2013年安徽省中考数学压轴题赏析

P
P
A
D
A D
E
B
C
B
E
C
图９
图 １０
P A
P
A
DN
D
B
M
C
B
C
E
图 １１
E 图 １２
（2）若PE不与BC垂直，如图12所示，根据角的轴对称 性可以作△PBM关于射线PM的对称图形△PNM. 因为
考卷解析
考 试 究研
∠NMC≠0，则NC≠0，即B、C不重合，∠ABC≠∠BCD.故
四边形ABCD不是“准等腰梯形”.
（1）若PE⊥BC，无论E点在四边形ABCD内部，如图9 所示；或E点在边BC上，如图10所示；或E点在四边形 ABCD外部，如图11所示.由∠BAD与∠ADC的平分线交 于点E，则PE为∠BPC的平分线.因为PE是BC的垂直平分 线，由轴对称可知∠ABC=∠DCB.又四边形ABCD为AD截 某三角形所得，且AD不平行BC，故四边形ABCD为“准等 腰梯形”.
请问当点E在四边形ABCD内部时 （即图3所示情形），四
边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四
边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论（. 不必
说明理由）
P
A D
A D
AD
B
C
图１
B
EC
图２
E
B
C
图３
二、试题解答
解：（1）如图4所示（. 画出其中一种即可）
P AD
P AD
P
A D
O F
G E
O F
E TG S
AC P
DB
AC P
DB
图２
图３
分 析 ：如图3所示，由△APE、△PBF是等边三角形易 知有：△OAB是边长为6的等边三角形即点O是定点；四 边形OEPF是平行四边形.又因点G为线段EF的中点，根据 平行四边形对角线互相平分得点G为线段OP的中点.当 点P在C点时，点G在OC的中点T处，当点P在D点时，点G在 OD的中点S处，当点P从C点运动到D点时，G点运动的路 径即是△OCD的中位线TS. 因为AB=6，AC=DB=1，所以 CD=4，故TS=0.5CD=2.
数 学 思 考 ：观察P点运动发现：随着P点的运动，尽管
等边△APE和等边△PBF大小在不断变化，但是在这一变
化过程中直线AE与直线BF永远保持不动. 如果延长AE、
BF进一步会发现：随着P点的运动，问题中存在一个不变
的△OAB，如图2，自然引发猜想，G点的轨迹会不会是该 △OAB的某条固有的线呢？顺着这一猜想，下面展开具体 的分析.
解法2：巧借等价点，转换研究对象 数学思考： 由此观彼是人类思考问题的重要方式之
ABCD外，四边形ABCD为“准等腰梯形”的条件是∠BPC 的平分线PE⊥BC.
或许有老师说，前五年的中考题再次走进中考考场， 这公平吗？
其实不然，这道题还确实体现了中考的公平. 理由 是： “准等腰梯形”是一个新的几何图形的定义，几乎所有 的教辅资料上都没有见过，属于原创，且表述简洁，能较 好地考查学生自主阅读、自主学习新知识、并运用新知识 分析并解决一些简单问题的能力，这正是新课标所倡导 的；考查了核心知识和基本的数学思想，关注了学生的基 本经验，紧扣课程标准，试题不偏不难，也没有繁杂的推 理和计算，尤其值得一提的是，该题第（1）、（2）小问比较 基础，只要学生平时认真学了，绝大部分考生都可以得到 一定的分数，从这个角度看，作为本卷的压轴题同样也体
（Ⅰ）已知的条件是一致的.
由2008年第22题的已知条件“O到△ABC的两边AB、
AC所在直线的距离相等且OB=OC”，可以得到点O既在
∠A（或∠A的邻补角）的平分线上，又在线段BC的垂直
平分线上；由2013年第23题的已知条件“∠BAD与∠ADC
的平分线交于点E，EB=EC”亦可得出E点在∠BPC的角
∠ABC=59.04°
B
C
∠DCB=59.04°
E
图８
三、深入研究
1.规律探究
通过上述解析，我们发现，由于E点所处的位置在 ∠BPC的平分线上不能唯一确定，满足“在由不平行于BC 的直线截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC 的平分线交于点E，若EB=EC”的条件下的四边形ABCD 不一定是“准等腰梯形”.它何时为“准等腰梯形”引发了 笔者的思考.笔者经过探究发现：连接PE，无论E点在四 边形ABCD内或边BC上或四边形ABCD外，若∠BPC的平 分线PE⊥BC，则四边形ABCD是“准等腰梯形”.具体分析 如下：
∠ABC=51.29° ∠DCB=51.29°
②当E点在四边形ABCD外时，四边形ABCD不一定
是“准等腰梯形”，如图7、图8所示，图7中的四边形ABCD
不是“准等腰梯形”；图8中的四边形ABCD是“准等腰梯
形”.
∠BAE=53.96°
P
∠EAD=53.96°
∠ADE=68.98°
A
∠EDC=68.98°
B
C
B
C
图４
B
C
（2）因为AE∥CD，所以∠AEB＝∠C.
又AB∥ED，所以∠B＝∠DEC.
所以△ABE∽△DCE，即 AE = BE . CD EC
又∠B=∠C，所以△ABE为等腰三角形，AB=AE.
