传热学-第三章

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cV d hA d
求通解ln hA c General Solution cV
初始条件 : 0，t t0， 0 t0 t
Initial condition
0
t t t0 t
exp
hA
cV
7
※
时间常数
c
cV
hA
e c
0
time constant
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※ t x 4 a
热边界层 t
※
t
x 2 22
•
1 a
x2 16a
惰性时间 t x2
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（冰冻三尺 非一日之寒）
设大地温度为10ºC，后受到冷空气侵袭地表温度降 为-15ºC并维持不变。确定这种条件下地下1m 处温度
降为0ºC时所需时间？设土壤的物性为 a 1.38107 m2 / s
t
t0
2
end
26
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（1）建立物理模型 ( Physical Model ) （2）建立数学模型( Mathematical Model ) （3）求通解( General Solution ) （4）建立定解条件( initial and boundary condition) （5）求特解( Special Solution ) （6）求解换热量( Flowrate of heat）
1.瞬间换热量 transient heat transfer rate
hA(t
t )
hA
hA0
exp(
hA
cV
)
2. 0~ 内传给流体的总热量：
Q 0 d
0
hA
0
exp(
hA
cV
)d
0 cV
1
exp
hA
cV
11
复习
1. 集中参数法使用条件 （1）物体内部温度分布均匀 （2）物体内部导热热阻可忽略
f Bi, x m
m 0 0 m
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※Applicability of the Heisler Charts
当Bi
0时， m
1,即tw
tm
m 0 0 m
The slab temperature approaches a uniform value. In this case, we would have solved the problem with far greater ease by using a simple lumped-capacity heat balance, since it is no longer a heat cto nduction problem.
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（5）求特解( Special Solution )
e t tw 2
x
2 a
0 t0 tw
0
v
2
dv
t tw erf () erf ( x )
0 t0 tw
2 a
e erf () 2
v
2
dv
0
高斯误差函数
30
※当
2 xa时，2
/0 erf 0.9953 1
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（1）建立物理模型 ( Physical Model ) （2）建立数学模型( Mathematical Model )
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c t
x
t x
y
t y
z
t
•
z
非稳态项
扩散项
内热源项
令为常数
c t
2t x 2
t
c
2t x 2
a 2t x 2
2
a x2
鸡肉丝 810kg/ m3 c 3.35kJ /(kg K ) 1.1W /(m K )
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解： Bi hl 100 2 103 / 4 0.045 0.05
1.1
可以使用集中参数法
h
cl
100 810 3.35 103 2 103
/4
0.0737
0
t t t0 t
（3）
Bi
hl
h
V A
0.1M
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2. 集中参数法
0
t t t0 t
exp
பைடு நூலகம்
hA
cV
exp( )
c 12
exp(Bi Fo)
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厨师吹肉丝
一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他从100℃的 热炒锅中取出一鸡肉丝，用口吹了一会，待其降至65℃时 再放入口中。试估算厨师需要吹多长时间？出锅时鸡肉丝 可视为平均直径为2mm的圆条，厨师口中吹出的气流温度 为30℃，其与鸡肉丝之间的表面传热系数为100W/(m2·K)。
基本概念基本概念一非稳态导热问题的类型1瞬态非稳态导热transientunsteadystateconduction2周期性非稳态导热periodicunsteadystateconduction二瞬态导热过程的特点1非正规状况阶段informalstatestage2正规状况阶段regularstatusstage物体内初始温度分布消失温度分布主要取决于边界条件及物性各点的温度变化具有一定的规t1t0三温度分布temperaturedistribution非正规状况阶段起始阶段hbhcnonregularregime正规状况阶段hehfhgregularregime新的稳态导热过程的阶段32集中参数法lumpedheatcapacitymethod一集中参数法使用条件条件一
58.2天
33
(6) 热流量的计算
q t
x
x
(t0
tw
)
x
erf
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解： t tw erf x
0 t0 tw
2 a
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且 t t w 0 （ 15） 0.6
t t 0
10 (15)
0
w
erf x 0.6
2 a
查高斯误差函数表可得 x 0.6
2 a
x
2
1
2 0.6 a
1 2 1.2
1 0.138 106
固体表面单位面积对流换热热阻
条件三：Bi 0.1M
平板 M 1
长圆柱 M 1 2
圆球 M 1
5
3
三、温度分布
c t
x
t x
y
t y
z
t z
•
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•
对
hA(t t )
V
V
c dt hA(t t )
d
V
cV
dt
d
hA(t t )
令 t t
6
Midplane temperature for an infinite plate of thickness 2δ
m tm t
m f Bi, Fo
Midplane
20
0
temperature
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※Applicability of the Heisler Charts
Temperature as a function of center temperature in an infinite plate of thickness 2δ
3
条件二：物体内部导热热阻可忽略
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The internal resistance of the body is negligible
3. 表面对流换热热阻 1 convection resistance
l
h at the surface
4.毕渥数：
Bi
1
hl
