高考数学复习演练第四章三角函数解三角形(含2014-真题)(2021年整理)

2018年高考数学复习演练第四章三角函数解三角形（含2014-2017年真题）
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专题四三角函数、解三角形
考点1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式
1.（2016·全国Ⅲ，5）若tan α＝错误!，则cos2α＋2sin 2α＝( )
A。

错误! B.错误! C.1 D.错误!
1。

A tan α＝错误!，则cos2α＋2sin 2α＝错误!＝错误!＝错误!。

2.（2015·重庆，9)若tan α＝2tan 错误!，则错误!＝（）
A.1
B.2 C。

3 D.4
2。

C [错误!＝错误!＝错误!
＝错误!＝错误!＝错误!＝3.］
3。

(2014·大纲全国，3）设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则（)
A。

a〉b〉c B.b>c〉a C.c>b>a D。

c>a>b
3.C [∵b＝cos 55°＝sin 35°〉sin 33°＝a，∴b〉a。

又c＝tan 35°＝错误!〉sin 35°＝cos 55°＝b，∴c>b.∴c>b>a。

故选C。

]
4.（2017•北京，12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称，若sinα= ，则cos（α﹣β）=________．
4。

﹣方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称,
∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ,
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1= ﹣1=﹣
方法二：∵sinα= ，
当α在第一象限时，cosα= ，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第二象限时,sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα=﹣,
∴cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣× + × =﹣
：∵sinα= ,
当α在第二象限时,cosα=﹣，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第一象限时，sinβ=sinα= ，cosβ=﹣cosα= ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣× + × =﹣
综上所述cos(α﹣β）=﹣，
故答案为：﹣
5。

（2017•新课标Ⅱ,14)函数f（x）=sin2x+ cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是________．5. 1 f（x)=sin2x+ cosx﹣=1﹣cos2x+ cosx﹣,
令cosx=t且t∈［0，1］，
则f（t)=﹣t2+ + =﹣（t﹣）2+1，
当t= 时，f（t）max=1，
即f（x）的最大值为1。

考点2 三角函数的图象与性质
1。

（2017·天津,7)设函数f(x)=2sin(ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，｜φ｜＜x．若f（)=2，f（)=0，且f（x)的最小正周期大于2π,则（）
A。

ω= ，φ= B。

ω= ，φ=﹣
C. ω= ，φ=﹣ D。

ω= ，φ=
1。

A 由f（x）的最小正周期大于2π，得，
又f（）=2，f（）=0，得，
∴T=3π，则，即．
∴f(x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），
由f（）= ，得sin（φ+ )=1．
∴φ+ = ,k∈Z．
取k=0，得φ= ＜π．
∴,φ= ．故选A．
2.(2017•新课标Ⅰ,9）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ）,则下面结论正确的是（)
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位
长度,得到曲线C2
B。

把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单
位长度，得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单
位长度,得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单
位长度，得到曲线C2
2. D 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象,再把
得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）=sin（2x+
）的图象，即曲线C2，故选D．
3。

(2017•新课标Ⅲ，6）设函数f（x)=cos（x+ ）,则下列结论错误的是（ )
A、f（x)的一个周期为﹣2π
B、y=f(x)的图象关于直线x= 对称
C、f(x+π）的一个零点为x=
D、f（x）在( ，π）单调递减
3。

D A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时,周期T=﹣2π，故A正确，
B．当x= 时，cos（x+ )=cos（+ ）=cos =cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确，
C当x= 时，f（+π)=cos( +π+ ）=cos =0,则f（x+π）的一个零点为x= ，故C正确,
D．当＜x＜π时，＜x+ ＜，此时余弦函数不是单调函数，故D错误，
故选D.
4。

(2016·浙江,5）设函数f（x）＝sin2x＋b sin x＋c，则f（x)的最小正周期（）
A.与b有关，且与c有关 B。

与b有关，但与c无关
C。

与b无关，且与c无关 D.与b无关,但与c有关
4.B ［因为f（x)＝sin2x＋b sin x＋c＝－错误!＋b sin x＋c＋错误!，
其中当b＝0时，f(x）＝－错误!＋c＋错误!，f(x)的周期为π；b≠0时，f（x）的周期为2π。

即f(x)的周期与b有关但与c无关,故选B。

］
5。

（2016·四川,3)为了得到函数y＝sin错误!的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点( ）
A.向左平行移动错误!个单位长度
B.向右平行移动错误!个单位长度
C。

向左平行移动错误!个单位长度 D。

向右平行移动错误!个单位长度
5.D［由题可知，y＝sin错误!＝sin错误!，则只需把y＝sin 2x的图象向右平移错误!个单位，选D.
6。

（2016·北京，7）将函数y＝sin错误!图象上的点P错误!向左平移s(s＞0）个单位长度得到点P′。

若P′位于函数y＝sin 2x的图象上,则（）
A。

t＝错误!，s的最小值为错误!B。

t＝错误!,s的最小值为错误!
C.t＝错误!，s的最小值为错误!
D.t＝错误!,s的最小值为错误!
6.A［点P错误!在函数y＝sin错误!图象上，则t＝sin错误!＝sin错误!＝错误!。

又由题意得y＝sin错误!＝sin 2x,
故s＝错误!＋kπ，k∈Z，所以s的最小值为错误!.］
7.（2016·全国Ⅰ,12)已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ)错误!,x＝－错误!为f(x)的零点，x＝错误!为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x)在错误!上单调,则ω的最大值为( )
A。