故 AB = BE . CD EC
A
（3） 过 点 E 分 别 作 EF ⊥AB，
EG⊥AD，EH⊥CD，垂足分别为F， F
综上所述，在由不平行于BC的直线截△PBC所得的
四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，EB=
EC，若直线PE⊥BC，则四边形ABCD是“准等腰梯形”.
2.追根溯源
掩卷长思，不禁想起安徽省2008年中考试题的第22
题，它们竟然如此相似，其本质是一样的，为了便于比较，
特将原题摘录如下：
题目 （2008年安徽卷第22题）已知点O到△ABC的两
现了中考命题的公平公正.
四、几点启示
（1）平时教学中，要引导学生用联系的观点看问题， 尤其在复习的过程中，要将相关知识点进行有机整合，串 联起来，建立知识网络，形成能力.
（2）加强例习题的教学，挖掘出例习题所蕴含的基本 数学思想和方法，引导学生进行解题后的反思.做到在解 题中训练，在反思中欣赏，在欣赏中提升.
D
EC=4.06 厘米
BE=4.06 厘米
B
C
∠ABC=55.52°
∠BCP=58.59°
E
图７
46
初中版
2013 年 9 月
PB=5.86 厘米
CP=5.86 厘米
P
BE=3.19 厘米
EC=3.19 厘米
∠BAE=54.10°
A
∠DAE=54.10°
D
∠ADE=66.87°
∠EDC=66.87°
边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC.
（1）如图13，若点O在边BC上，求证：AB=AC.
A
A
E
F
O
B
OC
图 １３
B
C
图 １４
（2）如图14，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC.
（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图
表示.
经过比较，发现这两道的本质是一致的，主要表现
在：
数学思想.
（Ⅳ）隐含的规律是一致的.在2008年第22题中，无论
O点是在三角形内，或BC边上，或三角形外，AB=AC成立
的条件是“∠BAC平分线OA⊥BC”；在2013年第23题中，
无论E点在四边形ABCD内，或在边BC上，或在四边形
初中版
47
考 试 研究
考卷解析
2013 年 9 月
一道轨迹不明的“动点”考题的多解探析
（3）应加强对课标、考题的研究.教师研究的范围要 广，不仅要研究它考查的内容，考查的深度、难度及解题 思路，还应加强对考题的变式研究，提倡“陈题新编，陈题 新做”，切忌“拿来主义”，用研究的成果来指导教学实践， 使教学的针对性更强，训练的效果更好. FH
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初中版
考查了核心知识和基本的数学思想关注了学生的基本经验紧扣课程标准试题不偏不难也没有繁杂的推理和计算尤其值得一提的是该题第12小问比较基础只要学生平时认真学了绝大部分考生都可以得到一定的分数从这个角度看作为本卷的压轴题同样也体现了中考命题的公平公正
考 试 研究
考卷解析
2013 年 9 月
2013年安徽省中考数学压轴题赏析
平分线上，又在线段BC的垂直平分线上.
（Ⅱ）设置的问题是一致的.
2008年第22题设置了三个问题，根据O点的三种不
同位置，探索AB、AC之间的数量关系；2013年第23题同样
是根据E点的三种不同位置，探索∠ABC、∠BCD之间的
数量关系，即转化成探索PA、PB之间的数量关系.
（Ⅲ）分析的思路是一致的，都需要运用分类讨论的
G D H
G，H（如图5）.
3 1
E
24
因为AE平分∠BAD，所以EF= B
图５
C
EG.
又ED平分∠ADC，所以EG=EH，EF=EH.
又EB=EC，所以Rt△BFE≌Rt△CHE，所以∠3=∠4.
又EB=EC，所以∠1=∠2，所以∠1+∠3=∠4+∠2，即
∠ABC=∠DCB.
又四边形ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行
筅安徽省太湖县晋熙中学 朱记松 汪本若
一、原题呈现
题目 （2013年中考安徽卷第23题）我们把由不平行
于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为
“准等腰梯形”.如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”，
其中∠B=∠C.
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的
一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯
本题难度较大，是一道轨迹不明确的动点问题，学生
普遍感到G点像是“浮在空中”，无从下笔.平时学生虽接
触过动点问题，但大多是在明确的线或图形上运动的点.
本题乍看毫无头绪，但细嚼起来，还是充斥着一定的“数
学思考”的出发点的.下面笔者就来具体谈一谈本题是如
何，寻找解题突破口
形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形
（画出一种示意图即可）.
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E为
边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：AB = BE . DC EC
（3） 在由不平行于BC的直线截△PBC所得的四边形
ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，若EB=EC，
筅安徽省安庆市宜秀区五横初级中学 戴向阳
一、原题呈现 题目% （2012年张家界）如图
F G E
1，已知线段AB=6，C、D是AB上两
点，且AC＝DB=1，P是线段CD上一 A C P
DB
图１
动 点 ， 在 AB 同 侧 分 别 作 等 边
△APE和等边△PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动
到点D时，点G移动的路径长度为______.
BC，所以四边形ABCD为“准等腰梯形”.
当点E不在四边形ABCD内部时，有两种情况：
①当E点在边BC上时，四边形ABCD是“准等腰梯
形”，如图6所示.
P A
B
E
D
C 图６
EB=3.02 厘米 EC=3.02 厘米 ∠BAE=51.29° ∠EAD=51.29° ∠ADE=51.29° ∠EDC=51.29°