专题47 两条直线的位置关系-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(原卷版)

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专题47两条直线的位置关系
最新考纲
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离
.
基础知识融会贯通
1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的
解． 2．几种距离
(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝
x 2－x 1
2＋
y 2－y 12.
(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
.
(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2
. 【知识拓展】 1．直线系方程
(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )． 2．两直线平行或重合的充要条件
2
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0
平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0. 3．两直线垂直的充要条件
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.
4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.
5．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．
重点难点突破
【题型一】两条直线的位置关系
【典型例题】
直线2x +y +m ＝0和x +2y +n ＝0的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直
C ．相交但不垂直
D ．不能确定
【再练一题】
已知直线l 1：ax +2y +6＝0，直线l 2：x +（a ﹣1）y +a 2﹣1＝0．当 时，l 1与l 2相交；当 时，l 1⊥l 2；当 时，l 1与l 2重合；当 时，l 1∥l 2．
思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
【题型二】两直线的交点与距离问题
【典型例题】
若三条直线x +y ﹣3＝0，x ﹣y +1＝0，mx +ny ﹣5＝0相交于同一点，则点（m ，n ）到原点的距离的最小值为（ ） A ．
B ．
C ．2
D ．2
【再练一题】
直线l 1，l 2分别过点M （1，4），N （3，1），它们分别绕点M 和N 旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d 的最大值是（ ）
3
A ．5
B ．4
C ．
D ．3
【题型三】对称问题
命题点1 点关于点中心对称 【典型例题】
已知点A （x ，5）关于点（1，y ）的对称点（﹣2，﹣3），则点P （x ，y ）到原点的距离是（ ） A ．4 B ．
C ．
D ．
【再练一题】
点A （2，3）关于点P （0，5）对称的点A 的坐标为 ． 命题点2 点关于直线对称 【典型例题】
一束光线从点A （4，﹣3）出发，经y 轴反射到圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1上的最短路径的长度是（ ） A ．4 B ．5
C ．
D ．
【再练一题】
已知点A 与点B （1，2）关于直线x +y +3＝0对称，则点A 的坐标为（ ） A ．（3，4）
B ．（4，5）
C ．（﹣4，﹣3）
D ．（﹣5，﹣4）
命题点3 直线关于直线的对称问题 【典型例题】
直线x ﹣2y +2＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ） A ．x +2y ﹣4＝0 B ．2x +y ﹣1＝0
C ．2x +y ﹣3＝0
D ．2x +y ﹣4＝0
【再练一题】
如果直线y ＝ax +3与直线y ＝3x +b 关于直线y ＝x 对称，那么a ，b 的值分别是（ ） A ．、﹣9
B ．、﹣6
C ．1、﹣9
D ．1、6
思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称
①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称
4
①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧
n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，
A ·a ＋m 2＋
B ·b ＋n
2＋C ＝0.
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【题型四】妙用直线系求直线方程
一、平行直线系
由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系． 二、垂直直线系
由于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝
0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解． 三、过直线交点的直线系 【典型例题】
已知直线l 1：kx +y ﹣k ﹣2＝0恒过点M ，直线l 2：y ＝x ﹣1上有一动点P ，点N 的坐标为（4，6）当|PM |+|PN |取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．（
）
B ．（
）
C ．（
）
D ．（
）
【再练一题】
求经过直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与直线l 2：2x ﹣3y +8＝0的交点M ，且满足下列条件的直线方程 （1）与直线2x +y +5＝0平行； （2）与直线2x +y +5＝0垂直．
基础知识训练
1．【重庆市九龙坡区2018-2019学年高二上学期期末考试】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”22(x a)(y b)-+-可以转化为平面上点()M x,y 与点()N a,b 的距离.结合上述观点，可得()22f x x 4x 20x 2x 10
=++++的最小值为( )
5
A ．32
B ．42
C ．52
D ．72
2．【河南省南阳市六校2018-2019学年高二下学期第一次联考】曲线x
y e =上的点到直线2y x =-的最短
距离是（ ） A ．2
B ．2
C ．
32
2
D ．1
3．【湖北省荆州中学2018届高三第七次周考】直线轴，轴上的截距相等，则
的值为 A ．
B ．2
C ．
或2 D ．4或
4．【山东省夏津一中2019届高三上学期12月月考】已知圆 ，直线l ：y=x+b ，若圆
上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 的值为( ) A ．- 1 B ．1 C ．
D ．2
5．【吉林省长春市实验中学2019届高三期末】设 的一个顶点是
的平分线方程分别
为，则直线的方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．【广东省梅州市2019届高三总复习质检】设点P 在曲线y lnx =上，点Q 在曲线1
y 1(x 0)x
=->上，点R 在直线y x =上，则PR RQ +的最小值为( )
A )2
e 1- B )2e 1-
C 2
D 2
7．【广东省广州市普通高中毕业班2019届高三综合测试（二)】已知点A 与点(1,2)B 关于直线30x y ++=对称，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,4)
B ．(4,5)
C ．(4,3)--
D ．(5,4)--
