2.1数列的极限

xn a
a
a
故 lim n
xn
a.
较难的题目
证明 lim n n 1 n
记住结论
证 对任意给定的 ε > 0, 要使不等式 n n 1 成立.
令 un n n 1 0 适当扩大
n

(1
un )n

1
nun

n(n 1) 2
un2

n(n 1) 2
un2

un2

2 n1

un

2
n1
2
n 2 1
取
N

2
2
1
1
则当n > N时, 恒有
n n 1
故 lim n n 1. n
类似地证明: 当 a 1是给定的实数时, lim n a 1 n
简证 令 un n a 1 0
xn1 , xn2 ,, xnk ,
注 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，而 xnk 在原
数列 xn中却是第 nk 项，显然，nk k.
定理4 收敛数列的任一子数列也收敛, 且极限相同．
正数 N ,使得对于 n N 时的一切 xn,不等式 xn a
都成立,那么就称常数 a 是数列 xn的极限,或者称数列 xn 收敛于 a ,记为
lim
n
xn

a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
N定义 :
lim
n
xn

a

0,N 0,使n N时, 恒有 xn a
注 在数轴上, 有界数列对应的点an必落在闭区间 [-M, M] 内.
例如,
数列
xn

n n
; 1
有界
数列 xn 2n. 无界
子列: 将数列 { xn } 在保持原有的顺序情况下, 任取其中无穷 多项所构成的新数列成为数列 { xn } 的子数列, 简称子列.
如
x1，x3，
，x2
，
n1
x2，x4，
a 2 a x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
即 当n N时, 所有的点 xn都落在 (a , a ) 内, 只有有
限个(至多只有N 个) 落在其外.
(2) 若把 (n, xn) 看成平面上的点, 在平面上取两直线
y = a –ε 和 y = a + ε ; 当n > N时, 所有点 (n, xn)都
落在两直线所形成的带形区域内. 如图
xn
•
a+ε • • • • •
a a–ε
• • ••
• • •
•
•• ••• •
•
••••••••
•
o
• •
•
••
N
n
三、 数列极限的性质
1、有界性
定理1 收敛的数列必定有界.
证
设 lim n
xn

a,
由定义, 取 1,
则N ,使得当n N时恒有 xn a 1,
(或
a<0
),
则存在正整数
N, 当 n >N 时, 恒有 xn > 0(或 xn < 0).
证
由于
lim
n
xn
a
由数列极限的定义,
取 (0, a)
N , 使得当n N 时恒有
xn a
即
a xn a
从而有
0 a xn .
推论
如果
lim
项开始满足 xn a . 3. 存在的正整数 N 与预先给定的正数ε有关, 当ε不同时所得 到N 的不同, 一般ε越小, N 越大. N = N(ε).
4. 对任意给定的正数ε, 确定正整数 N 可以通过求解不等式
xn a 得到N , 其表达式为 n ( ), 取 N [( )] . 这样可以取定
n
xn

a
,
且存在正整数N,
当
n
>N
时,
恒
有 xn ≥ 0(或 xn ≤ 0), 则a ≥ 0(或 a ≤ 0).
4、子数列的收敛性
定义6 在数列{ xn } 中任意抽取无限多项并保持这些项 在原数列{ xn }中的先后次序, 这样得到的一个数列称为原数 列 { xn }的子数列(或子列).
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
则数列 { an }称为单减数列.
(2) 数列的有界性
定义4 对于数列{ an }, 若存在正数M , 使得对任意 an 满足
不等式
M 0, n N, 恒有 f (n) M.
an M
则称数列 { an } 是有界的; 如果这样的正数M 不存在, 则称数 列 { an } 是无界的.
.
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
注 1. 不等式 xn a 刻划了 xn 与 a 的无限接近;
2. 预先给定的 ε具有两个特征:
(1) 任意性: 因为只有ε任意小, 不等式 xn a 才能表示
无限接近 a. ε表示 x接n 近于 a 的程度. (2) 相对固定性: 对于固定的ε, 才能找到数列 { xn从} 哪一
即有 a 1 xn a 1. 记 M max{ x1 ,, xN , a 1, a 1},
则对一切自然数n,皆有 xn M , 故xn有界.
注 有界性是数列收敛的必要条件而非充分条件, 即有界 数列不一定收敛.
例如, {(1)n }是有界数列, 但其极限不存在(发散).
推论 无界数列必定发散.
例如, {nsin n} 是无界数列, 其极限 lim nsin n 不存在
(发散).
n
2、唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
证
设
lim
n
xn

