(新课标)2020高考数学大一轮复习第2章第12节导数在研究函数中的应用(二)课时作业理

课时作业（十五）导数在研究函数中的应用（二）
一、选择题
1. 若直线y = m与y = 3x —x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为() A．( －2,2) B．[ －2,2]
C. ( —s,—2) U (2 ,+^)
D. ( —s,—2] U [2 ,+^)
答案：A
解析：y '= 3(1 —x)(1 + x),
由y '= 0,得x=± 1，—y极大值=2, y极小值=—2,
•••—2v R K 2.故应选A.
2. (2020 •北京模拟)f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x) + xf'( x)<0，且f(—4) =0,则不等式xf (x)>0 的解集为( )
A. ( —4,0) U (4 ,＋s)
B. ( —4,0) U (0,4)
C. ( —s,—4) U (4 ,＋s)
D. ( —s,—4)U (0,4)
答案：D
解析：设g(x) = xf (x) ,则
g'(x) = [xf(x)] '= x' f(x) + xf (x)
=xf '(x) + f (x)<0 ,
•函数g(x) 在区间(—s, 0) 上是减函数.
•/ f(x)是定义在R上的偶函数.
•g( x) = xf (x)是R上的奇函数，
•函数g(x)在区间(0,+s)上是减函数.
•- f( —4) = 0,
•f(4) = 0,
即g(4) =0, g(—4) =0,
•xf (x)>0 化为g(x)>0 ,
设x>0,故不等式为g(x)>g(4)，即0<x<4 ；
设x<0,故不等式为g(x)>g( —4)，即x< —4,
故所求的解集为(—s,—4) U (0,4) ,
故应选 D.
3. (2020 •大连模拟)函数f (x)的定义域为R, f( —1) = 2,对任意x € R, f ' ( x) >2, 则f (x) > 2x+ 4的解集为()
A. (—1,1)
B. ( —1 ,+s)
C. ( —g, — 1) 答案：B
解析：由已知，[f (x ) —(2x + 4)] '= f '(x ) — 2 > 0,
••• g ( x ) = f (x ) — (2x + 4)单调递增，又 g ( — 1) = 0, •••f(x ) >2x + 4 的解集是(一1,+g ).故应
选 B.
4. 如图，一个正五角星薄片 (其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面, 记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S ( t )( S (0) = 0)，则导函数y =
S'(t)的图象大致为(
答案：A
在逐渐增大，且增长速度越来越快， 故其瞬时变化率 S'(t)也应逐渐增大; 当露出的是区域n 时，此时的
S (t )应突然增大，然后增长速度减慢，但仍为增函数，故其
瞬时变化率S'(t)也随之突然变大，再逐渐变小，但 S'() >0(故可排除B);当五角星薄
只有选项A.故应选A.
答案:
v x v 2)为增函数,
D. ( —
g,+g)
解析：由导数的定义知，S'(t o )表示面积函数 S (t o )在t o 时刻的瞬时变
化率，如图，正五角星薄片中首先露出水面的是区域
I ，此时其面积 S (t )
片全部露出水面后，S (t )的值不再变化,
故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的 In x
5
设 1V
x
V
2
,则—
ln x 2
x
In x 2
丁的大小关系是
ln x 2 ln
v
x ln x 2
2
x
x x v ln x ln x 2
ln x 2
v
v 2
x x
x
ln x 2 l
n
x 2 ln x
v 2
v x
x
x
ln x 2 ln x 2 ln x
2 v
v
D. x 解析: 令 f (x ) = x — In x (1 v x v 2)，则 f '(x )
1 x 一 1 =1一厂=>0,所以函数y =
f(x)(1
A.
B.
C.
x
In x
••• f(x) >f(1) = 1 >0，二x>In x>0，贝U O v ------------ v 1,
X
In x 2In x
•v .
x x
2
In x In x 2ln x —x ln x 2—x In x
又一2——= 2 = > 0,
x x x x
In x 2In x In x2
• = v〒v-x^，故应选A.
6 •设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2n的偶函数，f '(x)是f(x)的导函数，
n n
当x €［0 ,n ］时，0 v f(x) v 1 ;当x € (0 ,n )且X 兀时，x —帀 f '( x) > 0，则函数y
=f (x) —sin x在［—2n,2n ］上的零点个数为()
A. 2
B. 4
C. 5
D. 8
答案：B
亠, n
解析：■/ x—— f '(x) > 0,
n .
r
当2 v X<n 时，f ( x) > 0,
n
•f(x)在—,n上是增函数；
当0v X Vn时，f' (x) v 0,
n
•f(x)在0,—上是减函数.
设nW x W 2n,贝V 0W 2 n—x Wn.
由f(x)是以2n为最小正周期的偶函数知，
f(2 n —x) = f (x).
故nW x W 2 n 时，
0v f (x) v 1.
依题意作出草图(图略)可知，
y1= f (x)与y2= sin x在［—2 n, 2 n ］上有四个交点.
故应选B.
二、填空题
n
7 .若f (x) = x sin x + cos x，则f ( —3) , f —, f(2)的大小关系为_____________ .
n
答案：f ( - 3) v f(2) v f —
解析：由f ( —x) = f (x)知函数f (x)为偶函数,
因此f( —3) = f⑶.
