八年级初二数学数学平行四边形的专项培优易错试卷练习题附解析

八年级初二数学数学平行四边形的专项培优易错试卷练习题附解析
一、选择题
1．如图，在菱形ABCD 中，点F 为边AB 的中点，DF 与对角线AC 交于点G ，过点G 作GE AD ⊥于点E ，若2AB =，且12∠=∠，则下列结论不正确的是（ ）
A ．DF A
B ⊥ B ．2CG GA =
C ．CG DF GE =+
D ．31BFGC S =-四边形
2．在正方形 ABCD 中， P 为 AB 的中点，BE PD ⊥的延长线于点 E ，连接 AE 、 BE ，FA AE ⊥ 交 DP 于点 F ，连接 BF 、FC ，下列结论：① ABE ADF ≅ ；② FB = AB ；③ CF PD ⊥ ；④ FC = EF . 其中正确的是（ ）
A ．①②④
B ．①③④
C ．①②③
D ．①②③④
3．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 是对角线AC 上的动点，以DE 为边作正方形DEFG ，H 是CD 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为（ ）
A ．2
B ．51-
C ．2
D ．422- 4． 如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，P
E ⊥BC 于点E ，P
F ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；
④∠PFE=∠BAP ；⑤PD=2EC ．其中正确结论的番号是（ ）
A ．①②④⑤
B ．①②③④⑤
C ．①②④
D ．①④
5．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和CD 上，过点A 作GA AE ⊥，CD 的延长线交AG 于点G ，BE DF EF +=，若30DAF ∠=︒，则BAE ∠的度数为（ ）
A ．15°
B ．20°
C ．25°
D ．30°
6．如图：点E 、F 为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形，且菱形AECF 的周长为20，BD 为24，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．24
B ．36
C ．72
D ．144
7．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE ⊥AB 于 E ，PF ⊥AC 于 F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）
A ．1
B ．1.3
C ．1.2
D ．1.5
8．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（ ）
A ．2
B ．52
C ．332
D ．5
9．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=，FO FC =，则下列结论：
①FB OC ⊥，OM CM =；
②EOB CMB ≅；
③四边形EBFD 是菱形；
④:3:2MB OE =．
其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是CD 的中点，将BCE 沿BE 翻折至BFE ，连接DF ，则DF 的长度是（ ）
A ．5
B ．25
C ．35
D ．455
二、填空题
11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______
12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是__．
13．已知在矩形ABCD 中，3,3,2
AB BC ==点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，且,AP PQ ⊥当AP PQ =时，AP =________________．
14．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒
∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________
15．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．
16．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．
17．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．
18．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．
19．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则
BC =_________．
20．如图，点E 、F 分别在平行四边形ABCD 边BC 和AD 上（E 、F 都不与两端点重合），连结AE 、DE 、BF 、CF ，其中AE 和BF 交于点G ，DE 和CF 交于点H ．令AF n BC
=，EC m BC
=．若m n =，则图中有_______个平行四边形（不添加别的辅助线）；若1m n +=，且四边形ABCD 的面积为28，则四边形FGEH 的面积为_______．
三、解答题
21．如图，矩形OBCD 中，OB ＝5，OD ＝3，以O 为原点建立平面直角坐标系，点B ，点D 分别在x 轴，y 轴上，点C 在第一象限内，若平面内有一动点P ，且满足S △POB ＝13S 矩形OBCD ，问：
（1）当点P 在矩形的对角线OC 上，求点P 的坐标；
（2）当点P 到O ，B 两点的距离之和PO +PB 取最小值时，求点P 的坐标．
22．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B
匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．
（1）求证：AE ＝DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．
23．综合与探究
如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:
（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒
①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．
②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由． （2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当
ACB =∠_______时,CF BD ⊥．
24．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．
（1）求证：四边形BEDF 是菱形；
（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．
25．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折
痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．
（1）操作发现：
①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个 三角形；
②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为 ．
（2）深入探究：
在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23．
①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；
②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．
26．如图1，在OAB 中，OAB 90∠=，30AOB ∠=,8OB =，以OB 为边，在OAB Λ外作等边OBC Λ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．
（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；
（2）连接AC ，BE 交于点P ，求AP 的长及AP 边上的高BH ；
（3）在（2）的条件下，将四边形OABC 置于如图所示的平面直角坐标系中，以E 为坐标原点，其余条件不变，以AP 为边向右上方作正方形APMN ：
①M 点的坐标为 ．
②直接写出正方形APMN 与四边形OABC 重叠部分的面积（图中阴影部分）．
27．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.
