学而思高中题库完整版导数及其应用[1].板块五.微积分与定积分的应用.学生版

1．函数定积分：
设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +∆=-=-L ，，，，，．
记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1
0()n n i i i I f x ξ-==∆∑．
y=f (x )
O y
x b
a
n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b a
f x dx ⎰，即10
()lim ()n b
i i a
i f x dx f x λξ-→==∆∑⎰．
其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积．
2．曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形． 根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ，上的定积分，即()b
a S f x dx =⎰．
求曲边梯形面积的四个步骤：
第一步：分割．在区间[]a b ，
中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =L ，
，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -∆=-，
第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯
形面积的近似值．
第三步：求和． 第四步：取极限．
3．求积分与求导数互为逆运算．
()()()b
a
F x dx F b F a '=-⎰
，即()F x '从a 到b 的积分等于()F x 在两端点的取值之差．
4．微积分基本定理
如果()()F x f x '=，且()f x 在[,]a b 上可积，则()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰，其中()F x 叫做()f x 的一个
原函数．
由于[()]()F x c f x '+=，()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数．
知识内容
板块五.微积分 与定积分的应用
一般地，原函数在[,]a b 上的改变量()()F b F a -简记作()b a F x ， 因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()b
b a a f x dx F x F b F a ==-⎰．
题型一：定积分的概念
【例1】
求22002y x x y x =-=，
，≤≤围成图形面积．
【例2】
根据定义计算积分1
1
x dx -⎰．
【例3】
根据定义计算定积分2
1
(1)x dx +⎰．
【例4】
根据定义计算积分20
4x dx -⎰
．
【例5】
求定积分1
20
(1(1))x x dx --⎰．
【例6】
()2
11x dx --⎰
等于（ ）
A ．
π4
B ．
π2
C ．π
D ．2π
【例7】
求定积分3
2166x x dx -+-⎰
．
【例8】
由cos y x =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________．
【例9】
图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（ ） A ．()d d
a f x x ⎰
B ．
()d d
a
f x x ⎰
C ．()d ()d ()d b
c
d a
b
c
f x x f x x f x x ++ D ．()d ()d ()d b
c
d
a
b
c
f x x f x x f x x -+⎰⎰⎰
O y
x
d
c
b
a
【例10】 求曲线sin y x =以及直线π2x =-
，5π
4
x =，0y =所围成的图形的面积S ．
典例分析
【例11】 已知函数()sin f x x =，
⑴试用定积分表示sin y x =与x 轴围成的介于πx =-与πx =之间的平面图形的面积； ⑵结合sin y x =的图象猜出π
π()d f x x -⎰的值；
⑶试将上述问题推广到一般的情况．
【例12】
已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙（如图所示）．那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（ ）
A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面
B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面
C ．在0t 时刻，两车的位置相同
D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面
t 1
t 0v 甲
v 乙
t
v (t )
O
【例13】 设()y f x =为区间[01]，上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算
积分1
()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[01]，上的均匀随机数1x ，2x …，N x 和1y ，2y …，
N y ，由此得到N 个点11()x y ，(12)i N =L ，，，，在数出其中满足11()f x y ≤((12))i N =L ，，，的点数1N ，那么由随机模拟方法可得积分1
0()f x dx ⎰的近似值为 ．
【例14】 3
dx 1cos x x
π
π-=+⎰（ ）
A ．1
B ．1-
C ．0
D ．2
【例15】 函数()y f x =的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[,]a b 上的面
积，已知函数sin y nx =在[0,]n π上的面积为*2
()n n
∈N ，
则函数sin3y x =在2[0,]3
π
上的面积为_____________．
题型二：微积分基本定理 【例16】 11(23)x dx -+=⎰______．
【例17】
8
3
x -=⎰
_______．
【例18】
5
(24)x dx -=⎰
______．
【例19】
5
(21)x dx +=⎰______．
【例20】
20
(2)x x e dx -=⎰
___________．
【例21】 函数2
()(1)f x x x =-，求
1
()d f x x ⎰
．
【例22】 下列等于1
的积分是（ ）
A ．10d x x ⎰
B ．10(1)d x x +⎰
C ．101d x ⎰
D ．101d 2
x ⎰
【例23】
1
()x
x e
e dx -+=⎰（ ）
A ．1e e +
B ．2e
C ．2e
D ．1
e e
-
【例24】 计算下列定积分的值：⑴
3
2
1
(4)d x x x --⎰
