【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第186—190题(含答案解析)

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数列模块2．已知函数()(
2318,3
133x tx x f x t x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩
，记()()*n a f n n =∈N ．若{}n a 是递减数列，
则实数t 的取值范围是 ．
解：{}n a 是递减数列，从4a 开始，必须满足130t -< 又对1,2,3n =，根据二次函数的性质，需要满足对称轴3522
t > 注意还要满足34a a >，即991813t t -+>-， 综上得543
t <<
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数列模块3．已知集合21|,*2n n A n n λ-⎧⎫
=≥∈⎨⎬⎩⎭
N ，若A 中有且仅有3个元素，则实数λ的取
值范围是 ．
解：令
212n n n b n a -=，考查n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的单调性，111212352222n n n n n n n b b n n n
a a -------=-= 当2n =时，
110n n n n b b a a --->，即2121
b b
a a > 当3n ≥时，
1
1
0n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
单调递减 1112b a =，2234b a =，3358b a =，447
16
b a = 由题意知，A 中有且仅有3个元素，只需大于第四项即可，所以
71
162
λ<≤ 点评：数列作为一种特殊的函数，特殊性在于自变量n 取正整数，函数图象是不连续的点。

因此在涉及数列单调性问题时，既可以从函数单调性的角度去理解，也可以有数列判断单调性特有的方法，后项减前项与0比较大小解决。

这个题目最经典的题根就是“递增数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，则λ的取值范围是 。

”这里就既可以从二次函数单调递增的角度，也可以用10n n a a -->的角度来求解。

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数列模块4．在各项均为正整数的单调递增数列{}n a 中，121,2a a ==且
132112,*k k k k a a k N a a +++⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，则9a = ． 解：当1k =时，由132112k k k k a a a a +++⎛⎫⎛⎫+
+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭及12
1,2a a ==得4312112a a ⎛⎫
⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 又数列{}n a 是各项均为正整数的单调递增数列，所以3312112a a ⎛⎫⎛⎫
+
+> ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
所以2
3
3320a a --<
3a <<，又3*a N ∈，所以33a =，所以45a = 当2k =时，由5231125a ⎛⎫⎛⎫
+
+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，所以58a = 当3k =时，由6251128a ⎛⎫⎛⎫
+
+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭，所以613a = 当4k =时，由72811213a ⎛⎫⎛⎫
+
+= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭，所以721a = 继续下去，可得955a =
本题可以发现数列其实是斐波那契数列，故由132112,*k k k k a a k N a a +++⎛⎫⎛⎫+
+=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
得 ()()12321k k k k k k a a a a a a ++++++=-
可以发现12321,k k k k k k a a a a a a ++++++==+，即斐波那契数列．
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数列模块5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则
1
B C A
+-的最小值是 ．
解：设n a pn q =+，则()2322
22
n n p q pn q n
p p q a S pn q n n q +++++=++=
++ 故2322p A p q B q C ⎧=⎪⎪
+⎪=⎨⎪
=⎪⎪⎩
，解得3B C
A -=
故13B C B C A B C
+-=+-≥-
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数列模块6．已知函数()()[)()[)()1
1sin 2,2,2121sin 22,21,222n n x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧
-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩
，若数列
{}
m a 满足()
*2m m a f m ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
N ，且
{}
m a 的前m 项和为m
S ，则
20142006S S -= ．
解：()[)()[)()11sin 2,4,422,,*21sin 22,42,44
2n m n m n m n n m a f n m x n x n n ππ+⎧
-+∈+⎪⎪⎛⎫==∈∈⎨ ⎪⎝⎭⎪-++∈++⎪⎩
N N
所以42n a n =
，412n a n ++，4221n a n +=+
，4322n a n +=+ 故201420062007200820148042S S a a a -=+++=。