（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；
（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.
28．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；
（2）求证：CP AE =；
（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．
29．如图，在矩形 ABCD 中， AB =16 ， BC =18 ，点 E 在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在点 B' 处.
(I)若 AE =0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；
(II)若 AE =3 时， 且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；
(III)若AE =8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.
30．如图，矩形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB ，CD 于点E ，F ．
（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；
（2）若四边形DEBF 是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由； （3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF 的长．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
A 、由四边形ABCD 是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD ，AE=ED ，由SAS 证得△AFG ≌△AEG ，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出A 正确；
B 、由DF ⊥AB ，F 为边AB 的中点，证得AD=BD ，证出△ABD 为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由2cos ,cos AF A
C AB BAC AG BAC =⋅∠=
∠ ,求出AC ， AG ，即可得出B 正确；
C 、由勾股定理求出DF =
，由GE=tan ∠2·ED 求出GE ，即可得出C 正确；D 、四边形BFGC 的面积=△ABC 的面积-△AGF 的面积,可以发现D 不对.
【详解】
解:∵四边形ABCD 是菱形， FAG EAG ∴∠=∠，1GAD ∠=∠，AB AD =，
12∠=∠，
2GAD ∴∠=∠，
AG GD ∴=.
GE AD ⊥，
GE ∴垂直平分AD .
AE ED ∴=.
点F 为AB 的中点，
AF AE ∴=.
易证()SAS AFG AEG ∆≅∆.
90AFG AFG ∠∴∠==︒.
DF AB ∴⊥故A 正确.
DF AB ⊥，点F 为AB 的中点，
112
AF AB ∴==，AD BD =. AD BD AB ==，
ABD ∴为等边三角形.
60BAD BCD ∠∴∠==︒.
1230BAC ∠=∠=∠=∴︒.
2cos 222AC AB BAC ∴=⋅∠=⨯⨯=，
cos
AF
AG
BAC
===
∠
33
CG AC AG
∴=-==.
2
CG GA
∴=，故B正确.
GE垂直平分AD，
1
1
2
ED AD
∴==，
DF
∴==
tan21tan30
3
GE ED
∴=∠⋅=⨯︒=.
DF GE CG
∴+===.故C正确.
130
BAC
∠=∠=︒，ABC
∆
∴的边AC上的高等于AB的一半，即为1
，1
23
FG AG
==，
11
11
22
ABC AGF
BFGC
S S S
∆
∴=-=⨯-⨯=
四边形
D不正确.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，
AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．
【详解】
解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF，
∵∠APD=∠EPB，
∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADF，∴①正确；
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，
∵BM=BM，AM=MF，
∴△ABM≌△FBM，
∴AB=BF，∴②正确；
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
∵BE=DF，BF=CD，
∴△BEF≌△DFC，
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
∴③正确；④正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
取AD中点O，连接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,当OE⊥AC时，OE有最小值，此时△AOE是等腰直角三角形，OE=AE，再根据正方形及勾股定理求出OE，即可得到GH 的长．
【详解】
取AD中点O，连接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,当OE⊥AC时，OE有最小值，此时△AOE是等腰直角三角形，OE=AE，
∵AD=AB=4,
∴AO=1
2
AB=2
在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2+AE2=AO2=4,即2OE2=4
解得OE=2
∴GH的最小值为2
故选A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质,根据题意确定E点的位置是解题关键．
4．A
解析：A
【分析】
过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得⑤DP=2EC．
【详解】
证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得
PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB ，FP=GF-GP=AB-GB ，
∴AG=PF ，
∴△AGP ≌△FPE ，
①∴AP=EF ；
∠PFE=∠GAP
∴④∠PFE=∠BAP ，
②延长AP 到EF 上于一点H ，
∴∠PAG=∠PFH ，
∵∠APG=∠FPH ，
∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP ⊥EF ；
③∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45度，
