中考热点题型之阿氏圆

阿氏圆整理

例题讲解：

例1、如图1，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．

（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；

（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若12C C ＝6

5，求m 的値；

（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接

E ′A 、E ′B ，求E ′A ＋2

3E ′B 的最小值．

解：（1）把点A （4，0）代入y ＝ax 2＋(a ＋3)x ＋3，得 16a ＋4(a ＋3)＋3＝0．

解得a ＝－3

4．

∴抛物线的函数表达式为：y ＝－34x 2＋9

4x ＋3． 把x ＝0代入上式，得y ＝3． ∴点B 的坐标为（0，3）．

由A （4，0），B （0，3）可得直线AB 的函数表达式为：y ＝－34x ＋3． （2）根据题意，得

OE ＝m ，AE ＝4－m ，AB ＝5，点P 的坐标可表示为(m ，－34m 2＋9

4m ＋3)． ∴PE ＝－34m 2＋9

4m ＋3……………………………………………………① ∵△AEN ∽△AOB ，∴AN AB ＝NE BO ＝AE 4．∴AN 5＝NE 3＝4－m

4． ∴AN ＝54(4－m )， NE ＝3

4(4－m )．

第28题图1

∵△PMN ∽△AEN ，且

12C C ＝65

， ∴PN AN ＝65．∴PN ＝65AN ＝65

×5

4(4－m )＝32(4－m )．

∴PE ＝NE ＋PN ＝34(4－m )＋32(4－m )＝9

4(4－m )………………………...② 由①、②，得

－34m 2＋94m ＋3＝9

4(4－m )．

解得m 1＝2，m 2＝4(不合题意，舍去)． ∴m 的値为2．

（3）在（2）的条件下，m 的値为2，点E （2，0），OE ＝2．∴OE ′＝OE ＝2． 如图，取点F (0，43)，连接FE ′、AF ．则OF ＝4

3，AF ＝

42＋(43)2＝4

310．

∵OF OE ′＝4

32＝23，OE ′OB ＝23，且∠FOE ′＝∠E ′OB ，∴△FOE ′∽△E ′OB ．∴FE ′E ′B ＝23．∴FE ′＝2

3E ′B ． ∴E ′A ＋23E ′B ＝E ′A ＋FE ′≥AF ＝4

310． ∴E ′A ＋23E ′B 的最小值为4

310．

巩固练习：

1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ﹦90°，CB ﹦4，CA ﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，1

2

AP BP 最小值为（ ）

A B 、6

C 、

D 、4

第28题答案图

2、如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆

B 上任一动点，则2

PA PC +

的最小值是 ．

A

3、如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则2

P

B P D +的最小值为 ．

4、在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ﹦135°，则2PD ﹢PC 的最小值是 ．

5、（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求1

2

PD PC +的最小值和1

2

PD PC -

的最大值． y x

（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求

2

3

PD PC

+的

最小值和

2

3

PD PC

-的最大值．

（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦90°，圆B的半径为,2，点P是圆B上的一个动点，求

1

2 PD PC

+

的最小值和

1

2

PD PC

-的最大值．

图1 图2 图3

套路总结

阿氏圆基本解法：构造相似

阿氏圆一般解题步骤：PC kPD

+

第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；

第二步：计算出所连接的这两条线段OP、

OD长度；

第三步：计算这两条线段长度的比

OP

m

OD

=；

第四步：在OD上取点M，使得

OM

m

OP

=；

第五步：连接CM，与圆O交点即为点P．

1．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）

2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．