11 B。

9 C。

7 D.5
7。

B ［因为x＝－错误!为f（x)的零点，x＝错误!为f(x)的图象的对称轴,所以错误!－错误!＝错误!＋kT,即错误!＝错误!T＝错误!·错误!,所以ω＝4k＋1(k∈N＊),又因为f(x)在错误!上单调,所以错误!－错误!＝错误!≤错误!＝错误!，即ω≤12,由此得ω的最大值为9，故选B。

]
8。

（2016·全国Ⅱ，7)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度,则平移后图象的对称轴为（)
A.x＝错误!－错误!(k∈Z） B。

x＝错误!＋错误!（k∈Z）C。

x＝错误!－错误!(k∈Z) D.x＝错误!＋错误!（k∈Z）
8。

B ［由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移错误!个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin错误!，由2x＋错误!＝kπ＋错误!得函数的对称轴为x＝错误!＋错误!(k∈Z),故选B。

]
9.（2015·山东，3）要得到函数y＝sin错误!的图象,只需将函数y＝sin 4x的图象（）A。

向左平移错误!个单位 B.向右平移错误!个单位
C。

向左平移错误!个单位 D.向右平移错误!个单位
9.B［∵y＝sin错误!＝sin错误!，
∴要得到y＝sin错误!的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移错误!个单位。

］
10.（2015·湖南，9)将函数f（x）＝sin 2x的图象向右平移φ错误!个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f（x1)－g（x2）|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝错误!，则φ＝（)
A.错误! B。

错误! C。

错误! D.错误!
10。

D［易知g（x）＝sin（2x－2φ），φ∈错误!,
由｜f（x1)－f（x2）|＝2及正弦函数的有界性知，
①错误!或②错误!
由①知错误!（k1，k2∈Z）,
∴|x1－x2｜min＝错误!错误!＝错误!，由φ∈错误!，
∴错误!＋φ＝错误!，∴φ＝错误!，
同理由②得φ＝错误!.故选D.]
11.（2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
A.y＝cos错误!B。

y＝sin错误!
C。

y＝sin 2x＋cos 2x D。

y＝sin x＋cos x
11.A [A选项：y＝cos错误!＝－sin 2x，T＝π，且关于原点对称，故选A。

］
12。

（2015·陕西,3）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin错误!＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A。

5B.6C。

8D。

10
12.C [由题干图易得y min＝k－3＝2,则k＝5.∴y max＝k＋3＝8.]
13。

（2015·新课标全国Ⅰ，8）函数f（x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示,则f（x)的单调递减区间为（)
A.错误!，k∈Z
B.错误!,k∈Z
C.错误!，k∈Z D。

错误!,k∈Z
13.D ［由图象知错误!＝错误!－错误!＝1,∴T＝2。

由选项知D正确。

］
14.(2015·安徽，10)已知函数f(x）＝A sin（ωx＋φ)（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x＝错误!时，函数f(x）取得最小值，则下列结论正确的是( )
A.f（2)<f（－2）<f(0） B。

f（0）<f(2）〈f（－2) C。

f(－2)<f(0)<f(2) D.f（2)〈f(0)〈f(－2)
14。

A ［由于f(x）的最小正周期为π，∴ω＝2，即f（x)＝A sin(2x＋φ)，又当x＝错误!时，2x＋φ＝错误!＋φ＝2kπ－错误!，∴φ＝2kπ－错误!，又φ〉0，∴φmin＝错误!，故f(x）＝A sin错误!.
于是f(0)＝1
2
A，f（2）＝A sin错误!，f(－2）＝A sin错误!＝A sin错误!，
又∵－错误!〈错误!－4<错误!<4－错误!<错误!，其中f(2)＝A sin错误!
＝A sin错误!＝A sin错误!，f(－2）＝A sin错误!
＝A sin错误!＝A sin错误!.
又f(x）在错误!单调递增,∴f(2)〈f(－2）〈f(0），故选A.］
15.(2014·浙江，4)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝错误!cos 3x的图象( ）
A。

向右平移错误!个单位B。

向左平移错误!个单位
C.向右平移错误!个单位D。

向左平移错误!个单位
15.C [因为y＝sin 3x＋cos 3x＝2cos错误!＝错误!cos 3错误!，所以将函数y＝错误!cos 3x 的图象向右平移错误!个单位后，可得到y＝错误!cos错误!的图象，故选C。

]
16。

(2014·辽宁，9)将函数y＝3sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度,所得图象对应的函数( )
A。

在区间错误!上单调递减 B.在区间错误!上单调递增
C。

在区间错误!上单调递减 D.在区间错误!上单调递增
16。

B ［将y＝3sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度后得到y＝3sin错误!，即y＝3sin错误!的图象,令－错误!＋2kπ≤2x－错误!≤错误!＋2kπ，k∈Z，化简可得x∈错误!，k∈Z，即函数y＝3sin错误!的单调递增区间为错误!，k∈Z，令k＝0，可得y＝3sin(2x－错误!)在区间错误!上单调递增，故选B。

］
17.(2014·陕西,2)函数f（x)＝cos错误!的最小正周期是（）
A。

错误! B。

π C.2π D.4π
17.B ［∵T＝错误!＝π，∴B正确.］
18.(2016·江苏，9)定义在区间［0,3π］上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是。

18.7 ［在区间[0，3π］上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下:
由图象可得两图象有7个交点。