a,又 lim n
xn

b,
由定义,


0, N1 , N2 .使得
当n

N
时恒有
1
xn

a


;
当n

N
qn 0
故由数列极限的定义知, lim qn 0 n
2.
设xn

C (C为常数),
证明 lim n
xn

C.
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn

C.
说明 常数列的极限等于同一常数.
用定义证数列极限存在时, 关键是任意给定 0, 寻找N.
(1) lim
2
n n
(2) lim qn 0( q 1). n
证 (1) 因对 0, 要使不等式
只要 n 3

2n 3 2 3 3
n
nn
故对 0,只要取正整数 N [ 3],
则当n N时,就恒有 2n 3 2
n
故由数列极限的定义知, lim 2n 3 2. n n
(2)因对 0,(不妨假设 1)要使不等式 qn 0 q n
只要 nln q ln , 即 n ln 便可.
ln q 所以对 0,只要取正整数 N [ ln ],
ln q 则当n N时, 就恒有
前面我们已经介绍了微积分的研究对象 — 函数的相关知 识，本章后面我们将介绍微积分学中的两个重要基本概念— 极限与连续，其中极限是微积分学的研究工具，连续是用极 限来刻画的函数的一个重要特征.
第一节 数列的极限
数列的概念 数列的极限 数列极限的性质
一、 数列的概念
1. 数列的定义 定义1 按一定顺序排列的一列数
an f (n) 下标 1 2 3 4 … n … 对应通项 a1 a2 a3 a4 … an …
f (n) f (1) f (2) f (3) f (4) … f (n) …
定义2 因为数列 an f (n) 可看成是定义在正整数集合上 的函数. 当自变量n 按正整数1, 2, 3,… 依次增大的顺序取 值时, 函数值按相应的顺序排列成一串数:
N, 但是 N可以不唯一.
5. 数列极限的定义只能验证一个常数是否是数列的极限, 但 是不能用来求数列的极限.
利用数列极限的分析定义验证数列极限是否存在的关键是
对任意给定的正数ε, 通过不等式 xn a 找 到存在的正整
数N.
例1 证明
n (1)n1
lim
1.
n
n
证
xn 1
xn
1 1 , 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1

1, 10000
给定 0,
只要 n N ( [1])时,
有
xn 1 成立.
数列极限的严格分析定义:
定义 5 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在
(1) 如何定量刻画 n ;
(2) 如何定量刻画 xn 无限接近于常数 a ; (3) 如何定量刻画 n 的增大与 xn无限接近于常数 a 之间
的关系.
以上例说明:

xn 1
(1)n1 1 n
1 n
给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
有
a

(1
un )n

1
nun

nun
0una nun
a n



n

a

取
N

a



1
数列极限的几何意义:
因为不等式 xn a (n N ) 可改写成 a xn <a (n N )
(1) 若把 xn 看成数轴上的点, 在数轴上任意取定 a 的 ε邻域, xN 以后的所有点都落在 a 的 ε 邻域内.
f (1), f (2), , f (n),
称为一个无穷数列, 简称数列. 2. 数列的性质 (1) 数列的单调性 定义3 随着数列下标的增大, 对应的项也随之增大. 即
a1 a2 an
则数列 { an }称为单增数列. 随着数列下标的增大, 对应的项也随之减少. 即
a1 a2 an
，x2
，
n
均为数列 {xn} 的子列, 子数列一般记为{xnk }.
xn1，xn2， ，xnk，
其中 n1 n2 nk nk1
二、 数列的极限 观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
播放
问题 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的数
a1, a2 , , an , 叫做一个数列, 简记为{ an }. 数列中的每一个数叫数列的 项, 第 n 项an 叫数列的一般项或通项.
例如 2,4,8,,2n ,; {2n }
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
1 {2n }
1,1,1,,(1)n1 ,; {(1)n1 }
时恒有
2
xn

b

;
取N maxN1 , N2,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
xn b xn a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
3、保号性
定理3
如果
lim
n
xn

a
,
且
a
>0
由于N 不唯一, 所以不必要求最小的N. 可采用放大不等式
求 N.
适当扩大不等式的左边
例2
设
xn
0,且
lim
n
xn
a 0,
求证
lim
n
xn
a.
证
任给 0,
lim n
xn

a,
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn
a
xn a xn a 1

n (1)n1 1
n
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
1. 用数列极限定义证明
2n 3
值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn

1
(1)n1 n
无限接近于1.
即数列 { xn }的极限是1.
于是给出数列极限的描述性定义:
对于数列{ xn } 和常数 a, 若当 n 时, xn 无限接近
于常数 a, 则称 a 是 { xn }的极限.
数列极限的描述性定义中涉及三个问题：
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
23
n
{n (1)n1 } n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注 数列对应着数轴上一个间断点列. 可看作一动点
在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3 x1 x2 x4 xn
数列也可以看作是整标函数, 即定义域为正整数集, 对应 法则是通项表达式的函数. 即