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD 是等腰三角形，
除此之外，△APD 不是等腰三角形，故③错误．
∵GF ∥BC ，
∴∠DPF=∠DBC ，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC ，
∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，
∴
EC ．
∴其中正确结论的序号是①②④⑤．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
5．A
解析：A
【分析】
根据已知条件先证明△ABE ≌△ADG ，得到AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，得到EAF GAF ∠=∠,根据30DAF ∠=︒，设BAE ∠=x,利用GA AE ⊥得到方程求出x 即可求解．
【详解】
在正方形ABCD 中，AB=AD,90ABE ADG BAD ∠=∠=∠=︒
∵GA AE ⊥
∴90EAD DAG ∠+∠=︒
又90EAD BAE ∠+∠=︒
∴DAG BAE ∠∠=
∴△ABE ≌△ADG （ASA ）
∴AE=AG ，BE=DG,
∵BE DF EF +=
∴BE DF DG DF EF +=+=
∴EF=GF
∴△AEF ≌△AGF （SSS ）
∴EAF GAF ∠=∠
∵30DAF ∠=︒，设BAE ∠=x,
∴EAF GAF ∠=∠=x+30°
∵GA AE ⊥
∴90EAF GAF ∠+∠=︒
故x+30°+ x+30°=90°
解得x=15°
故选A ．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知正方形的性质及全等三角形的判定定理．
6．C
解析：C
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，AO ＝OC ，EO ＝OF ，再求出BO ＝OD ，证明四边形ABCD 是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE ，根据菱形的对角线互相平分求出OE ，然后利用勾股定理列式求出AO ，再求出AC ，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，连接AC 交BD 于点O ，
∵四边形AECF 是菱形，
∴AC ⊥BD ，AO ＝OC ，EO ＝OF ，
又∵点E 、F 为线段BD 的两个三等分点，
∴BE ＝FD ，
∴BO ＝OD ，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE＝5，
∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴EF＝8，OE＝1
2
EF＝
1
2
×8＝4，
由勾股定理得，AO3，∴AC＝2AO＝2×3＝6，
∴S四边形ABCD＝1
2
BD•AC＝
1
2
×24×6＝72；
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=1
2
AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利
用面积相等求出AP的长，即可得AM.【详解】
在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，
所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，又因为PE⊥AB，PF⊥AC，
故四边形AEPF为矩形，
因为M 为 EF 中点，
所以M 也是 AP中点，即AM=1
2 AP，
故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，
由
11
22
ABC
S AB AC BC AP
=⨯⨯=⨯⨯，可得AP=
12
5
，
AM=1
2
AP=
6
1.2
5
=
故本题正确答案为C.
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键.
8．D
解析：D
【分析】
根据正方形的性质得到AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，
求出∠ACF=90°，得到CH=1
2
AF，根据勾股定理求出AF的长度即可得到答案.
【详解】
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴CH=1
2 AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=2222
4225
AM MF
+=+=，
∴CH=5，
故选：D．
【点睛】
此题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，正确引出辅助线得到∠ACF=90°是解题的关键.
9．C
解析：C
【分析】
①证明△OBC是等边三角形，即可得OB=BC，由FO=FC，即可得FB垂直平分OC，①正确；②由FB垂直平分OC，根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BOF=90°，再证明△FOC≌△EOA，所以FO=EO，即可得OB垂直平分EF，所以△OBF≌△OBE，即△EOB≌△FCB，②错误；③证明四边形DEBF是平行四边形，再由OB垂直平分EF，根据线段垂直平分线的性质可得BE=BF，即可得平行四边形DEBF为菱形，③正确；④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△OBE中，可得OE
=3
OB，在Rt△OBM中，可得BM=
3
OB，即可得BM ：OE =3：2，④正确.
【详解】
①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
∴FB⊥OC，OM=CM；
①正确；
②∵FB垂直平分OC，
根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，
∴∠BCF=∠BOF=90°，即OB⊥EF，
∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，
∴△FOC≌△EOA，
∴FO=EO，
∴OB垂直平分EF，
∴△OBF≌△OBE，
∴△EOB≌△FCB，
②错误；
③∵△FOC≌△EOA，
∴FC=AE，
∵矩形ABCD，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴DF∥EB，DF=EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵OB垂直平分EF，
∴BE=BF，
∴平行四边形DEBF为菱形；
③正确；
④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，
在Rt△OBE中，OE =
3
3
OB，
在Rt△OBM中，BM=3 OB,
∴BM ：OE =3OB：=3
3
OB=3：2.