］
19。

（2016·全国Ⅲ,14）函数y＝sin x－错误!cos x的图象可由函数y＝sin x＋错误!cos x 的图象至少向右平移个单位长度得到。

19.错误![y＝sin x－错误!cos x＝2sin错误!，y＝sin x＋错误!cos x＝2sin错误!，因此至少向
右平移2π
3
个单位长度得到.］
20。

(2015·浙江，11）函数f（x)＝sin2x＋sin x cos x＋1的最小正周期是________,单调递减区间是________.
20。

π错误!(k∈Z) [f（x）＝错误!＋错误!sin 2x＋1＝错误!sin错误!＋错误!，
∴T＝2π
2
＝π，由错误!＋2kπ≤2x－错误!≤错误!＋2kπ,k∈Z，解得：错误!＋kπ≤x≤错误!＋
kπ,k∈Z，∴单调递减区间是错误!,k∈Z.]
21。

（2015·福建，19)已知函数f（x)的图象是由函数g（x)＝cos x的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移错误!个单位长度。

(1）求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程;
（2）已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在［0,2π）内有两个不同的解α，β.
①求实数m的取值范围；
②证明：cos（α－β）＝错误!－1.
21.解法一(1)将g（x)＝cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变）得
到y＝2cos x的图象，再将y＝2cos x的图象向右平移π
2
个单位长度后得到y＝2cos错误!的图
象，故f（x）＝2sin x。

从而函数f(x)＝2sin x图象的对称轴方程为x＝kπ＋错误!(k∈Z).（2)①f(x）＋g(x)＝2sin x＋cos x＝5错误!＝错误!sin（x＋φ）
错误!。

依题意，sin（x＋φ)＝错误!在［0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当错误!＜1，故m 的取值范围是(－错误!，错误!）.
②证明因为α，β是方程5sin(x＋φ)＝m在［0，2π)内的两个不同的解。

所以sin(α＋φ）＝错误!，sin（β＋φ）＝错误!。

当1≤m＜5时，α＋β＝2错误!，即α－β＝π－2(β＋φ);
当－错误!＜m＜1时，α＋β＝2错误!，即α－β＝3π－2（β＋φ）。

所以cos(α－β）＝－cos 2(β＋φ)＝2sin2（β＋φ）－1＝2错误!错误!－1＝错误!－1.
法二(1）解同法一。

(2）①解同法一。

②证明因为α,β是方程错误!sin（x＋φ）＝m在[0,2π)内的两个不同的解，
所以sin（α＋φ）＝错误!，sin（β＋φ)＝错误!。

当1≤m＜错误!时,α＋β＝2错误!，即α＋φ＝π－(β＋φ)；
当－错误!＜m＜1时，α＋β＝2错误!，即α＋φ＝3π－（β＋φ）；
所以cos（α＋φ)＝－cos(β＋φ)。

于是cos(α－β）＝cos[(α＋φ）－(β＋φ)]
＝cos（α＋φ)cos(β＋φ)＋sin(α＋φ）sin（β＋φ)
＝－cos2（β＋φ)＋sin(α＋φ）sin(β＋φ）
＝－错误!＋错误!错误!＝错误!－1。

22。

（2015·北京，15）已知函数f(x)＝错误!sin错误!cos错误!－错误!sin2错误!.
(1）求f（x)的最小正周期；
（2)求f（x）在区间［－π，0］上的最小值.
22。

(1）因为f（x)＝错误!sin x－错误!(1－cos x)＝sin错误!－错误!，
所以f（x)的最小正周期为2π.
(2)因为－π≤x≤0，所以－错误!≤x＋错误!≤错误!.
当x＋错误!＝－错误!，即x＝－错误!时,f(x）取得最小值.
所以f（x)在区间[－π，0]上的最小值为f错误!＝－1－错误!。

23。

(2015·重庆，18)已知函数f（x)＝sin错误!sin x－错误!cos2x.
（1)求f（x）的最小正周期和最大值;
(2)讨论f(x）在错误!上的单调性.
23.(1）f（x)＝sin错误!sin x－错误!cos2x＝cos x sin x－错误!(1＋cos 2x)
＝错误!sin 2x－错误!cos 2x－错误!
＝sin错误!－错误!，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为错误!。

（2)当x∈错误!时，0≤2x－错误!≤π，从而
当0≤2x－错误!≤错误!，即错误!≤x≤错误!时，f（x）单调递增,
当错误!≤2x－错误!≤π，即错误!≤x≤错误!时,f（x)单调递减.
综上可知，f（x）在错误!上单调递增;在错误!上单调递减.
24。

（2015·天津，15)已知函数f（x）＝sin2x－sin2错误!，x∈R。

（1)求f(x)的最小正周期;
(2）求f(x)在区间错误!上的最大值和最小值。

24。

(1)由已知,有
f(x)＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!cos 2x＝错误!sin 2x－错误!cos 2x
＝错误!sin错误!。

所以f（x）的最小正周期T＝错误!＝π.
(2）因为f（x)在区间错误!上是减函数，在区间错误!上是增函数，
f错误!＝－错误!，f错误!＝－错误!,f错误!＝错误!，
所以f（x）在区间错误!上的最大值为错误!，最小值为－错误!.
25。

(2015·湖北，17)某同学用“五点法”画函数f（x)＝A sin(ωx＋φ)错误!在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ0错误!π错误!2π
x错误!错误!
A sin（ωx＋
05－50
φ）
(1) f(x)的解析式；
（2）将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ（θ〉0)个单位长度,得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为错误!，求θ的最小值。

