2010~2011线性代数试题0002答案

一、[教师答题时间： 5 分钟] 选择题（每小题 3 分，共 15 分。

请将答案填在下面的表格内）
1、 C
2、 D
3、C
4、B
5、 A
二、填空题（每题 3 分，共 15 分）[教师答题时间： 4 分钟]
1、1423314214223143,a a a a a a a a -
2、1300110230⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭ 3、1- 4、12121110(,)01c c c c R --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5、11
0112022⎛⎫ ⎪
-- ⎪ ⎪-⎝⎭
三、计算行列式或矩阵
（第1,2题 8 分，第3题10分，共 26分）
1、[三基类][教师答题时间：
4 分钟]
答：
1331113111130003001030103010031003
-=………………（2分）
111333
31110
30000300
003
---=
………………（4分）
32354=⨯=………………………………（2分）
2、[三基类][教师答题时间： 3 分钟]
答：[]1
1
2
2352
25
72
22111001001,13201001033100010014A E ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
…………（6分）
1
1
221
3
52257134A --⎡⎤⎢⎥∴=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
………………………………（2分）
3、 [一般综合类][教师答题时间： 5 分钟
2100100100110110210011011121A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
…………………………（2分）
3100100100210110310121011231A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦…………………………（2分）
1010010109101A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
…………………………（6分）
四.证明题（8分）
[三基类][教师答题时间： 4 分钟]
已知方阵A 满足220A A E --=,证明2A E +可逆，并求出1(2)A E -+
证明：220A A E --=
得 3(2)()4
A E
A E E -+-
= （6分）
1(2)A E -+=34
A E
--
（2分）
五、求解下列线性方程组（每题 10 分，共 30 分）
2、[一般综合类][教师答题时间： 3 分钟]
答：令12421111A k -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
，当()3R A <时有非零解， 即124
21111A k -=--=0 …………………………………………………..（2分）
3k ∴= ……………………………………………………（1分）
当3k =时
⎡⎤
-⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
21
031241247A 21103701311300000
0……….………（4分） 13232373x x x x ⎧
=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
令31x =，则123731ξ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
……………………………………………………（2分） ∴通解 11k ξξ= （10k ≠）………………………………………………（1分） 3、[一般综合类][教师答题时间： 4分钟]
答： 系数矩阵的秩为3，∴导出组中基础解系的解向量个数为1………（2分）
1210
13ηη⎛⎫
⎪ ⎪∴-= ⎪ ⎪-⎝⎭为导出组的基础解系…………………………….……（2分）
∴该方程组的通解111210110
()4123k k ξηηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
（1k R ∈）………（6分）
六、综合计算题（每题 8 分，共 16 分）
1、[综合类][教师答题时间： 5 分钟]
答：()123412111
2
117,,,0
33701131
13
51100
1
5αααα⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
2210015201015110
1
5⎡⎤
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
………………………………………….……（4分） ∴向量组的秩为3，其中一个最大无关组为123,,ααα………….…..…（2分）
412322211
15155
αααα=-
++……………..………………………………...……（2分）
2、[综合类][教师答题时间： 8 分钟]
答：1）12313a λλλ++=++ ∴2a =………………………………...……（1分）
330A =⨯⨯ 即 10
2
203(22)00
3
b b -=⨯+= ∴1b =-……...……（1分） 2）当123λλ==时
2
1
032
100
0A E --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(3)1R A E ∴-=………………………...……（2分） ∴A 可对角化
当123λλ==时
110221
0321
000000
0000A E ⎡
⎤⎢⎥--⎡⎤⎢
⎥
⎢⎥⎢⎥-=--→⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦ 11210ξ⎛⎫
- ⎪
⎪ ⎪∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
2001ξ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
..…（1分） 当30λ=时
1101100220001003000A E --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 3110ξ⎛⎫
⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭
…………………..…（1分）
1231012(,,)1
0101
0P ξξξ⎡⎤
-⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥∴==⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
1330P A P -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
………..…（2分）
注：考核类型是指：三基类、一般综合型和综合型。