④正确；
所以其中正确结论的个数为3个；
故选C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、菱形的判定及锐角三角函数，是一道综合性较强的题目，解决问题的关键是会综合运用所学的知识分析解决问题．
10．D
解析：D
【分析】
由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求
CH＝45
5
，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF＝2EH＝
45
5
．
【详解】
解：如图，连接CF，交BE于H，
∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，
∴BE2216425
BC CE
+=+=
∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，
∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，
∵S△BCE＝1
2
×BE×CH＝
1
2
×BC×CE，
∴CH＝
5
5
，
∴22
165 4
55
CE CH
-=-=，∵CE＝DE，FH＝CH，
∴DF＝2EH＝45
5
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
二、填空题
11．2
【分析】
过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．
【详解】
解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：
∵H是BG的中点，且BO与HE平行，
∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，
故要使得HE最短，只需要BO最短即可，
当E点位于C点时，则O点与C点重合，
当E点位于D点时，则O点与A点重合，
故E点在CD上运动时，O点在AC上运动，
由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短，
∵四边形ABCD是正方形，
∴△BOC为等腰直角三角形，且BC=4，、
∴22
22
BO,
∴
1
2
2
HE BO，
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE线段长转移到线段BO上．
12．30
13
≤AM<6
【分析】
由勾股定理得BC=13从而得到点A到BC的距离, M为EF中点，所以AM=1
2
EF，继而求得
AM的范围．
【详解】
因为∠BAC=90°，AB=5，AC=12，所以由勾股定理得BC=13，
则点A到BC的距离为
AC512
BC13
AB⨯⨯
==
60
13
，
所以AM的最小值为60
13
÷2=
30
13
，
因为M为EF中点，所以AM=1
2
EF，
当E越接近A，F越接近C时，EF越大，所以EF＜AC，则AM＜6，
所以30
13
≤AM＜6，
故答案为30
13
≤AM＜6.
13
【分析】
根据点P在直线BC上，点Q在直线CD上，分两种情况：1.P、Q点位于线段上；2.P、Q 点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.
【详解】
解：当P点位于线段BC上，Q点位于线段CD上时:
∵四边形ABCD是矩形
,
AP PQ
⊥
∴∠BAP=∠CPQ，∠APB=∠PQC
∵AP PQ
=
∴ABP PCQ
≅
∴PC=AB=3
2，BP=BC-PC=3-
3
2
=
3
2
∴AP=223
322+（）（）=322
当P 点位于线段BC 的延长线上，Q 点位于线段CD 的延长线上时:
∵四边形ABCD 是矩形 ,AP PQ ⊥
∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC ∵AP PQ =
∴ABP PCQ ≅
∴PC=AB=32，BP=BC+PC=3+32=92
∴223
922+（）（）3102
3223102
【点睛】 此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.
14．①②④⑤
【分析】
根据∠B=90°，AB=BE ，△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，可得△ABE ≅△AHD ，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，可证AD//BC ，根据DC ⊥BC ，可得∠HDE=∠CDE ，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE ，即DE 平分∠HDC ，所以①正确；
利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD 是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE 平分∠HDC ，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH ，利用 AE=AD 易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH ，OD=OE ，所以②正确；
利用AAS 证明ΔDHE ≅ΔDCE ，则有DH=DC ，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，∠DFH=112.5°，则△DHF 不是直角三角形，并DH≠HF ，即有：CD≠HF ，所以③错误；
根据△ABE 是等腰直角三角形，JH ⊥JE ，∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，得到2JH=CF ，2JC=BC ，JC=JE+CE ，易证BC−CF=2CE ，所以④正确；
过H 作HJ ⊥BC 于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，得IJ ⊥AD ，I 是AD 的中点，J 是BC 的中点，
H 是BF 的中点，所以⑤正确；
【详解】
∵Rt △ABE 中，∠B=90°，AB=BE ，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
又∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，
∴△ABE ≅△AHD ，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，
∴∠ADE=∠AED ，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，
∴AD//BC ，
∴∠ADE=∠DEC ，
∴∠AED=∠DEC ，
又∵DC ⊥BC ，
∴∠DCE=∠DHE=90°
∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE ，
即：DE 平分∠HDC ，所以①正确；
∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠HDC=45°，
由①有DE 平分∠HDC ，
∴∠HDO=12∠HDC=12
×45°=22.5°， ∵∠BAE=45°，AB=AH ， ∴∠OHE=∠AHB=