25。

(1）根据表中已知数据，解得A＝5,
ω＝2，φ＝－错误!.数据补全如下表：
错误!
（2)由（1）知f(x）＝5sin错误!,得g（x）＝5sin错误!.
因为y＝sin x的对称中心为（kπ，0），k∈Z。

令2x＋2θ－错误!＝kπ，解得x＝错误!＋错误!－θ,k∈Z.
由于函数y＝g（x）的图象关于点错误!成中心对称，令错误!＋错误!－θ＝错误!,
解得θ＝错误!－错误!，k∈Z.由θ〉0可知，当k＝1时，θ取得最小值错误!。

26.(2014·湖北，17)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t（单位：h)的变化近似满足函数关系:f（t)＝10－3cos错误!t－sin错误!t，t∈[0,24）.
（1)求实验室这一天的最大温差；
（2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
26。

(1）因为f(t)＝10－2错误!＝10－2sin错误!，
又0≤t〈24,所以错误!≤错误!t＋错误!<错误!，
－1≤sin错误!≤1.
当t＝2时，sin错误!＝1；
当t＝14时，sin错误!＝－1.
于是f（t）在［0，24)上取得最大值12，取得最小值8。

故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃。

(2）依题意，当f（t）>11时实验室需要降温.
由(1)得f（t）＝10－2sin错误!，故有10－2sin错误!〉11，即sin错误!〈－错误!。

又0≤t〈24，因此错误!〈错误!t＋错误!<错误!，即10〈t<18.
故在10时至18时实验室需要降温.
27。

（2014·上海,1）函数y＝1－2cos2(2x）的最小正周期是________。

27。

错误![y＝1－2cos2(2x)＝1－2×错误!＝－cos 4x,则最小正周期为错误!。

］
考点3 三角恒等变换
1.（2016·山东，7）函数f(x）＝（错误!sin x＋cos x)（错误!cos x－sin x）的最小正周期是( )
A。

错误! B.π C。

错误! D.2π
1。

B ［∵f(x）＝2sin x cos x＋3(cos2x－sin2x）＝sin 2x＋错误!cos 2x＝2sin错误!,∴T＝π，故选B.］
2.（2016·全国Ⅱ，9）若cos错误!＝错误!，则sin 2α＝( ）
A.
7
25
B。

1
5
C。

－错误!D。

－错误!
2。

D ［因为sin 2α＝cos错误!＝2cos2错误!－1，又因为cos错误!＝错误!,
所以sin 2α＝2×错误!－1＝－错误!，故选D。

］
3.(2016·全国Ⅲ，8）在△ABC中，B＝错误!，BC边上的高等于错误!BC,则cos A＝( ）
A.错误!B。

错误! C.－错误! D.－错误!
3。

C ［设BC边上的高AD交BC于点D,由题意B＝错误!，BD＝错误!BC，DC＝错误!BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝错误!＝－3,所以cos A＝－错误!.]
4。

（2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A。

－
3
2
B。

错误! C.－错误! D。

错误!
4。

D[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°
＝1
2。

]
5。

（2014·新课标全国Ⅰ，8）设α∈错误!，β∈错误!,且tan α＝错误!，则（）
A.3α－β＝错误!
B.3α＋β＝错误!
C.2α－β＝错误! D。

2α＋β＝错误!
5。

C [由tan α＝错误!得错误!＝错误!，即sin αcosβ＝cosα＋sin βcosα，所以sin（α－β)＝cosα,又cosα＝sin错误!,所以sin（α－β）＝sin错误!，又因为α∈错误!，β∈错误!，所以－错误!<α－β〈错误!,0〈错误!－α<错误!,因此α－β＝错误!－α，所以2α－β＝错误!，故选C.]
6。

（2017•江苏,5)若tan（α﹣）= ．则tanα=________．
6. ∵tan（α﹣)= = = ,∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα= ，故选．
7.（2016·四川，11)cos2π
8
－sin2错误!＝。

7。

错误!［由题可知，cos2错误!－sin2错误!＝cos错误!＝错误!（二倍角公式)。

］
8。

(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是。

8。

错误!［sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝错误!sin(15°＋45°)＝错误!sin 60°＝错误!.］
9.(2015·江苏,8）已知tan α＝－2，tan（α＋β）＝错误!，则tan β的值为________。

9。

3 [∵tan α＝－2,∴tan(α＋β)＝错误!＝错误!＝错误!,解得tan β＝3。

］
10。

（2015·山东，16)设f（x)＝sin x cos x－cos2错误!。

（1)求f（x）的单调区间；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c.若f错误!＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值。

10。

解(1）由题意知f（x)＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝sin 2x－错误!。

由－错误!＋2kπ≤2x≤错误!＋2kπ，k∈Z, 可得－错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ，k∈Z;
由错误!＋2kπ≤2x≤错误!＋2kπ，k∈Z，可得错误!＋kπ≤x≤错误!＋kπ,k∈Z。

所以f（x)的单调递增区间是错误!(k∈Z）；
单调递减区间是错误!（k∈Z).
（2)由f错误!＝sin A－错误!＝0，得sin A＝错误!，
由题意知A为锐角，所以cos A＝错误!.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤2＋错误!,且当b＝c时等号成立。

因此错误!bc sin A≤错误!。

所以△ABC面积的最大值为错误!。

11。

(2014·新课标全国Ⅱ，14)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________。

11.1 ［f（x）＝sin[（x＋φ)＋φ］－2sin φcos(x＋φ）＝sin（x＋φ)cosφ－cos（x＋φ）sin φ＝sin(x＋φ－φ）＝sin x，因为x∈R，所以f(x）的最大值为1。

