对数函数习题和的答案解析

习题课——对数函数及其性质的应用
一、A组
1.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()
A.a>1,c>1
B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1
D.0<a<1,0<c<1
解析:由题意可知y=log a(x+c)的图象是由y=log a x的图象向左平移c个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.
答案:D
2.已知a=,b=log2,c=lo,则()
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.c>a>b
解析:∵0<a=<20=1,b=log2<log21=0,c=lo>lo=1,∴c>a>b.故选D.
答案:D
3.函数f(x)=的定义域为()
A.(3,5]
B.[-3,5]
C.[-5,3)
D.[-5,-3]
解析:要使函数有意义,则3-log2(3-x)≥0,
即log2(3-x)≤3,
∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.
答案:C
4.函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为()
A.(0,+∞)
B.(-∞,0)
C.(2,+∞)
D.(-∞,-2)
解析:令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.
故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),
当x∈(-∞,-2)时,t随x的增大而减小,y=lo t随t的减小而增大,所以
y=lo(x2-4)随x的增大而增大,即f(x)在(-∞,-2)上单调递增.故选D.
答案:D
5.已知y=log a(2-ax)在区间[0,1]上为减函数,则a的取值范围为()
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(0,2)
D.[2,+∞)
解析:由题设知a>0,则t=2-ax在区间[0,1]上是减函数.
因为y=log a(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,
所以y=log a t在定义域内是增函数,且t min>0.
因此故1<a<2.
答案:B
6.导学号29900104已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是.
解析:函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则0<a≤1.
答案:(0,1]
7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,且f=0,则不等式f(log4x)<0的解集是.
解析:由题意可知,f(log4x)<0⇔-<log4x<⇔log4<log4x<log4<x<2.
答案:
8.已知函数f(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1),g(x)=log a(4-2x).
(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;
(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.
解:(1)由题意可知,f(x)-g(x)=log a(x+1)-log a(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,
则解得-1<x<2.
故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2).
(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),
即log a(x+1)>log a(4-2x).
当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1.
由(1)知-1<x<2,所以1<x<2;
当0<a<1时,可得x+1<4-2x,解得x<1,
由(1)知-1<x<2,所以-1<x<1.
综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);
当0<a<1时,x的取值范围是(-1,1).
9.导学号29900105若-3≤lo x≤-,求f(x)=的最值.
解:f(x)=
=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2.
令log2x=t,∵-3≤lo x≤-,
∴-3≤-log2x≤-,
∴≤log2x≤3.∴t∈.
∴f(x)=g(t)=t2-3t+2=.
∴当t=时,g(t)取最小值-;
此时,log2x=,x=2;
当t=3时,g(t)取最大值2,此时,log2x=3,x=8.
综上,当x=2时,f(x)取最小值-;
当x=8时,f(x)取最大值2.
二、B组
1.(2016·江西南昌二中高一期中)函数y=x·ln |x|的大致图象是()
解析:函数f(x)=x·ln |x|的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且f(-x)=-x·ln |-x|=-x·ln
|x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B;当0<x<1时,f(x)<0,排除选项A,C.故选D.
答案:D
2.(2016·河南许昌四校高一联考)若函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是()
A.a≤4
B.a≤2
C.-4<a≤4
D.-2≤a≤4
解析:∵函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,∴y=x2-ax+3a在[2,+∞)上大于
零且单调递增,故有解得-4<a≤4,故选C.
答案:C
3.已知函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lg x)>g(1),则x的取值范围是()
A.
B.(0,10)
C.(10,+∞)
D.∪(10,+∞)
解析:因为g(lg x)>g(1),
所以f(|lg x|)<f(1).
又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
所以0≤|lg x|<1,
解得<x<10.
答案:A
4.已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则a,b,c的大小关系为.
解析:∵b=log23.2=log2,
c=log23.6=log2,
又函数y=log2x在区间(0,+∞)上是增函数,3.6>,
∴log23.6>log2>log2,
∴a>c>b.
答案:a>c>b
5.已知函数y=log a x,当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是.
解析:当a>1时,y=log a x在区间(2,+∞)上是增函数,由log a2≥1,得1<a≤2;
当0<a<1时,y=log a x在区间(2,+∞)上是减函数,且log a2≤-1,得≤a<1.
故a的取值范围是∪(1,2].
答案:∪(1,2]
6.导学号29900106若函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为.
解析:当0<a<1时,f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,
∴f(x)在区间[a,2a]上的最小值为log a(2a),最大值为log a a,∴log a a=3log a(2a),∴
log a(2a)=,
即=2a,a=8a3,
∴a2=,a=.
当a>1时,f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)在区间[a,2a]上的最小值为log a a,最大值为log a(2a),
∴log a(2a)=3log a a,∴log a(2a)=3,
即a3=2a,∴a2=2,a=.
故a的值为.
答案:
7.已知函数f(x)=lg(3x-3).
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)设函数h(x)=f(x)-lg(3x+3),若不等式h(x)>t无实数解,求实数t的取值范围.解:(1)由3x-3>0,得x>1,所以f(x)的定义域为(1,+∞).
因为(3x-3)∈(0,+∞),所以函数f(x)的值域为R.
(2)因为h(x)=lg(3x-3)-lg(3x+3)=lg
=lg的定义域为(1,+∞),且h(x)在区间(1,+∞)上是增函数, 所以函数h(x)的值域为(-∞,0).
若不等式h(x)>t无实数解,则t的取值范围为t≥0.
8.导学号29900107已知函数f(x-1)=lg.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1).
解:(1)令t=x-1,则x=t+1.
由题意知>0,
即0<x<2,则-1<t<1.
所以f(t)=lg=lg.
故f(x)=lg(-1<x<1).
(2)lg≥lg(3x+1)⇔≥3x+1>0.
由3x+1>0,得x>-.
因为-1<x<1,所以1-x>0.
由≥3x+1,得x+1≥(3x+1)(1-x),
即3x2-x≥0,x(3x-1)≥0,
解得x≥或x≤0.
又x>-,-1<x<1,
所以-<x≤0或≤x<1.
故不等式的解集为.。