Biot number
h 物理意义 固体内部单位面积导热热阻
二、 瞬态导热过程的特点
（1）非正规状况阶段 Informal state stage 温度分布主要受初始温度分布控制
（2）正规状况阶段 Regular status stage 物体内初始温度分布消失，温度分布主要取决于边 界条件及物性，各点的温度变化具有一定的规律。 2
三、温度分布 temperature distribution
时
0
0
即t t
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※
hA cV
hV
A
A2 cV 2
hV
A
a
V A2
Bi Fo
t t exp(Bi Fo) 0 t0 t
0
9
Bi Fo
※毕渥数与傅立叶数的物理意义
Bi
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Biot number
Dimensionless
Bi
hl
l 1
h
固体内部单位面积导热热阻 resistance 固体表面单位面积对流换热热阻
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第三章 非稳态导热 Unsteady-State Conduction
主要内容： 非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的分析求
解方法。包括： 1. 非稳态导热的集中参数分析法； Lumped-heat-capacity method of unsteady-state conduction 2. 一维非稳态导热的分析解法； Analytical solution of one-dimensional transient conduction
当Bi 时，x 处 tw t
In this case, the problem could have been solved using boundary conditions of the first kind because the surface
temperature stays very close to t .
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（3）求通解( General Solution )
Acos(mx ) Bsin(mx ) eam2
？
（4）建立定解条件
0时 t t0， t0 tw 0 x 0时 t tw , tw tw 0
( initial and boundary condition) x 时 t t0， 0
3. 半无限大物体的非稳态导热。 Unsteady-state conduction of semi-infinite solids
1
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§3.1 基本概念
一、非稳态导热问题的类型 （1）瞬态非稳态导热 transient unsteady-state conduction （2）周期性非稳态导热 periodic unsteady-state conduction
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§3.4 半无限大物体的非稳态导热 主要内容（main content）：
1. 半无限大 物体的定义 难点 ( definition of semi-infinite solids )
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2. 半无限大物体在非稳态导热中的温度分布
( distribution of temperature in semi-infinite
※导热过程的阶段
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4
非正规状况阶段
t1
3
（起始阶段） HB, HC
Non-regular regime 正规状况阶段
t0
2
1 0
HE, HF, HG
Regular regime
新的稳态
3
§3.2 集中参数法 Lumped-heat-capacity method
一、集中参数法使用条件
无量纲
热阻
Fourier number
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到 l2 面积上所需要的时间
Fo
Dimensionless
time
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物 体各点地温度就越接近周围介质的温度。
无量纲 时间
10
四、换热量 Heat transfer rate
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T Acos(mx) B sin(mx) eam2
初始条件: 0，t t0， 0 t0 t
边界条件：x 0 时 t 0，即 0
x
x
x
时
x
x
hx
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2
s in(mn
) cos (mn
x
)
e (mn )2 Fo
0 n1mn s in(mn )cos(mn )
令mn n
※本征方程
ctgn
n
Bi
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※ Fo 0.2时
2 sin( m1
) cos (m1
x
)
e (m1 )2 Fo
0 m1 sin(m1 )cos(m1 )
※
0
f
(mn
,
x
,
Fo)
f (Bi, x , Fo)
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※Applicability of the Heisler Charts
exp
hA cV
65 30 100 30
0.5
0.0737 ln0.5
ln0.5/ 0.0737 9.4s
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§3.3 一维非稳态导热 1-D transient conduction
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c t
x
t x
y
t y
z
t
•
z
c t
2t x 2
t 2t
solids in the unsteady heat transfer ) 重点
3. 例题
( example )
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在一定的时间内，边界面处的温度扰动只能传播到有限深 度，在此深度以外，物体仍保持原有状态（初始状态）。
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t1
t
初温t0
t
上升到 tw
1
被 测 t2 介 质
热探针
满足半无限大物体要求
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c t
x
t x
y
t y
z
t
•
z
条件一：物体内部温度分布均匀 uniform in temperature
1. 物体内部导热热阻
l
2. 特征长度： l V A
※ 厚 2 的大平板 l ※ 半径R 的长圆柱 l R
2
※ 半径 R 的球体 l R 4
a x2
令 t t
2
a x2
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令(x, ) (x)T( )
X T 2 2
x2 T x2
T
2
aT
x 2
1 aT
T
1 X
2 x 2
m2
16
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T aTm2 0
T c1eam2
2
x 2
m
2
0
c2 cos(mx) c3 sin(mx)