］
（2017•新课标Ⅰ,17）△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b,c，已知△ABC的面积为．12．
（1）求sinBsinC；
(2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
12.（1）解：由三角形的面积公式可得S△ABC= acsinB= ，
∴3csinBsinA=2a,
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA,
∵sinA≠0,
∴sinBsinC= ；
（2）解:∵6cosBcosC=1，
∴cosBcosC= ,
∴cosBcosC﹣sinBsinC= ﹣=﹣,
∴cos(B+C）=﹣，
∴cosA= ，
∵0＜A＜π,
∴A= ，
∵= = =2R= =2 ，
∴sinBsinC= •= = = ，
∴bc=8，
∵a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣bc=9，
∴（b+c)2=9+3cb=9+24=33，
∴b+c=
∴周长a+b+c=3+ ．
13.（2017•新课标Ⅱ，17）△ABC的内角A，B,C的对边分别为a,b，c，已知sin（A+C）=8sin2．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2,求b．
13.(Ⅰ）sin(A+C）=8sin2，
∴sinB=4（1﹣cosB）,
∵sin2B+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1,
∴(17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0,
∴cosB= ；
（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，
∵S△ABC= ac•sinB=2，
∴ac= ,
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2× ×
=a2+c2﹣15=(a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，
∴b=2．
14。

（2017•新课标Ⅲ，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2．
（Ⅰ）求c;
（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
14。

（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0，
∴tanA= ,
∵0＜A＜π，
∴A= ，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
即28=4+c2﹣2×2c×（﹣），
即c2+2c﹣24=0，
解得c=﹣6（舍去）或c=4，
（Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，
∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC，
∴cosC= ，
∴sinC= ,
∴tanC=
在Rt△ACD中，tanC= ,
∴AD= ，
∴S△ACD= AC•AD= ×2× = ，
∵S△ABC= AB•AC•sin∠BAD= ×4×2× =2 ，
∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣= .
15.(2017•山东,17）设函数f(x)=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g（x)的图象，求g(x)在［﹣，]上的最小值．15。

（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣)+sin（ωx﹣）
=sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（﹣ωx）
= sinωx﹣cosωx
= sin（ωx﹣）,
又f（）= sin( ω﹣）=0，
∴ω﹣=kπ,k∈Z,
解得ω=6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω=2；
(Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)= sin(2x﹣），
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y= sin （x﹣）的图象;
再将得到的图象向左平移个单位,得到y= sin（x+ ﹣）的图象，
∴函数y=g(x)= sin(x﹣)；
当x∈[﹣，]时，x﹣∈［﹣，]，
∴sin(x﹣）∈[﹣，1］，
∴当x=﹣时，g(x)取得最小值是﹣× =﹣．
16.（2017·天津，17）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b，c．已知a＞b，a=5，c=6,sinB= ．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．
16。

（Ⅰ）在△ABC中,∵a＞b，
故由sinB= ，可得cosB= ．
由已知及余弦定理，有=13,
∴b= ．
由正弦定理,得sinA= ．
∴b= ，sinA= ；
(Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ，
cos2A=1﹣2sin2A=﹣．
故sin（2A+ )= = ．
17.(2017•浙江,17）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx（x∈R)．
（Ⅰ）求f( )的值．
(Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
17.∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+ ）（Ⅰ）f（）=2sin（2× + )=2sin =2，
(Ⅱ)∵ω=2，故T=π，
即f(x）的最小正周期为π，
由2x+ ∈［﹣+2kπ, +2kπ］,k∈Z得：
x∈［﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，
故f（x)的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ］，k∈Z．
18。

(2014·江西，16）已知函数f（x)＝sin（x＋θ）＋a cos(x＋2θ），其中a∈R，θ∈错误!.（1)若a＝2,θ＝错误!时,求f(x)在区间［0，π］上的最大值与最小值；
（2)若f错误!＝0，f(π）＝1,求a,θ的值.
18.解(1)f(x）＝sin错误!＋错误!cos错误!
＝错误!（sin x＋cos x)－错误!sin x
＝错误!cos x－错误!sin x＝sin错误!，
因为x∈［0，π]，从而错误!－x∈错误!，
故f(x)在[0,π]上的最大值为错误!，最小值为－1.
（2）由错误!得错误!
又θ∈错误!知cosθ≠0，解得错误!
19.（2014·广东,16)已知函数f（x)＝A sin错误!，x∈R，且f错误!＝错误!。

（1）求A的值;
(2）若f(θ）＋f(－θ)＝错误!，θ∈错误!，求f错误!.
19。

解（1）f错误!＝A sin错误!＝错误!，∴A·错误!＝错误!，A＝错误!。

(2)f(θ)＋f（－θ)＝错误!sin错误!＋错误!·sin错误!＝错误!，
∴错误!［错误!（sin θ＋cosθ）＋错误!（－sin θ＋cosθ)]＝错误!，∴错误!cosθ＝错误!,cosθ＝错误!,
又θ∈（0，错误!),∴sin θ＝错误!＝错误!，∴f错误!＝错误!sin（π－θ）＝错误!sin θ＝错误!.
20。

(2014·江苏，15)已知α∈错误!，sin α＝错误!.
（1）求sin错误!的值；
（2)求cos错误!的值.
20.解（1）因为a∈错误!，sin α＝错误!，所以cosα＝－错误!＝－错误!。