12 (180°−∠BAE)= 12×(180°−45°)=67.5°， ∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，
∴OD=OH ，
在△AED 中，AE=AD ，
∴∠AED=12(180°−∠EAD)=12
×(180°−45°)=67.5°， ∴∠OHE=∠HEO=67.5°，
∴OE=OH ，
∴OD=OE ，所以②正确；
在△DHE 和△DCE 中，
DHE DCE HDE CDE DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔDHE ≅ΔDCE(AAS)，
∴DH=DC，∠HDE=∠CDE=1
2
×45°=22.5°，
∵OD=OH，
∴∠DHF=22.5°，
∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，
∴△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，
即有：CD≠HF，所以③不正确；
如图，过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，
∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，
∴JH=JE，
又∵J是BC的中点，H是BF的中点，
∴2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，
∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC，
即有：BC−CF=2CE，所以④正确；
∵AD//BC，
∴IJ⊥AD，
又∵△AHD是等腰直角三角形，
∴I是AD的中点，
∵四边形ABCD是矩形，HJ⊥BC，
∴J是BC的中点，
∴H是BF的中点，所以⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．15．①②③④
【分析】
根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得
∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．
【详解】
解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，故①正确；
设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠AKG＝∠NKC，
∴∠CNG＝∠CAG＝90°，
∴BG⊥CE，故②正确；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正确；
∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴EP ＝AH ，
同理可得GQ ＝AH ，
∴EP ＝GQ ，
∵在△EPM 和△GQM 中，
90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EPM ≌△GQM （AAS ），
∴EM ＝GM ，
∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．
16
．101-
【分析】
探究点E 的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【详解】
如图1中，当点M 与A 重合时，AE ＝EN ，设AE ＝EN ＝xcm
，
在Rt △ADE 中，则有x 2＝32+（9﹣x ）2，解得x ＝5，
∴DE ＝10﹣1-5＝4（cm ），
如图2中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝10﹣1﹣3＝6（cm ），
如图3中，当点M 运动到点B ′落在CD 时， 22221310NB C N C B ''''=+=+=
DB ′（即DE ″）＝10﹣1﹣10＝（9﹣10）（cm ），
∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝6﹣4+6﹣（910101）（cm ）．
101．
【点睛】
本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．5
【分析】
过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则
22OE BE +OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．
【详解】
解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．
∵四边形OABC 是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，
∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，
∴AM ∥CN ，
∴四边形ANCM 是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM ，
∴∠OAF=∠BCD ，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC ，
在△OAF 和△BCD 中，
FOA DBC OA BC
OAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴
OB=22OE
BE +．
由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
18．
83
或4433- 【分析】 连接AC 交BD 于O ，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，可证四边形BEGF 是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B ，点G ，点D 三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
【详解】
如图，连接AC 交BD 于O ，
∵菱形ABCD 的边长是4，∠ABC=60°，
∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，
∵EG ∥BC ，FG ∥AB ，
∴四边形BEGF 是平行四边形，
又∵BE=BF ，
∴四边形BEGF 是菱形，
∴∠ABG=30°，
∴点B ，点G ，点D 三点共线，
∵AC ⊥BD ，∠ABD=30°，
∴AO=12
AB=2，=
∴BD=AC=4，
同理可求BE ，即
， 若AD=DG'=4时，
∴BG'=BD-DG'=4，
∴BE'4==； 若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，
∴AH=HD=2，
∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，
∴DG''=2HG''，
∵222HD HG''DG''+=，
解得：HG''3=，DG''=2HG''3
=，
∴BG''=BD-DG''=-
= ∴BE''=83
，
综上所述：BE 为
83或4- 【点睛】 本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
19．663
【分析】
