＝3.S 2＋
12S 1＋
12又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1，∴S 5＋＝×34＝×34＝，12(S 1＋
12)
32243
2∴S 5＝121.]
8．(2017·深圳二次调研)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n 为前
n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n ＝__________尺．
【导学号：00090172】
2n －＋1　[依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，1
2n －1所以前n 天大老鼠打洞的距离共为＝2n －1.同理可得前n 天小老鼠打洞
1× 1－2n
1－2的距离共为＝2－，所以S n ＝2n －1＋2－＝2n －＋1.]
1×[1－
(12
)n ]
1－1
2
12n －112n －11
2n －1三、解答题
9．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为
T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.
(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；(2)若T 3＝21，求S 3.
[解]　设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)·d ，b n ＝q n －1.1分由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.①2分
(1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得Error!(舍去)，Error!5分
因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.7分(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0.解得q ＝－5或q ＝4.
10分
当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21.11分当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.12分
10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝，a 3＝，且当n ≥2时，325
44S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：
为等比数列．
{
an ＋1－12
an
}[解]　(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，
即4＋5
(1＋32＋54＋a 4)(1＋32)＝8＋1，(
1＋32＋
54)
解得a 4＝.
7
8(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×＋1＝6＝4a 2，5
4∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ∈N *)，
∴
＝＝＝＝，an ＋2－12
an ＋1an ＋1－12
an
4an ＋2－2an ＋14an ＋1－2an 4an ＋1－an －2an ＋14an ＋1－2an 2an ＋1－an 2 2an ＋1－an 1
2∴数列
是以a 2－a 1＝1为首项，为公比的等比数列．
{
an ＋1－1
2
an
}
121
2B 组　能力提升(建议用时：15分钟)
1．(2018·淮北模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，则＝( )
a
b A ．－3B ．－1C ．1
D ．3
A [∵等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，
∴a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝3a ＋b －a －b ＝2a ，a 3＝S 3－S 2＝9a ＋b －3a －b ＝6a ，∵等比数列{a n }中，a ＝a 1a 3，
2∴(2a )2＝(a ＋b )×6a ，解得＝－3.故选A ．]
a
b 2．(2018·长沙模拟)一个等比数列{a n }的前3项的积为2，后3项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有________项. 【导学号：00090173】12　[设首项为a 1，共有n 项，公比为q .
前3项之积为a q 3＝2，后3项之积为a q 3n －6＝4，3
131两式相乘得a q 3(n －1)＝8，即a q n －1＝2，6
121又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，
∴a q ＝64，则(a q n －1)n ＝642，n
1n n －1
2
2
1∴2n ＝642，∴n ＝12.]
3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．
(1)证明：数列{a n }是等比数列；
(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．
[解]　(1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)，
n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.
2分
因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝a n －1.
4
3又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为的等比数列．5分
4
3(2)由(1)知a n ＝n －1，
(4
3)
由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，
得b n ＋1－b n ＝n －1.7分
(4
3
)
可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)
＝2＋1－(4
3)
n －11－43
＝3·n －1－1(n ≥2).
10分
(43
)
当n ＝1时也满足，
所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·n －1－1(n ∈N *).12分
(4
3
)。