故sin错误!＝sin错误!cosα＋cos错误!sinα＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝－错误!.
（2）由（1)知sin 2α＝2sin αcosα＝2×错误!×错误!＝－错误!,
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×错误!错误!＝错误!，
所以cos错误!＝cos错误!cos 2α＋sin错误!sin 2α＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝－错误!。

考点4 解三角形
1。

(2017•山东，9）在ABC中,角A,B，C的对边分别为a，b，c,若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是（）
A。

a=2b B.b=2a C。

A=2B D.B=2A
1。

A 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB （1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin(A+C）=sinAcosC+sinB,
可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形,所以2sinB=sinA，
由正弦定理可得：2b=a．故选A．
2。

（2014·新课标全国Ⅱ，4）钝角三角形ABC的面积是1
2
，AB＝1，BC＝错误!,则AC＝( ）
A.5
B.错误!
C.2
D.1
2.B [S△ABC＝错误!AB·BC sin B＝错误!×1×错误!sin B＝错误!，
∴sin B＝错误!，若B＝45°，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝1＋2－2×1×错误!×错误!＝5，∴AC＝ 5.故选B.］
3.(2017•浙江,14)已知△ABC，AB=AC=4,BC=2,点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是________,com∠BDC=________．
3。

；如图，取BC得中点E,∵AB=AC=4，BC=2,∴BE= BC=1,AE⊥BC，∴AE= = ,∴S△ABC= BC•AE= ×2× = ，∵BD=2，
∴S△BDC= S△ABC= ，∵BC=BD=2，∴∠BDC=∠BCD，∴∠ABE=2∠BDC，在Rt△ABE中，∵cos ∠ABE= = ，∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1= ，∴cos∠BDC= ，
故答案为，.
4.(2016·全国Ⅱ，13）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A＝错误!，cos C
＝
5
13
，a＝1，则b＝。

4.错误!［在△ABC中由cos A＝错误!，cos C＝错误!，可得sin A＝错误!，sin C＝错误!，sin B ＝sin（A＋C)＝sin A cos C＋cos A·sin C＝错误!，由正弦定理得b＝错误!＝错误!.]
5。

（2015·福建，12)若锐角△ABC的面积为10错误!，且AB＝5,AC＝8,则BC等于________。

5.7 ［S＝错误!AB·AC·sin A，∴sin A＝错误!，在锐角三角形中A＝错误!，由余弦定理得BC＝错误!＝7.]
6.(2015·广东，11)设△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c。

若a＝3，sin B＝错误!,C
＝π
6
，则b＝________.
6.1 ［因为sin B＝错误!且B∈(0,π)，所以B＝错误!或B＝错误!.又C＝错误!，所以B＝错误!，A＝π－B－C＝错误!.又a＝错误!，由正弦定理得错误!＝错误!,即错误!＝错误!，解得b＝1。

］
7.(2015·北京，12)在△ABC中，a＝4,b＝5，c＝6，则错误!＝________.
7.1 ［由余弦定理：cos A＝错误!＝错误!＝错误!,
∴sin A＝错误!，cos C＝错误!＝错误!＝错误!，
∴sin C＝错误!，∴错误!＝错误!＝1。

]
8。

(2015·重庆，13）在△ABC中，B＝120°，AB＝错误!,A的角平分线AD＝错误!，则AC＝________。

8. 6 ［由正弦定理得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得sin∠ADB＝错误!,∠ADB＝45°,从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°-120°—30°＝30°,AC＝2AB cos 30°＝错误!.]
9.(2015·天津，13）在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a,b，c，已知△ABC的面积为3错误!，b－c＝2，cos A＝－错误!，则a的值为________.
9.8 [∵cos A＝－错误!，0＜A＜π，∴sin A＝错误!，
S
＝错误!bc sin A＝错误!bc×错误!＝3错误!，∴bc＝24，又b－c＝2，
△ABC
∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52,由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝52－2×24×错误!＝64，∴a＝8.］
10.(2014·天津,12）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b－c＝错误!a，2sin B＝3sin C,则cos A的值为________.
10。

－错误!［由已知及正弦定理,得2b＝3c，因为b－c＝错误!a,不妨设b＝3，c＝2,所以a ＝4，所以cos A＝错误!＝－错误!.］
11。

(2014·江苏，14）若△ABC的内角满足sin A＋错误!sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________。

11.错误![由正弦定理可得a＋错误!b＝2c，又cos C＝错误!＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!,当且仅当错误!a＝错误!b时取等号，所以cos C的最小值是错误!。

］
12.(2014·新课标全国Ⅰ，16)已知a，b,c,分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b）(sin A－sin B)＝（c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________。

12。

错误![因为a＝2，所以(2＋b)（sin A－sin B)＝(c－b）sin C可化为(a＋b）(sin A －sin B）＝(c－b）sin C，由正弦定理可得（a＋b)(a－b）＝（c－b）c，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝错误!＝错误!＝错误!,又0〈A<π，故A＝错误!,又cos A＝错误!＝错误!≥错误!，所以bc≤4，当且仅当b＝c时取等号,由三角形面积公式知S△ABC＝错误!bc sin A＝错误! bc·错误!＝错误!bc≤错误!，故△ABC面积的最大值为错误!.]
13.（2014·山东,12）在△ABC中，已知错误!·错误!＝tan A,当A＝错误!时，△ABC的面积为
________.
13。

错误!［根据平面向量数量积的概念得错误!·错误!＝｜错误!|·|错误!｜cos A，当A＝错误!时,根据已知可得|错误!|·｜错误!｜＝错误!，故△ABC的面积为错误!｜错误!|·|错误!｜·sin π
＝错误!。