8．【河北省保定市2019年高三第二次模拟考试】设点P 为直线l ：40x y +-=上的动点，点(2,0)A -，
()2,0B ，则||||PA PB +的最小值为（ ）
A ．10
B 26
C ．25
D 10
9．【福建省宁德市部分一级达标中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知直线l 过点(1,1)P ，且点
6
(2,2)A -与点(2,4)B -到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为（ ）
A ．1y =
B ．3223x x y xy y +--
C ．1x =或3223x x y xy y +--
D ．1y =或3223x x y xy y +--
10．【安徽省淮南市第一中学2018-2019年高一年级第二学期第二次段考】已知直线kx ﹣y +2k +1＝0与直线2x +y ﹣2＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围（ ） A ．312
k --＜＜ B ．3
2k ＜-
或k ＞﹣1 C ．13k -
＜或k 12
＞ D ．1132
k -＜＜
11．【河北省石家庄市第二中学2019届高三第一学期期末】已知实数1212,,,x x y y 满足，
2222112212121,1,0x y x y x x y y +=+=+=，则112211x y x y +-++-的最大值为（ ）
A 2
B ．2
C ．22
D ．4
12．【北京市海定区101中学2018-2019学年高二年级下学期期中考试】已知实数,a b 满足
23ln 0,a a b c R --=∈，则22()()a c b c -++的最小值为（ ）
A ．1
B 2
C ．2
D 513．【上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试】若直线1:2100l ax y +-=与直线
()2:2350l x a y +++=平行，则1l 与2l 之间的距离为______ ．
14．【江苏省启东中学2018-2019学年高一3月月考】直线240x y --=上有一点P ，它与两定点()4,1A -、
()3,4B 的距离之差最大，则P 点的坐标是______．
15．【安徽省蚌埠市2018-2019学年高二上学期期末学业水平检测】过点()P 0,3作直线l ：
()()m n x 2n 4m y 6n 0++--=的垂线，垂足为点Q ，则点Q 到直线x 2y 80--=的距离的最小值为
______．
16．【2019年江苏省高考】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4
(0)y x x x =+>上的一个动点，则点P 到直
线x +y =0的距离的最小值是_____.
7
17．【安徽省宿州市十三所重点中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知直线
．
（Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）当
时，求直线
之间的距离．
18．【安徽省蚌埠市2018-2019学年高二上学期期末学业水平检测】已知直线
12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //．
（1）求直线12,l l 之间的距离；
（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程． 19．【湖北省襄阳市2018-2019学年高二上学期期末考试】已知函数()()1log 60,1a y x a a =++>≠的图象所过的定点为M ，光线沿直线1:220l x y -+=射入，遇直线:0l x y m ++=后反射，且反射光线所在的直线2l 经过点M ，求m 的值和2l 的方程．
20．【福建省宁德市部分一级达标中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知过点()1,2P ，斜率为2-的直线1l 与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点． （Ⅰ）求A ，B 两点的坐标；
（Ⅱ）若一条光线从A 点出发射向直线2l ：1y x =--，经2l 反射后恰好过B 点，求这条光线从A 到B 经过的路程．
21．【浙江省嘉兴市2018-2019学年高一下学期期末考试】已知直线1:210l x y +-=，2:0l x ay a ++=． （Ⅰ）若12l l ⊥，求实数a 的值；
（Ⅱ）当12l l ⊥时，过直线1l 与2l 的交点，且与原点的距离为1的直线l 的方程. 22．【江苏省常熟市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知直线
，记
.
（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标； （2）在
中，求
边上中线长的最小值；
8
（3）求面积的取值范围
.
能力提升训练
1．【河南省洛阳市2018-2019学年高一上学期期末考试】与直线关于轴对称的直线的方程
为（ ） A ． B ． C ．
D ．
2．【山西省芮城县2018-2019学年高二上学期期末考试】点到直线
的距离为，则
的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
3．【贵州省都匀市第一中学2018-2019学年高二12月月考】若直线
相交于一点，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．【贵州省都匀市第一中学2018-2019学年高二12月月考】直线与直线
的
距离为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．【福建省三明市2018-2019学年高二上学期期末质量检测】设点是曲线上的任意一点，
则到直线的距离的最小值为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
6．【山西省长治市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考（期中)】若直线20kx y k -+-=恒过定点P ，则点P 关于直线0x y +=对称的点的坐标为（ ） A ．(2,1)
B ．(2,1)-
C ．(2,1)-
D ．(1,2)
7．【甘肃省通渭县2017-2018学年高一上学期期末考试】在平面直角坐标系中，已知点A （2，4）和B （6，-2），O 为坐标原点． （1）求△OAB 的面积．
9
（2）若OA∥BC，且OA=BC ，求点C 的坐标．
8．【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2018-2019学年高二上学期期中考试】已知在平面直角坐标系中，直线l 过点P （1，2）． （1）若直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）求坐标原点O 到直线l 距离取最大值时的直线l 的方程；
（3）设直线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别相交于A ，B 两点，当|PA |•|PB |最小时，求直线l 的方程． 9．【山西省长治市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考（期中)】已知直线1:250l x y +-=，
2:20l x y -=.
（1）求直线1l 和直线2l 交点P 的坐标；
（2）若直线l 经过点P 且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l 的一般式方程．
10．【云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学2018-2019学年高一下学期期中考试】如图，在ABC ∆中，(5,2)A -，(7,4)B ，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上
.
（1）求点C 的坐标； （2）求ABC ∆的面积.。