又f '(x) = sin x+ x cos x —sin x = x cos x,
, n , , n ,
当x € 0,—时，f '(x) > 0，当x€, n 时，f '(x) V 0,
n
••• f (x)在区间—,n上是减函数，
n
•f — > f(2) > f(3) = f( —3).
8.
(2020 •北京海淀区模拟)若函数f (x)满足：“对于区间(1,2)上的任意实数x i, x—(x i工X2) , |f(X2) —f (x i)| V|X2—x i |恒成立”，则称f(x)为完美函数.给出以下四个函数：
1 1
①f (x)=—;②f(x) = |x| :③f (x) = 2 x;④f(x) = x2.其中是完美函数的序号是_____________________ .
2
x
答案：①③
解析：由|f(X2)—f (x i)| V|X2—x i| 知,
f X2 —f X i
V i,即|f '(x)| V i.
X2—X i
经验证①③符合题意.
—+ i m
9. (2020 •山西四校联考)log 0.5 >log 0.5 2 对任意x€ ［2,4］恒成立,
X —1 X —1 7—X
则m的取值范围为_________ .
答案：(45 ,+^)
—-U i m 解析：以0.5为底的对数函数为减函数，所以得真数关系为—< -
x —1 x —1 7 —x 3
3 2 3 2 2
所以m>—x + 7X + x —7,令f (x) =—x + 7X + x —7,贝U f ' ( x) =—3x + 14X+ 1，因为
f ' (2)>0且f ' (4)>0，所以f ' (x)>0在［2,4］上恒成立，即在［2,4］上函数f(x)为增函数，所以
f(x)的最大值为f(4) = 45,因此m>45.
当 x € (1 , t )时，f '(x ) > 0, f (x )单调递增.
综上，函数y = f (x )的单调递增区间为(一2,0) , (1 , t );单调递减区间为(0,1) (2)证明：m ^ f ( — 2) = 13e _ , n = f (t ) = (t — 3t + 3)e ,
t
_2
设 h ( t ) = n — rn= (t — 3t + 3)e — 13e ,
t
t °
t
h '(t ) = (2t — 3)e + e(t 4 — 3t + 3) = e t (t — 1))( t >— 2).
时，h (t ) >h ( — 2) = 0,
即 h (t ) >0，因此 n — m >0，即 m<n .
11. (2020 •成都模拟)成都市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提 案”对某处的环境状况进行了实地调研.
据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正
比，与到污染源的距离成反比，比例常数为 k (k >0).现已知相距36 km 的A , B 两家化工
厂(污染源)的污染强度分别为正数 a , b,它们连线上任意一点 C 处的污染指数y 等于两化
工厂对该处的污染指数之和.设
AC = x (km).
(1)试将y 表示为x 的函数；
⑵ 若a = 1时，y 在x = 6处取得最小值，试求 b 的值.
ka
解：(1)
设点c 受A 污染源污染指数为ka ，点 c 受B 污染源污染指数为 为比例系数，且k > 0.
ka kb
y
= x +
厂(0 V x v 36)
三、解答题
10. 已知定义在区间［—2, t ］(t >— 2)上的函数f (x ) = (x 2— 3x + 3)e x . (1) 当t > 1时，求函数y = f (x )的单调区间； (2) 设 m= f ( — 2), n = f (t )，试证明 m V n .
解：(1) f ' (x) = (2x — 3)e x + e X (x 2— 3x + 3) = e X x (x — 1). 由于t > 1,故当x € ( — 2,0)时，f '(x ) > 0, f (x )单调递增； 当 x € (0,1)时，f ' (x) v 0, f (x )单调递减； 4 ••• a = 1,
h (t )与h '(t )随t 的变化情况如下表:
由上表可
知,
h (t )的极小值为h (1)
13 =e —孑= —
13 2 e
>0，又 h ( — 2) = 0，所以当 t >— 2 kb 36 —
x
，其中k 从而点C 处污染指数
k kb
x+36 —
x‘
1 b
=k —
亡+36—x 2，令
y
'=
得
36
, 1+：b时，函数单调递减;
36,+R
时，函数单调递增.
•••当X=——时，函数取得最小值.
1+ p b
又此时x = 6，解得b= 25,经验证符合题意.
36 x =
1 31 —a 2
12. (2020 •大连模拟)已知函数f(x) = 3X + —x —ax —a, x € R,其中a>0. 3
(1)求函数f(x)的单调区间；
⑵若函数f (x)在区间(一2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围.
2 解：(1) f '(x) = x + (1 —a)x—a= (x+ 1)( x —a).
由f '(x) = 0,得X1 = —1, X2= a>0.
当x变化时，f '(x)与f (x)的变化情况如下表：
故函数f (x)的单调递增区间是(一汽一1), (a,+^);单调递减区间是(一1, a).
(2)由(1)知，f(x)在区间(一2,—1)内单凋递增，在区间(一1,0)内单调递减，从而函
f —2 V 0,
数f(x)在区间(一2,0)内恰有两个零点当且仅当f — 1 > 0,
f 0 V 0,
所以a的取值范围是
1
，3 .
解得0V a v3.。