］
6
14.（2017•北京,15）在△ABC中，∠A=60°，c= a．（13分）
(1)求sinC的值；
（2)若a=7，求△ABC的面积．
14.（1）解：∠A=60°，c= a，
由正弦定理可得sinC= sinA= × = ,
（2)解：a=7,则c=3，
∴C＜A，
由（1）可得cosC= ，
∴sinB=sin(A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，
∴S△ABC= acsinB= ×7×3× =6 ．
15。

(2017•江苏,18)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l,其长度为40cm．(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；
（Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分
的长度．
15.（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，
∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD,
又∵AC⊂平面ABCD,∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，
∴NP=12cm,且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，
∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，
∴= ，，得AN=16cm．
∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．
(Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M,玻璃棒与水面的交点为N，
在平面E1EGG1中,过点N作NP⊥EG，交EG于点P,
过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，
∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1， EG∥E1G1 ,
EG≠E1G1，
∴EE1G1G为等腰梯形,画出平面E1EGG1的平面图，
∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm,NP=12cm，
∴E1Q=24cm，
由勾股定理得:E1E=40cm，
∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ,cos ，
根据正弦定理得: = ，∴sin ,
cos ，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ，∴EN= = =20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．
16.（2016·山东,16)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b，c，已知2（tan A＋tan B）＝错误!＋错误!.
(1）证明:a＋b＝2c;
（2)求cos C的最小值.
16.（1)证明由题意知2错误!＝错误!＋错误!。

化简得2(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin A＋sin B，即2sin（A＋B)＝sin A＋sin B,因为A ＋B＋C＝π，所以sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C，从而sin A＋sin B＝2sin C,由正弦定理得a＋b＝2c.
（2）由(1)知c＝错误!，所以cos C＝错误!＝错误!＝错误!错误!－错误!≥错误!，当且仅当a＝b 时,等号成立,故cos C的最小值为错误!.
17.（2016·北京，15)在△ABC中,a2＋c2＝b2＋错误!ac。

(1）求角B的大小;
(2)求错误!cos A＋cos C的最大值。

17。

（1）由a2＋c2＝b2＋错误!ac得a2＋c2－b2＝错误!ac.
由余弦定理得cos B＝错误!＝错误!＝错误!.又0＜B＜π，所以B＝错误!.
（2）A＋C＝π－B＝π－错误!＝错误!,所以C＝错误!－A，0＜A＜错误!。

所以错误!cos A＋cos C＝错误!cos A＋cos错误!
＝错误!cos A＋cos错误!cos A＋sin错误!sin A
＝错误!cos A－错误!cos A＋错误!sin A
＝错误!sin A＋错误!cos A＝sin错误!
∵0＜A＜错误!，∴错误!＜A＋错误!＜π，故当A＋错误!＝错误!，
即A＝错误!时，错误!cos A＋cos C取得最大值为1。

18.(2016·四川，17)在△ABC中,角A,B，C所对的边分别是a，b，c，且错误!＋错误!＝错误!。

（1)证明：sin A sin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝6
5
bc,求tan B。

18。

（1）证明根据正弦定理,可设错误!＝错误!＝错误!＝k(k>0)，
则a＝k sin A，b＝k sin B，c＝k sin C.
代入错误!＋错误!＝错误!中，有错误!＋错误!＝错误!，变形可得
sin A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B＝sin(A＋B)。

在△ABC中,由A＋B＋C＝π,有sin（A＋B)＝sin（π－C）＝sin C。

所以sin A sin B＝sin C. (2）由已知，b2＋c2－a2＝错误!bc,根据余弦定理，有cos A＝错误!＝错误!。

所以sin A＝错误!＝错误!。

由(1），sin A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B,所以错误!sin B＝错误!cos B＋错误!sin B。

故tan B＝错误!＝4。

19.（2016·浙江,16）在△ABC中，内角A,B，C所对的边分别为a，b,c。

已知b＋c＝2a cos B。

（1)证明:A＝2B；
（2)若△ABC的面积S＝错误!，求角A的大小.
19.(1）证明由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin A cos B,
故2sin A cos B＝sin B＋sin（A＋B)＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B，
于是sin B＝sin(A－B）.又A，B∈（0，π），故0＜A－B＜π，所以B＝π－（A－B)或B＝A －B，
因此A＝π（舍去）或A＝2B，所以A＝2B.
（2)由S＝错误!得错误!ab sin C＝错误!，故有sin B sin C＝错误!sin 2B＝sin B cos B,
因sin B≠0，得sin C＝cos B.又B，C∈（0，π),所以C＝错误!±B.
当B＋C＝错误!时，A＝错误!；当C－B＝错误!时，A＝错误!。

综上，A＝错误!或A＝错误!.
20.(2016·全国Ⅰ，17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋
b cos A）＝c.
(1）求C；
(2)若c＝错误!，△ABC的面积为错误!，求△ABC的周长。

20。

（1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C,
2cos C sin（A＋B）＝sin C，故2sin C cos C＝sin C。

可得cos C＝错误!，所以C＝错误!.（2)由已知，错误!ab sin C＝错误!，又C＝错误!，所以ab＝6，由已知及余弦定理得,a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋错误!.
21。

（2015·安徽，16）在△ABC中，A＝错误!，AB＝6，AC＝3错误!，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长。

21。

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×3错误!×6×cos错误!＝18＋36－(－36）＝90，
所以a＝3错误!.
又由正弦定理，得sin B＝错误!＝错误!＝错误!，
由题设知0<B<错误!，所以cos B＝错误!＝错误!＝错误!。