通过四边形ABCD 是矩形以及CE CB BE ==，得到△FEM 是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM ，NK ，KE 的值，进而得到NE 的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN ，BE 即可．
【详解】
解：如图，设NE 交AD 于点K ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，
∴∠MFE=∠FCB ，∠FME=∠EBC
∵CE CB BE ==，
∴△BCE 为等边三角形，
∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，
∵∠FEM=∠BEC ，
∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，
∴△FEM 是等边三角形，FM=FE=EM=2，
∵EN ⊥BE ，
∴∠NEM=∠NEB=90°，
∴∠NKA=∠MKE=30°，
∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，
∴在Rt △KME 中，KE=2223KM EM -=，
∴NE=NK+KE=6+23，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴BN=2NE=12+43，
∴BE=22663BN NE -=+，
∴BC=BE=663， 故答案为：663
【点睛】
本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．
20．7
【分析】
①若m n =，则AF EC =，先根据平行四边形的性质得出//,AD BC AD BC =，再根据平行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边形的性质与判定得出四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形，从而可得
11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆==，再根据28ABCD ABEF CDFE S S S =+= 和
1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆=+=
+四边形即可得出答案．
【详解】 四边形ABCD 是平行四边形
//,AD BC AD BC ∴=
,,AF EC n m BC BC
m n === AF EC ∴=
AD AF BC EC ∴-=-，即DF BE =
∴四边形AECF 、四边形BEDF 都是平行四边形
//,//AE CF BF DE ∴
∴四边形EGFH 是平行四边形
综上，图中共有4个平行四边形
如图，连接EF
1,,AF EC n m BC B n C
m ==+= AF EC BC AD ∴+==
AF DF AD +=
EC DF ∴=
AF BE ∴=
∴四边形ABEF 、四边形CDFE 都是平行四边形
11,44EFG ABEF EFH CDFE S S S S ∆∆∴=
= 28ABCD ABEF CDFE S S S =+=
1144EFG EFH ABEF CDFE FGEH S S S S S ∆∆∴=+=+四边形
1()4ABEF CDFE S S =+
12874
=⨯= 故答案为：4；7．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题关键．三、解答题
21．（1）P（10
3
，2）；（2）（
5
2
，2）或（﹣
5
2
，2）
【分析】
（1）根据已知条件得到C（5，3），设直线OC的解析式为y＝kx，求得直线OC的解析式
为y＝3
5
x，设P（m，
3
5
m），根据S△POB＝
1
3
S矩形OBCD，列方程即可得到结论；
（2）设点P的纵坐标为h，得到点P在直线y＝2或y＝﹣2的直线上，作B关于直线y＝2的对称点E，则点E的坐标为（5，4），连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，设直线OE的解析式为y＝nx，于是得到结论．
【详解】
（1）如图：
∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，
∴C（5，3），
设直线OC的解析式为y＝kx，
∴3＝5k，
∴k＝3
5
，
∴直线OC的解析式为y＝3
5 x，
∵点P在矩形的对角线OC上，
∴设P（m，3
5 m），
∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴1
2
⨯5×
3
5
m＝
1
3
⨯3×5，
∴m＝10
3
，
∴P（10
3
，2）；
（2）∵S△POB＝1
3
S矩形OBCD，
∴设点P的纵坐标为h，
∴1
2
h×5＝
1
3
3
⨯⨯5，
∴h＝2，
∴点P在直线y＝2或y＝﹣2上，
作B关于直线y＝2的对称点E，
则点E的坐标为（5，4），
连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，
设直线OE的解析式为y＝nx，
∴4＝5n，
∴n＝4
5
，
∴直线OE的解析式为y＝4
5 x，
当y＝2时，x＝5
2
，
∴P（5
2
，2），
同理，点P在直线y＝﹣2上，
P（5
2
，﹣2），
∴点P的坐标为（5
2
，2）或（﹣
5
2
，2）．
【点睛】
本题考查了轴对称——最短路线问题，矩形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的找到点P在位置是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）15
2
，理由见解析；
【分析】
（1）利用题中所给的关系式，列出CD，DF，AE的式子，即可证明．
（2）由题意知，四边形AEFD是平行四边形，令AD=DF，求解即可得出t值．
（3）由题意可知，当DE∥BC时，△DEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代入式子求值即可．
【详解】
（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形
∵∠B＝90°，∠A＝60°
∴∠C=30°，CD=2DF，
又∵由题意知CD=4t，AE=2t，
∴CD=2AE
∴AE=DF．
（2）能，理由如下；
由（1）知AE=DF
又∵DF⊥BC，∠B＝90°
∴AE∥DF
∴四边形AEFD是平行四边形．
当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形
∵AC＝60cm，DF=1
2
CD，CD=4t，
∴AD=60-4t，DF=2t，∴60-4t=2t
∴t=10．
（3）当t为15
2
时，△DEF为直角三角形，理由如下；
由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DF⊥BC，AE∥DF，∴当DE∥BC时，DF⊥DE
∴∠FDE=∠DEA=90°
在△AED中，
∵∠DEA=90°，∠A＝60°，AE=2t
∴AD=4t，
又∵AC＝60cm，CD=4t，
∴AD+CD=AC，8t=60，
∴t=15
2
．
即t=15
2
时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF为直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．。