群的定义及例子

如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！

（I ）群的定义及例子

一、群的定义：集合+一个运算（笼统地讲，实际上这个运算还需要满足一定条件）

1、定义：设G 是非空集合，若满足

（1）存在封闭的代数运算ab b a b a G

G G =→⨯ ),(:

（2）结合律

（3）单位元

（4）逆元

则称G 为一个群，记为),( G

2、注记

（1）仅满足（1）（2）称G 为一个半群

（2）仅满足（1）（2）（3）称G 为有单位元的半群

（3）满足G b a ba ab ∈∀=,,，称G 为交换群（Abel 群）

二、例子

Eg1.（Z ，+），（Q ，+），（R ，+），（C ，+），（n Z ，+）都是群，且为交换群。

（N ，+）不是群，是有单位元的半群。【因为N ：0，1，2......除了0之外都没有逆元】 Eg2.（Z ，×），（Q ，×），（R ，×），（C ，×），（n Z ，×）都不是群【因为0在内但不存在逆元】，可是（Q*，×），（R*，×），（C*，×）都是群，且为交换群。

Eg3.})(|)({)],[(上的多项式为ℜ=+ℜx f x f x 是群，且为交换群。【一元多项式群】 Eg4.线性群

—（实数域上的）特殊—线性群

—（实数域上的）一般—)),(()),((⨯ℜ⨯ℜn n SL GL 是交换群。 （行列式不为零，行列式为1） 注：}

1det ),(|{=ℜ∈M M M M ear

SpecialLin n Eg5.]}1[],...,2[],1[],0{[-=n Z n ——模n 的剩余类加群（n>0）