在△ABD中，由正弦定理,得AD＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.
22。

(2015·江苏，15)在△ABC中，已知AB＝2,AC＝3，A＝60°。

(1)求BC的长;
（2)求sin 2C的值.
22.（1）由余弦定理知,BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×错误!＝7，所以BC ＝错误!。

（2)由正弦定理知，错误!＝错误!,
所以sin C＝错误!·sin A＝错误!＝错误!.因为AB＜BC，所以C为锐角，
则cos C＝错误!＝错误!＝错误!.
因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2×错误!×错误!＝错误!.
23。

（2015·湖南17）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,a＝b tan A，且B为钝角。

(1）证明：B－A＝错误!;
（2)求sin A＋sin C的取值范围.
23。

（1）证明由a＝b tan A及正弦定理,得sin A
cos A
＝错误!＝错误!，
所以sin B＝cos A，即sin B＝sin错误!.
又B为钝角,因此错误!＋A∈错误!，故B＝错误!＋A,即B－A＝错误!。

(2)由（1）知，C＝π－(A＋B）＝π－错误!＝错误!－2A＞0，所以A∈错误!。

于是sin A＋sin C＝sin A＋sin错误!＝sin A＋cos 2A＝－2sin 2A＋sin A＋1＝－2错误!错误!＋错误!.
因为0＜A＜错误!,所以0＜sin A＜错误!，
因此
2
2
＜－2错误!错误!＋错误!≤错误!。

由此可知sin A＋sin C的取值范围是错误!。

24。

（2015·新课标全国Ⅱ,17）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍。

（1）求错误!；
(2)若AD＝1,DC＝错误!，求BD和AC的长。

24. （1）S△ABD＝错误!AB·AD sin∠BAD,S△ADC＝错误!AC·AD sin∠CAD。

因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC。

由正弦定理可得错误!＝错误!＝错误!。

（2）因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝错误!.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos∠ADB,
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos∠ADC。

故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
25。

(2015·浙江,16）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,已知A＝错误!，b2－a2＝错误!c2。

(1）求tan C的值；
（2)若△ABC的面积为3，求b的值。

25.(1）由b2－a2＝1
2
c2及正弦定理得sin2B－错误!＝错误!sin2C。

所以－cos 2B＝sin2C.
又由A＝π
4
，即B＋C＝错误!π，得－cos 2B＝sin 2C＝2sin C cos C,解得tan C＝2.
（2）由tan C＝2,C∈(0，π）得sin C＝错误!，cos C＝错误!，
又因为sin B＝sin(A＋C）＝sin错误!,所以sin B＝错误!,由正弦定理得c＝错误!b，
又因为A＝错误!,错误!bc sin A＝3，所以bc＝6错误!，故b＝3.
26。

（2015·陕西，17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m＝(a,3b）与n＝(cos A，sin B）平行。

（1)求A；
(2）若a＝7，b＝2，求△ABC的面积。

26. （1)因为m∥n,所以a sin B－错误!b cos A＝0，
由正弦定理，得sin A sin B－错误!sin B cos A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝错误!，由于0＜A＜π,所以A＝错误!.
(2）法一由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，而a＝错误!，b＝2,A＝错误!，
得7＝4＋c2－2c,即c2－2c－3＝0，
因为c＞0,所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝错误!bc sin A＝错误!。

法二由正弦定理，得错误!＝错误!，从而sin B＝错误!，
又由a＞b,知A＞B,所以cos B＝错误!，
故sin C＝sin（A＋B)＝sin错误!＝sin B cos 错误!＋cos B sin 错误!＝错误!.
所以△ABC的面积为S＝错误!ab sin C＝错误!
27.(2014·辽宁，17）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知B错误!·B 错误!＝2，cos B＝错误!,b＝3.
求：（1）a和c的值;
(2)cos(B－C）的值。

27.解(1）由错误!·错误!＝2得c·a cos B＝2，又cos B＝错误!，所以ac＝6。

由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2ac cos B。

又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13。

解错误!得a＝2,c＝3或a＝3，c＝2。

因a〉c，所以a＝3,c＝2。

（2)在△ABC 中，sin B ＝错误!＝错误!＝错误!，
由正弦定理，得sin C ＝错误!sin B ＝错误!×错误!＝错误!。

因a ＝b 〉c ，所以C 为锐角，
因此cos C ＝错误!＝错误!＝错误!。

于是cos （B －C ）＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13
×错误!＋错误!×错误!＝错误!.
28.（2014·北京，15)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3
，AB ＝8,点D 在BC 边上，且CD ＝2,cos ∠ADC ＝错误!.
（1）求sin ∠BAD ；
（2）求BD ，AC 的长。

28.解 (1）在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17
，所以sin ∠ADC ＝错误!。

所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC -∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B —cos ∠ADC sin ∠B ＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.
(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝错误!＝错误!＝3.
在△ABC 中,由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2—2AB ·BC ·cos∠B ＝82+52
—2×8×5×错误!＝49。

所以AC ＝7。

29。

(2014·陕西，16）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ,c .
（1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；
（2)若a ，b ,c 成等比数列，求cos B 的最小值。

29.（1)证明 ∵a ，b ，c 成等差数列,∴a ＋c ＝2b 。

由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin ［π－(A ＋C )］＝sin(A ＋C ），∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C ）。

(2）解 ∵a ,b ，c 成等比数列，∴b 2
＝ac 。

由余弦定理得cos B ＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!，当且仅当a ＝c 时等号成立.。