；⑵2
5
1
(1)d x x -⎰；⑶π20
(sin )d x x x +⎰．
【例25】
2
23111
1dx x x
x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎰（ ） A ．7ln 28+ B ．7ln 28- C ．5ln 24+ D ．1
ln 28
+
【例26】 曲线3πcos 02y x x ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭≤≤
与坐标轴围成的面积是（ ） A ．4 B ．5
2
C ．3
D ．2
【例27】
1
21
|4|d x x --⎰
=（ ）
A ．7
B ．
22
3
C ．
23
3
D ．
253
【例28】
1
2
|8|x
dx -=⎰（ ）
A ．
213 B ．223 C ．23
3
D ．
25
3
【例29】
1
21
(||)x x dx -+=⎰
．
【例30】 由曲线2
4
y x =
、直线1x =、6x =和x 轴围成的封闭图形的面积为 ．
【例31】 设函数2
()(0)f x ax c a =+≠．若
1
00
()d ()f x x f x =⎰
，001x ≤≤，则0x 的值为________．
【例32】 若
1
(2)2x k dx +=⎰，则k =________．
【例33】 若
20
(23)0k
x x dx -=⎰
，则k 等于（ ）
A ．0
B ．1
C ．0或1
D ．不确定
【例34】 已知()π
sin cos d a x x x =+⎰，则二项式6
x x ⎛
⎝
展开式中含2x 项的系数是 ．
【例35】 已知0m >，若
(21)d 6m
x x -=⎰
，则m = ．
【例36】 求
π20
cos 2cos sin x
dx x x
+⎰
的值．
【例37】
()π20
sin cos 2x a x dx +=⎰，则实数a = ．
【例38】
4
2
x
e dx -⎰
的值等于（ ）
A ．42e e --
B ．42e e +
C ．422e e +-
D ．422e e -+-
【例39】
2π
sin dx x ⎰
＝（ ）
A ．0
B ．π
C ．2π
D ．4π
【例40】
2
20
(3)dx 10x k +=⎰
，则k =______．
【例41】
1
2
1
dx 1
e x +=-⎰
_______．
【例42】 已知2
()f x ax bx c =++，且(1)2f -=，(0)0f '=，
1
()2f x dx =-⎰
，求a 、b 、c 的值．
【例43】 已知函数0
()sin d a
f a x x =
⎰
，则π2f f ⎡
⎤
⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
（ ） A ．1 B ．1cos1-
C ．0
D ．cos11-
【例44】 试用定积分表示由直线
y x =，1y x =-+，及y 轴围成的平面图形的面积，并求积分的值．
【例45】 试用定积分表示由直线
y x =，1y x =-+，及x 轴围成的平面图形的面积，并求积分的值．
【例46】 从如图所示的长方形区域内任取一个点()
M x y ，，则点M 取自阴影部分的概率
为 ．
3
1
O
x
y =3x 2
y
【例47】 由曲线2
y x
=，3y x =围成的封闭图形面积为（ ）
A ．
112
B ．14
C ．1
3
D ．712
【例48】 设函数()
y f x =的定义域为+R ，若对于给定的正数K ，定义函数,()()(),()K K f x K
f x f x f x K ⎧=⎨
>⎩
≤，
则当函数1
(),1f x K x ==时，定积分214
()k f x dx ⎰的值为（ ）
A ．2ln22+
B ．2ln21-
C ．2ln2
D ．2ln21+
【例49】 已知自由落体的速度为v gt =，则落体从0t =到0t t =所走过的路程为（
）
A ．2013gt
B ．20gt
C ．2012gt
D ．201
4
gt
【例50】 若
()1
03
2
x k dx -=
⎰，则实数k 的值为 ．
【例51】 由直线1x =，2x =，曲线2
y x
=及x 轴所围图形的面积为（ ）
A ．3
B ．7
C ．73
D ．1
3
【例52】 给出以下命题：
⑴若()dx 0b a
f x >⎰，则()0f x >； ⑵20
sin 4x dx π=⎰
；
⑶()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则0()()a
a T T
f x dx f x dx +=⎰⎰；
其中正确命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
【例53】 给出下列四个命题：
①已知π
sin dx a x =⎰，点(3,)a 310x y -+=的距离为1；
②若0()0f x '=，则函数()y f x =在0x x =取得极值； ③1m -≥，则函数212
log (2)y x x m =--的值域为R ；
④在极坐标系中，点(2,
)3P π到直线sin()36
π
ρθ-=的距离是2． 其中真命题是 （把你认为正确的命题序号都填在横线上）
【例54】 直线2y x =与抛物线2
3y x =-所围成图形的面积为
．
【例55】 如图，求曲线e
x
y =，e x y -=及直线1x =所围成的封闭图形的面积S ．
O
y
x
S
【例56】 求曲线3
2
2y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积．
【例57】 如图，求曲线1xy =及直线y x =，2y =所围成的图形的面积S ．
2
1
21
xy=1
y
x
O
C
B A
【例58】 求曲线2
2y x =以及直线4y x =-所围成的图形的面积S ．
【例59】 已知()f x 为一次函数，且10
()2
()d f x x f t t =+⎰
，则()f x =_______．
【例60】 已知()f x 为一次函数，且10
()22
()f x x f t dt =+⎰
，则()f x =_______．
【例61】 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．
⑴求()y f x =的表达式；
⑵求()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
⑶若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围形的面积二等分，求t 的值．
【例62】 求由抛物线2
4y ax =与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值．
【例63】 抛物线2
y ax bx =+在第一象限内与直线4x y +=相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积
记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求max S ．。